Un asunto controvertido das Matemáticas de instituto

Todos os anos, cando chego á continuidade de funcións en Matemáticas I e introduzo o concepto e tento que a definición resulte natural, os alumnos non o saben, pero eu estou morrendo por dentro. Levaba un tempo coa idea de dedicar unha entrada a este fenómeno, e deume por buscar pola rede e resultou que dúas investigadoras da didáctica das Matemáticas na Simon Fraser University, Gaya Jayakody e Rina Zazkis, escribiron un artigo en For the Learning of Mathematics, Continuous Problem of Function Continuity, plasmando punto por punto as miñas ideas. Se ledes con fluidez inglés, tedes permiso para marchar deste blog e non mirar atrás.

A continuidade non aparece de xeito explícito no curriculum da ESO, aínda que se entende que en 3º e sobre todo en 4º é unha das "características das funcións" que aparecen nos contidos, xunto co crecemento, a periodicidade, os cortes cos eixes, etc. Se es un profesor dos que non mira o DOG, nos libros de texto sempre vén, problem solved. E se ves un libro de texto onde non se mencione como definición de continuidade que se poida debuxar a gráfica sen erguer lapis ou xiz, chanta captura nos comentarios. Obrigado.

En 1º de bacharelato, aproveitando a maquinaria que proporcionan os límites, xa é posible introducir o concepto contemporáneo de continuidade, mais o certo é que a definición rigorosa é esvaradía. Habitualmente a definición de función continua nun punto adoita ir así:

f é continua nun punto $c \in \mathbb{R}$ se:

• $c \in Dom(f)$
• $ \exists \lim \limits_{x \rightarrow c}f(x)$ 
• $ \lim \limits_{x \rightarrow c}f(x)=f(c)$

E f non é continua nun punto $c \in \mathbb{R}$ se algunha das condicións anteriores non se satisfai.

Claro, non?

Tres condicións que hai que cumprir para que unha función sexa continua nun punto, se non se cumpre unha, non será continua. E logo adóitase definir función continua como a que é continua en cada punto. Parece lóxico e pulcro, non?

E despois veñen os exemplos:

Función continua no punto que queiras,
OK, bonita, fermosa, TODO BEN

A ese punto despistado chamámolo descontinuidade evitable.
Se non hai o punto cheo azul, tamén

A isto salto finito

E a isto salto infinito

Estándar, non?

Pois algo tan aparentemente ben definido dá lugar a moitos problemas, algúns puramente nominais e outros máis profundos. Vexamos antes unha cuestión das non esenciais. 

Como lle chamaríades a esta descontinuidade?

Que é descontinua está en discusión?

Esta cuestión non é esencial porque, simplemente, non temos por que poñerlle nome a todas as eventualidades que xurdan. Vaiamos a cousas máis serias.

Observade a seguinte gráfica:

Que diríades agora? A función é continua en x=-4, poñamos por caso? E que opinades da función globalmente, é continua?

E esta outra?

Ten que haber un fenómeno semellante á pareidolia cando
ves gráficas e recoñeces formas máis complexas, seguro.
Estou ben, estou ben.    

Ides vendo o problema da definición? Se o punto non está no dominio, non hai continuidade, pero parece obvio que iso só soa ben a descontinuidade cando o punto que non está no dominio está preto de puntos do dominio. Para saber que significa preto, necesitamos a noción topolóxica de punto de acumulación. Na gráfica anterior, por exemplo, o punto x=0 non é de acumulación do dominio, polo cal non se ve axeitado considerar aló a continuidade. Mentres que nunha descontinuidade evitable o punto é o límite dunha sucesión de puntos do dominio; pensade vós que sucede nun punto onde hai un salto finito, nun cun salto infinito ou nun onde os dous límites laterais valen $+\infty$.

 

Cando un estuda o concepto de continuidade na carreira, ve que o contexto natural é o dos espazos topolóxicos, onde chegamos á definición global:

Unha función f entre dous espazos topolóxicos A e B é continua se a imaxe recíproca de calquera aberto V do espazo B é un aberto no espazo A, i.e., $$f^{-1}(V) \in \mathcal{T_A} \  \forall V \in \mathcal{T_B}$$

E nese contexto, considerando que en $\mathbb{R}$ temos a topoloxía usual como espazo métrico(a métrica é o valor absoluto ou calquera das infinitas equivalentes), podemos pensar agora nos exemplos anteriores se existe algún aberto cuxa imaxe recíproca non sexa un aberto, para o cal chega con analizar a imaxe recíproca dos intervalos abertos, que forman unha base da topoloxía.

Se imos á continuidade local, unha función será continua nun punto $x \in A$ se para toda veciñanza V de $f(x)$, existe unha veciñanza U de x tal que $f(U) \subset V$ (vedes o $\epsilon $ e o $\delta$ como se achegan reptando por aí?)

E aínda podemos utilizar unha caracterización secuencial da continuidade:

f será continua en $x \in A$ se a imaxe de calquera sucesión converxente a x é unha sucesión converxente  a $f(x) \in B$

Parade un chisco e notade que estas definicións presupoñen que o punto no que analizamos a continuidade forma parte do dominio da función. 

Concluíndo, a miña opinión é que a confusión coa definición de continuidade de instituto emana de 2 factores:

• A necesidade dos libros de texto de compendiar, de crear unha falsa ilusión enciclopedista. Todos os casos teñen que estar clasificados e enumerados.

• O feito de trabucar que unha función sexa continua con que a súa gráfica sexa homeomorfa á recta real, é dicir, que se poida establecer unha bixección continua coa recta real que ademais teña inversa continua. Que é unha propiedade ben máis forte que a mera continuidade.

Recoñezo que esta é unha teima persoal(si, outra), pois sempre que o falo con compañeiros, todos están contentos coa situación. E como finalmente na ABAU o que van ter que facer é calcular o valor duns parámetros para que unha función sexa continua, pois todo correcto, señor axente. Só padecerán as consecuencias os alumnos se estudan Matemáticas máis avanzadas e os seus profesores. Pero iso é noutra xanela.