Procedementos que nunca levei á aula

 Observade esta inecuación:     $$2 \left| x-2 \right| \geq \left|x+1\right|$$

Unha inecuación así podería aparecer nunha folla de exercicios do comezo de Matemáticas I, mais  dada a dificultade técnica que entraña, non estou certo de se algunha vez puxen algo semellante. O típico exercicio nese curso ten un aspecto como este, despois de manipulacións alxébricas: $$ \left| x-1 \right| \geq 3$$

, onde vemos que só aparece un valor absoluto, o que fai que poidamos fundamentar o algoritmo de resolución na caracterización do valor absoluto como distancia á orixe ou $\left| x-a \right|$ como distancia ao número a, que é consecuencia do anterior.

Pero utilizar esa aproximación á inecuación orixinal implicaría ter que buscar os números reais x que cumpren que o dobre da distancia de x ao 2 é maior ou igual que a distancia de x ao -1. Non parece moi operativo.

Co cal, o procedemento estándar(coido) para resolver unha inecuación así consiste en eliminar os valores absolutos utilizando de xeito intelixente que $\left| x\right|^2=x^2$, xunto co feito de que en $(0,+\infty)$, a función elevar ao cadrado é crecente:

$$\left[2 \left| x-2 \right| \right]^2 \geq \left[\left|x+1\right|\right]^2$$

$$4 \left( x-2 \right)^2 \geq \left(x+1\right)^2$$

E queda unha inecuación de 2º grao, propia de 4º de ESO, neste caso obtemos como solución $\left(-\infty,1 \right] \cup \left[5,+\infty\right)$

Ata aquí o que fixen/faría eu na aula. Pero nunca levei a cabo un enfoque máis obvio e menos artificioso, case dá vergonza dicilo: DEBUXAR AS GRÁFICAS DAS MALDITAS FUNCIÓNS.

Podería parecer que este método gráfico só vai dar unha aproximación á solución, pero o mero feito de debuxalas e notar que cada valor absoluto é unha función con dous anacos, fai que sexa máis sinxelo resolvelo tamén de xeito alxébrico, exacto.

Observade as gráficas:

Calquera variación vén dando unha figura análoga

Vemos que a rama decrecente da gráfica verde está por riba da vermella ata o 1, e a crecente da verde está por riba da vermella desde o 5. Isto tamén pode servir como inicio dunha discusión: cambiando as pendentes das funcións verde e vermella podemos obter solucións con aspecto distinto á inecuación?

Quizais sexa máis sinxelo razoalo cos cadrados, por iso de que os alumnos a estas alturas xa saben o nº máximo de solucións dunha ecuación de 2º grao?

Vexamos outro exemplo dun método que nunca levei á aula. En 1º de bacharelato unha das técnicas que se ensinan é o cálculo das asíntotas dunha función elemental, do estilo $f(x)=\frac{3x^2-x+1}{x+2}$

A técnica que emprego eu sempre vai así:

1. Observamos rapidamente que puntos teñen pinta de dar problemas, neste caso x=-2, e comprobamos se existe o límite neses puntos, se é finito ou non. No exemplo o límite pola esquerda é $-\infty$ e o límite pola dereita é $+\infty$, polo que hai unha asíntota vertical aí. Isto é o máis sinxelo do exercicio, pero algúns alumnos, influídos polo que fan en clase particular, cren que se o punto non está no dominio xa vai haber asíntota vertical, o que é obviamente falso, como podemos ver con $g(x)=\frac{x^2-3x+2}{x-1}$
2. Despois pasamos ás asíntotas horizontais e ás oblicuas, que son excluíntes "polo mesmo lado". Miramos o límite en $\infty$ e $-\infty$, se o límite é finito e igual a k, temos asíntota horizontal $y=k$, se non é finito, pode que teñamos asíntota oblicua, para o cal hai que ver a "velocidade" do límite, comparando coa recta y=x
3. E dicir, calculamos $\lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{x}$, que nos vai dar a pendente da asíntota se é finito e igual a m. E finalmente calculamos $\lim \limits_{x \rightarrow \infty} [f(x)-mx]$ que nos dará a ordenada na orixe da asíntota oblicua.

