Un paradoxo probabilístico

 O paradoxo que vou compartir hoxe é un vello coñecido, que vin xa en varios libros, p.ex. Nonplussed! de Julian Havil, quen adxudica a súa creación ao gran Leo Moser. Ollade que curioso:

Vai ter lugar un pequeno torneo entre tres xogadores de tenis, Álex, Brais e Carlos. Álex é peor xogador que Brais, e Brais é peor que Carlos. Álex vai xogar tres partidos, alternando entre Brais e Carlos, de tal xeito que se gaña 2 partidos seguidos, obterá un trofeo. Loxicamente, a probabilidade de que lle gañe Álex a Brais, denotémola por b, será maior que a probabilidade de que Álex gañe a Carlos, que chamaremos c. Que será mellor para gañar o trofeo, que empece xogando contra Brais ou contra Carlos? 

Para que pensedes con xeito, introduzo aquí un pantallazo dun xoguiño de cálculo aritmético que acabo de coñecer, Meganum:

    

Aposto a que nin fai falta que poña como se xoga, e que chega con poñer un pantallazo con outra modalidade de xogo(mirade toda a pantalla):

   

Veña, ao choio xa.

Imaxino que adiviñades onde reside o paradoxo: o primeiro que pensaría calquera é que para Álex é mellor xogar máis contra o seguinte peor xogador, Brais, que contra o mellor, Carlos.

Pois ese calquera pensaría mal. Vexamos por que elaborando dúas táboas, na 1ª Álex xoga contra Brais primeiro e na 2ª contra Carlos primeiro. Lembrando que b era a probabilidade de que Álex lle gañe a Brais e c a probabilidade de que lle gañe a Carlos, e supoñendo independencia, a situación é a seguinte:

Opoñente	Brais	Carlos	Brais	Probabilidade
Gaña ou Perde?	G	G	G	bcb
	G	G	P	bc(1-b)
	P	G	G	(1-b)bc

 

Opoñente	Carlos	Brais	Carlos	Probabilidade
Gaña ou Perde?	G	G	G	cbc
	G	G	P	cb(1-c)
	P	G	G	(1-c)bc

Vexamos agora cal é a probabilidade de que gañe o trofeo en cada situación.

• Se xoga primeiro contra Brais, a probabilidade de obter o trofeo é a suma das 3 opcións onde gaña 2 partidos seguidos, é dicir: $$bcb+bc(1-b)+(1-b)bc=bc(b+1-b+1-b)=bc(2-b)$$
• Se xoga primeiro contra Carlos, o mellor xogador, a probabilidade de trofeo é: $$cbc+cb(1-c)+(1-c)bc=cb(c+1-c+1-c)=cb(2-c)$$

Vedes xa a sorpresa?

As dúas probabilidades comparten aspecto, a primeira é $bc(2-b)$ e a segunda é $bc(2-c)$. Obviando o factor común $bc$, resulta que $2-b<2-c$ pois $c<b$, como deixei indicado ao principio, posto que é máis difícil que gañe a Carlos que a Brais. En conclusión, é mellor que elixa o mellor xogador  para xogar dúas veces que o peor xogador.

Agora que xa vistes o razoamento, ficades convencidos? 

No libro de Havil podemos atopar unha explicación á nosa inquedanza: se analizamos o número esperado de victorias en cada situación, aí a nosa intuición si que acerta:

• Na 1ª opción, o número esperado é $$\begin{gathered} 0\cdot (1-b)(1-c)(1-b)+1\cdot [b(1-c)(1-b)+(1-b)c(1-b)+(1-b)(1-c)b]+ \\ 2\cdot [bc(1-b)+b(1-c)b+(1-b)cb]+3\cdot bcb=2b+c \end{gathered}$$
• Na 2ª opción, o número esperado é $$\begin{gathered} 0\cdot (1-c)(1-b)(1-c)+1\cdot [c(1-b)(1-c)+(1-c)b(1-c)+(1-c)(1-b)c]+ \\ 2\cdot [cb(1-c)+c(1-b)c+(1-c)bc]+3\cdot cbc=2c+b \end{gathered}$$

E como, esta vez si, intuímos evidente, o número esperado de victorias é maior se xogamos máis co peor xogador.

Aposto a que outro día hei volver sobre o libro de Havil, no que todos os capítulos teñen ideas interesantes.