Loading [MathJax]/extensions/TeX/AMSsymbols.js

5.9.21

Procedementos que nunca levei á aula

 Observade esta inecuación:     2|x2||x+1|


Unha inecuación así podería aparecer nunha folla de exercicios do comezo de Matemáticas I, mais  dada a dificultade técnica que entraña, non estou certo de se algunha vez puxen algo semellante. O típico exercicio nese curso ten un aspecto como este, despois de manipulacións alxébricas: |x1|3

, onde vemos que só aparece un valor absoluto, o que fai que poidamos fundamentar o algoritmo de resolución na caracterización do valor absoluto como distancia á orixe ou |xa| como distancia ao número a, que é consecuencia do anterior.

Pero utilizar esa aproximación á inecuación orixinal implicaría ter que buscar os números reais x que cumpren que o dobre da distancia de x ao 2 é maior ou igual que a distancia de x ao -1. Non parece moi operativo.

Co cal, o procedemento estándar(coido) para resolver unha inecuación así consiste en eliminar os valores absolutos utilizando de xeito intelixente que |x|2=x2, xunto co feito de que en (0,+), a función elevar ao cadrado é crecente:

[2|x2|]2[|x+1|]2

4(x2)2(x+1)2

E queda unha inecuación de 2º grao, propia de 4º de ESO, neste caso obtemos como solución (,1][5,+)

Ata aquí o que fixen/faría eu na aula. Pero nunca levei a cabo un enfoque máis obvio e menos artificioso, case dá vergonza dicilo: DEBUXAR AS GRÁFICAS DAS MALDITAS FUNCIÓNS.

Podería parecer que este método gráfico só vai dar unha aproximación á solución, pero o mero feito de debuxalas e notar que cada valor absoluto é unha función con dous anacos, fai que sexa máis sinxelo resolvelo tamén de xeito alxébrico, exacto.

Observade as gráficas:

Calquera variación vén dando unha figura análoga


Vemos que a rama decrecente da gráfica verde está por riba da vermella ata o 1, e a crecente da verde está por riba da vermella desde o 5. Isto tamén pode servir como inicio dunha discusión: cambiando as pendentes das funcións verde e vermella podemos obter solucións con aspecto distinto á inecuación?
Quizais sexa máis sinxelo razoalo cos cadrados, por iso de que os alumnos a estas alturas xa saben o nº máximo de solucións dunha ecuación de 2º grao?

Vexamos outro exemplo dun método que nunca levei á aula. En 1º de bacharelato unha das técnicas que se ensinan é o cálculo das asíntotas dunha función elemental, do estilo f(x)=3x2x+1x+2
A técnica que emprego eu sempre vai así:
  1. Observamos rapidamente que puntos teñen pinta de dar problemas, neste caso x=-2, e comprobamos se existe o límite neses puntos, se é finito ou non. No exemplo o límite pola esquerda é e o límite pola dereita é +, polo que hai unha asíntota vertical aí. Isto é o máis sinxelo do exercicio, pero algúns alumnos, influídos polo que fan en clase particular, cren que se o punto non está no dominio xa vai haber asíntota vertical, o que é obviamente falso, como podemos ver con g(x)=x23x+2x1
  2. Despois pasamos ás asíntotas horizontais e ás oblicuas, que son excluíntes "polo mesmo lado". Miramos o límite en e , se o límite é finito e igual a k, temos asíntota horizontal y=k, se non é finito, pode que teñamos asíntota oblicua, para o cal hai que ver a "velocidade" do límite, comparando coa recta y=x
  3. E dicir, calculamos limxf(x)x, que nos vai dar a pendente da asíntota se é finito e igual a m. E finalmente calculamos limx[f(x)mx] que nos dará a ordenada na orixe da asíntota oblicua.
Pois ben, cando un profesor (ou un alumno que entenda) ve unha función como f(x)=3x2x+1x+2 sabe perfectamente que vai ter unha asíntota oblicua, dado que a función no infinito é como un polinomio de 1º grao. De feito vin compañeiros en twitter falar de que sempre facían o seguinte:
  1. Efectúan a división implícita na función racional, f(x)=3x2x+1x+2=3x7+15x+2
  2. Á vista da expresión de cociente e resto, como a fracción do final é nula no infinito, f(x) compórtase como a recta y=3x7
E xa temos a expresión da asíntota oblicua. Dependendo do aspecto do cociente, teremos asíntota horizontal(se é un escalar), oblicua (se é un polinomio de grao 1) ou ramas parabólicas(se é de grao superior a 1). Por que nunca levei isto á aula, aínda que o teño comentado e boto as contas de memoria* usualmente? Basicamente porque en ningún lugar do curriculum restrinxe o cálculo de asíntotas a funcións racionais, aínda que é o que máis se fai, e vai aparecer noutros momentos, como no do crecemento das funcións na unidade de derivadas. Que pasaría coas seguintes funcións daquela?
h(x)=4x2+1 ,  i(x)=log(1x+3)
*En realidade o que fago é  f(x)=3x2x+1x+2=3x2+6x7x14+14+1x+2=3x7+15x+2, pero vaia, vén sendo o mesmo.

Por último, outra técnica que nunca levei á aula é o famoso novo método para resolver a ecuación de 2º grao que resultou non ser novo, como amosa esta entrada no blog de Don Steward. Esta situación é distinta ás anteriores, nas que si coñecía os métodos había tempo. Lembremos as posibilidades para resolver a ecuación xeral de 2º grao:
  • Podes resolvela coa fórmula, o que semella ser o máis común a nivel español.
  • Podes completar o cadrado, de xeito alxébrico ou de xeito puramente xeométrico, sendo isto último o máis raro por aquí(estou supoñendo).
  • Se a ecuación é sinxela abondo, podes utilizar as identidades de Cardano-Vieta a ver se tes sorte.
Hai máis xeitos, pero normalmente necesitan que a ecuación sexa moi sinxela. Vexamos agora o non-tan-novo método cunha ecuación que non meta moito medo, x22x3=0

Esencialmente imos utilizar as identidades de Cardano-Vieta para reformular a ecuación. Como as dúas raíces da ecuación teñen que sumar 2, podemos escribir sen perda de xeralidade que terán o aspecto 1+y e 1y; e como o seu produto ten que ser -3, teremos a ecuación: (1+y)(1y)=3
E obtemos unha ecuación incompleta, que polo menos eu traballo previamente na aula:
1y2=3y2=4y=±2
Só quedaría desfacer o cambio de variable, se y=±2, entón as raíces da ecuación orixinal son 1,3

Vexo claro que este xeito de resolver ecuacións non é axeitado para 2º de ESO, cando aparecen por primeira vez no curriculum, pero en 4º xa é a segunda vez que amoso Cardano-Vieta, e tamén aproveito para introducir algunha ecuación cun parámetro, do estilo x2(2n+1)x+n2+n=0, se este ano dou 4º pode que apareza dalgún xeito. Quen sabe.

0 comentarios:

Publicar un comentario