Outra demostración dun feito ben coñecido

 Coido que xa falei aquí das demostracións habituais de que a suma dos ángulos internos de calquera triángulo plano é 180º, a saber:

1) Temos a que adoita vir nalgúns libros de texto, que utiliza o feito básico sobre ángulos nunha recta formados por rectas paralelas, que cunha imaxe estática queda claro:

Reivindicando os triángulos obtusángulos

Esta demostración é da que se pode facer unha comprobación pedindo aos alumnos que corten os ángulos en B e C e os poñan xunto a A.

2) E temos a demostración "dinámica", que eu normalmente fago despois da anterior en 1º de ESO, botándolle teatro movéndome pola aula(supoño que como moitos de vós). Observade a figura de abaixo, e poñámonos, virtual ou fisicamente, no punto A mirando para B, andamos cara B, ao chegar aló xiramos para enfilar cara C, xiramos de novo para regresar a A, e finalmente en A, xiramos para poñernos mirando para B como ao comezo. Despois de tanto andar, simplemente estamos no punto de partida e na mesma posición, para o que tivemos que facer un xiro de 360º. E observando os ángulos de xiro, o que fixemos foi $180º-\widehat{B}+180º-\widehat{C}+180º-\widehat{A}=360º \rightarrow540- (\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C})=360º \\\ \rightarrow  180º=\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}$ , q.e.d.

O obstáculo desta demostración é, obviamente, o chisco de traballo con símbolos que ten. En 1º de ESO moitos alumnos non a van entender esencialmente polo uso e manipulación desas tres letras. E falar dos ángulos de xiro sen utilizalas é excesivo para a memoria de traballo da maioría da xente.

E hai cativos que presentan dificultades para asumir que o xiro resultante é un xiro completo, para resolver o obstáculo a estratexia é colapsar o triángulo a un punto, como neste gif que vin en Resourceaholic:

Collido de Resourceaholic/Gifs, descargado e subido por se o link está roto

(Se un día teño tempo e ganas, tentarei facer un gif específico para un triángulo)

Esas dúas son as demostracións (coido que) xa mencionadas neste blog. Vexamos agora a que me motivou a escribir esta entrada, que coñezo hai tantos anos que non lembro a fonte onde a vin por primeira vez, pero que volvín atopar en To prove, why and how?, de A.G.Van Asch, artigo que empecei a ler (grazas, library genesis) interesado polo que indica no resumo pero do que, como sucede tan a miúdo, acabei collendo detalles transversais ou accesorios. Velaquí:

3) Collamos un triángulo calquera, este acutángulo, para variar. No lado BC, por exemplo, un punto calquera D, que unimos con A. Deste xeito temos dous novos triángulos dentro de $\triangle{ABC}$

Aquí cansei de formatear triángulos para que quedasen bonitos

De aquí deducimos que, chamando x á suma dos ángulos do triángulo:

$$ \begin{cases}\widehat{A_1}+\widehat{B}+\widehat{D_1}=x \\  \widehat{A_2}+\widehat{C}+\widehat{D_2}=x \end{cases} $$

, e sumando, 

$$ \widehat{A_1}+\widehat{A_2}+\widehat{B}+\widehat{C}+\widehat{D_1}+\widehat{D_2}=2x $$

Usando o que pasa co ángulo A e os suplementarios en D,

$$\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}+180º=2x$$

Pero entón

$$x+180º=2x$$

De onde

$$x=180º$$ 

q.e.d.

Bonito, eh?

Pois deixo choio:

Por que o argumento anterior en realidade non demostra o que pretende?

Un erro común en Álxebra elemental

 

Observade este problema rutineiro, típico das aulas de 1º e 2º de ESO:

Temos dúas bolsas coa mesma cantidade de bólas. Metemos 10 bólas na 1ª bolsa e quitamos 15 da 2ª bolsa, de tal xeito que agora a 1ª bolsa ten o dobre de bólas que a 2ª. Atopa o número de bólas que tiñan as bolsas ao comezo.