Pois ben, cando un profesor (ou un alumno que entenda) ve unha función como $f(x)=\frac{3x^2-x+1}{x+2}$ sabe perfectamente que vai ter unha asíntota oblicua, dado que a función no infinito é como un polinomio de 1º grao. De feito vin compañeiros en twitter falar de que sempre facían o seguinte:

1. Efectúan a división implícita na función racional, $f(x)=\frac{3x^2-x+1}{x+2}=3x-7+ \frac{15}{x+2}$
2. Á vista da expresión de cociente e resto, como a fracción do final é nula no infinito, f(x) compórtase como a recta $y=3x-7$

E xa temos a expresión da asíntota oblicua. Dependendo do aspecto do cociente, teremos asíntota horizontal(se é un escalar), oblicua (se é un polinomio de grao 1) ou ramas parabólicas(se é de grao superior a 1). Por que nunca levei isto á aula, aínda que o teño comentado e boto as contas de memoria* usualmente? Basicamente porque en ningún lugar do curriculum restrinxe o cálculo de asíntotas a funcións racionais, aínda que é o que máis se fai, e vai aparecer noutros momentos, como no do crecemento das funcións na unidade de derivadas. Que pasaría coas seguintes funcións daquela?

$$h(x)=\sqrt{4x^2+1}\ ,\ \ i(x)=\log\left( \frac{1}{x}+3\right)$$

*En realidade o que fago é  $f(x)=\frac{3x^2-x+1}{x+2}=\frac{3x^2+6x-7x-14+14+1}{x+2}=3x-7+ \frac{15}{x+2}$, pero vaia, vén sendo o mesmo.

Por último, outra técnica que nunca levei á aula é o famoso novo método para resolver a ecuación de 2º grao que resultou non ser novo, como amosa esta entrada no blog de Don Steward. Esta situación é distinta ás anteriores, nas que si coñecía os métodos había tempo. Lembremos as posibilidades para resolver a ecuación xeral de 2º grao:

• Podes resolvela coa fórmula, o que semella ser o máis común a nivel español.
• Podes completar o cadrado, de xeito alxébrico ou de xeito puramente xeométrico, sendo isto último o máis raro por aquí(estou supoñendo).
• Se a ecuación é sinxela abondo, podes utilizar as identidades de Cardano-Vieta a ver se tes sorte.

Hai máis xeitos, pero normalmente necesitan que a ecuación sexa moi sinxela. Vexamos agora o non-tan-novo método cunha ecuación que non meta moito medo, $x^2-2x-3=0$

Esencialmente imos utilizar as identidades de Cardano-Vieta para reformular a ecuación. Como as dúas raíces da ecuación teñen que sumar 2, podemos escribir sen perda de xeralidade que terán o aspecto $1+y$ e $1-y$; e como o seu produto ten que ser -3, teremos a ecuación: $$(1+y)(1-y)=-3$$

E obtemos unha ecuación incompleta, que polo menos eu traballo previamente na aula:

$$1-y^2=-3 \rightarrow y^2=4 \rightarrow y= \pm 2$$

Só quedaría desfacer o cambio de variable, se $y= \pm2$, entón as raíces da ecuación orixinal son $-1, 3$

Vexo claro que este xeito de resolver ecuacións non é axeitado para 2º de ESO, cando aparecen por primeira vez no curriculum, pero en 4º xa é a segunda vez que amoso Cardano-Vieta, e tamén aproveito para introducir algunha ecuación cun parámetro, do estilo $x^2-(2n+1)x+n^2+n=0$, se este ano dou 4º pode que apareza dalgún xeito. Quen sabe.