Tilt

 Non sei se xa comentei por aquí que as primeiras demostracións que vin como alumno do antigo BUP foron as que usaban o produto escalar en 3º de BUP. En realidade xa víramos algunha identidade trigonométrica, pero en realidade só as vin como comprobacións alxébricas máis que como demostracións xenuínas.

E nese 3º de BUP vin por primeira vez que o ángulo inscrito na semicircunferencia é recto(nunca vimos o concepto de arco capaz, nin demostráramos que o ángulo inscrito é a metade do central que abrangue o mesmo arco, nin nada de nada), o Teorema da Altura, o Teorema do Cateto, e algún resultado sobre sumas de cadrados dos lados de cuadriláteros que non lembro exactamente(pero que seguro que se podía demostrar utilizando o Teorema de Pitágoras unhas cantas veces)

Como levo semanas sen revisar o feedly, tiña uns cantos centos de actualizacións, entre elas, varias decenas de Futility Closet, blog no que levo anos atopando feitos elementais ben interesantes. E de hai dúas semanas sumei un máis nesta entrada, Tilt:

   

Dado o cadrado ABCD, collemos un punto L na diagonal AC, de tal xeito que AL:LC=3:1, e consideramos o punto medio do lado AB, K. Amosar que $\angle{DLK}$ é recto.

A demostración que aparece en Futiliy Closet é moi elegante e o máis elemental que se pode agardar dun feito así, pero como eu levo varios anos consecutivos dando Matemáticas I, sempre teño os vectores agochados moi preto, polo que utilicei ese enfoque. Vou compartir a técnica, deixade de ler xa se queredes buscar vós unha demostración. Como esta semana todo o mundo fala da famosa foto do James Webb, eu vou poñer aquí a primeira foto tomada desde o espazo:

   

Imos manchar as mans de vectores logo. A estratexia vai consistir en escribir os vectores que forman o ángulo buscado en función dos vectores que forman os lados do cadrado, que obviamente son ortogonais ou paralelos, e teñen o mesmo módulo(porque este resultado é falso nun rectángulo calquera).

$$\overrightarrow{LD}\cdot\overrightarrow{LK}=\left( \overrightarrow{LC}+\overrightarrow{CD}\right)\cdot \left( \overrightarrow{LA}+\overrightarrow{AK}\right)=\left( -\frac{1}{4}\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CD}\right)\cdot \left( \frac{3}{4} \overrightarrow{CA}-\frac{1}{2}\overrightarrow{CD}\right)=$$

$$\left[ -\frac{1}{4} \left(\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA} \right)+\overrightarrow{CD} \right]\cdot \left[  \frac{3}{4}\left( \overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA} \right)-\frac{1}{2}\overrightarrow{CD}\right]=$$

$$\left( \frac{3}{4}\overrightarrow{CD}-\frac{1}{4}\overrightarrow{DA}\right)\cdot \left( \frac{1}{4} \overrightarrow{CD}+\frac{3}{4}\overrightarrow{DA}\right)=\frac{3}{16} \overrightarrow{CD}^2+\frac{9}{16} \overrightarrow{CD}\cdot \overrightarrow{DA}-\frac{1}{16}\overrightarrow{DA}\cdot \overrightarrow{CD}-\frac{3}{16}\overrightarrow{DA}^2=$$

$$\frac{3}{16}l^2+0-0-\frac{3}{16}l^2=0$$

Onde os dous produtos escalares son nulos porque CD e DA son lados consecutivos do cadrado.

Este cálculo pode modificarse e efectuar produtos escalares do vector que forma a diagonal cos vectores que forman os lados, pois o ángulo é ben coñecido, $\frac{\pi}{4}$. 

Insisto: a demostración fermosa é a que se amosa en Futility Closet, isto é meramente un exercicio para practicar.