31.10.22

A criba de Eratóstenes

 Esta é unha das actividades que aparecen todos os anos nas miñas aulas de 1º de ESO. É un asunto practicamente obrigado, ata adoita vir nos libros de texto. Por exemplo no que temos este mesmo ano:

   
E como é habitual, os libros de texto quítanlle toda a diversión que pode ter unha tarefa.
Vou contar como fago eu esta actividade nas clases de 1º de ESO e, máis importante, que preguntas vexo interesantes cando xa temos a criba á vista. Algún ano, aproveitando que o alumnado estaba sentado por parellas, mandei facer a un da parella a criba na forma cadrada habitual, e ao outro, na disposición da espiral de Ulam. A última vez coido que foi hai 4 anos. É moi divertido, pero hai que saber que alumnos tes, e pode ser esgotador(a cantidade de erros que pode haber en 5 minutos colocando números en espiral é inimaxinable se nunca traballaches en 1º de ESO)

O 1º é, claro, debuxar a táboa cos 100 números, máis ou menos cadrada, no encerado(Outra sorpresa para o novato: o tempo que lles leva facer a táboa aos cativos. Hai que vivilo). 

    

O procedemento é ben coñecido: marcamos o 1 dun xeito distinto(eu recádroo por exemplo), marcamos o 2 como número primo(de novo: nun óvalo p.ex.), e riscamos todos os números múltiplos de 2. Chegado este momento sempre fago a brincadeira malévola de que podíamos escribir 51 números e non 100, porque total iamos riscar 49 números. E comezo a riscar de arriba abaixo adrede: 4, 6, 8, 10, 12, etc., cunha liña horizontal(se os cativos teñen cores, pois aínda mellor) Sempre hai algún que se decata de que é mellor riscar ringleiras enteiras, e entón facémolo. Rematamos cos pares, marcamos o 3 co óvalo e veña cos múltiplos de 3, neste caso con liña vertical. Facemos o mesmo co 5(cun slash), que rapidamente alguén se decatará de que é aínda máis sinxelo que o caso dos pares. Pasamos ao 7 (cun backslash), e aquí sempre lle boto teatro ao chegar ao 49 e ao 77 e sobre todo, ao 91: por que aínda non estaba riscado o 49? Sempre hai alguén que ve a razón. Con 77 é un chisco máis difícil, e con 91 aínda máis. Con este último múltiplo de 7 adoito dicir que é o número composto mellor disfrazado entre 1 e 100. Pero que o verán cando rematemos a criba.

E aínda que non sería estritamente necesario, mando facer o mesmo cos múltiplos de 11(cun riscado curvo dalgún tipo, como o símbolo de semellanza p.ex.). Primeiro, para que vexan que efectivamente non riscamos ningún número novo. Segundo, porque é moi fermoso ver a recta que forman os múltiplos de 11, o que vai avanzar algunha pregunta do final da actividade.

Finalmente, comento que non imos seguir porque non riscaríamos ningún número máis, pola mesma razón pola que non buscamos divisores dun número cando chegamos á súa raíz cadrada enteira: se houbese algún número posterior, veríamolo na súa parella anterior (é dicir, se $a \cdot b=N, b> \sqrt{N}$, entón $a<\sqrt{N}$. E como $11> \sqrt{100}$, o choio está feito. Só queda marcar co óvalo cada número supervivente, pois todos son primos. E que os conten, que é outro momento no que vai haber un feixe de erros. En conclusión: o 1, 25 primos e 74 compostos. Así de bonitiño:

A ver se non hai erros, que non me manexo cos selos do Paint 3D

  • A 1ª observación xa a comentei antes: onde están os múltiplos de 11? Por que? Que pinta teñen? Esta é sinxela.
Pero hai máis, e non tan inmediatas:

  • Por que 57 está riscado só unha vez? 81? 64? 91?

  • Que números están riscados en laranxa(horizontal), azul(vertical) e verde (slash)?

  • Parade a mirar os múltiplos de 5. Cada cantos hai un riscado en vertical(azul)? Por que? Funciona se cambiamos aos múltiplos de 2?

  • Isto é sinxelo, pero hai que decodificalo: mira os múltiplos de 17. Por que está riscado cada un , desde 34 ata 85?

  • Cal é o número que está riscado máis veces? Cantas veces está riscado? Hai máis números nesa situación?

  • Por que dixen antes o do 91?

  • Observa agora todos os múltiplos de 3. Detectas algo na súa disposición? Será algo exclusivo do 3? Pasa co 2 e co 5? E co 7? Por que será?

  • Colle calquera ringleira. Cantos números son múltiplos de 3? Como van aparecendo?

  • Neste momento non sería adecuado, pero cando xa coñezan o máximo común divisor e o mínimo común múltiplo podemos facer preguntas máis afinadas.

Seguro que o amable lector ten máis cuestións axeitadas para esta, na miña opinión, fermosa actividade. E mellores cás miñas. 


0 comentarios:

Post a Comment