Xa sabedes como vai o asunto, hai que decatarse de que inicialmente as bolsas teñen a mesma cantidade, chamémola x, despois eviitar o recordo de problemas semellantes máis enleados (nos que dunha bolsa ou similar pasamos a outra, típicos os de dar cartos), e traducir esta situación máis sinxela, que tampouco dá máis xogo:

$$x+15=2(x-10)$$

E se levades un tempo no oficio, lestes sobre o tema ou coma min, xa vistes estes erros cando explicabades aos vosos amigos de cativos o día antes do exame, saberedes que é común que haxa respostas deste estilo:

$$2(x+15)=x-10$$

Inciso para valorar a picardía dalgúns alumnos: como a solución correcta da ecuación incorrecta dá lugar a un número de bólas negativo, hai cativos que daquela riscan o 2 e chántano no membro correcto. Un brinde por eles, que polo menos analizan se a solución ten sentido.

Todos os que damos clase nos primeiros niveis da ESO sabemos que sucede: o alumno le que a 1ª bolsa ten o dobre de bólas que a 2ª e asigna ese coeficiente 2 á 1ª bolsa, pois "o dobre" aparece xusto despois de "1ª bolsa" no texto. Pero o erro vai máis alá, pois se tentamos que os alumnos trabucados lean a ecuación incorrecta dándolle significado, van persistir no erro, con frases como "claro, se a 1ª bolsa ten o dobre que a outra, hai que poñerlle o 2 a x+15"

Ante este tipo de erros sempre me vin inerme, como adoita ocorrer en situacións elementais nas que non hai moito que roer, pois non hai moitas etapas/partes incluídas: é tan simple que ou ves o asunto, ou non o ves. Algo semellante á igualdade difícil de ver desta entrada de logaritmos, o alumno trabucado ten que ter unha epifanía persoal, pouco podo facer eu como profesor. De feito, máis dunha vez, chegados a un bloqueo, emprazo ao alumno a pensalo pola súa conta e volver sobre o conto nunha clase posterior. O cal é un chisco unha mentira, pois ás veces non funciona.

O problema do comezo creeino para poñer algo de tradución á álxebra no exame da 2ª avaliación en 2º de ESO, ao atopar outra vez algunha vez o devandito erro, deume por pescudar. E, amigo profesor, non sufras en silencio, atopei uns cantos artigos. 

En particular, Algebra Word Problem Solutions: Thought processes underlying a common misconception, de John Clement, da University of Massachusetts, pareceume especiamente interesante. No artigo Clement comenta 6 exercicios de álxebra elemental propostos nun exame de  45 minutos a alumnos de 1º de enxeñería. Os primeiros ítems non nos interesan para o asunto de hoxe, pero observade o 5º e o 6º:

5. Write an equation using the variables S and P to represent the following statement: "There are six times as many students as professors at this university." Use S for the number of students and P for the number of professors.

6. Write an equation using the variables C and S to represent the following statement: "At Mindy's restaurant, for every four people who ordered cheesecake, there are five people who ordered strudel." Let C represent the number of cheesecakes and S represent the number of strudels ordered.

Non traducín os textos porque non me gusta ningunha  das traducións ao galego que podo facer do ítem 5. Pero as ideas son evidentes.

Como todos avanzamos, a solución correcta do 5 é $S=6P$, a incorrecta máis común é $6S=P$; a correcta do 6 é $5C=4S$, a incorrecta máis común, $4C=5S$

O autor comenta que inicialmente os erros nestes ítems se consideraban provocados pola falta de atención ou coidado, pero que o feito de que houbese un patrón tan marcado de inversión dos coeficientes nas respostas incorrectas, fíxolle cambiar de opinión. Aínda dando unha pista á metade dos estudantes "Tede coidado, algúns estudantes poñen un número no lugar incorrecto na ecuación", a equivocación persistía, amosando que a dificultade era máis profunda que simplemente debida ao descoido.

Por outra banda, comenta que a dificultade segue a aparecer noutros sistemas simbólicos: tradución de figuras a ecuacións, de táboas de datos a ecuacións, e de ecuacións a enunciados, o que amosa que o "reversal error" (que bonito é o inglés para estas invencións) non é só o resultado da ordenación das palabras dun certo xeito na frase.

O autor pasa a explicar o protocolo de actuación para tentar explicar os resultados, gravando entrevistas cos alumnos de enxeñería nas que lles pedían que explicasen como traballaban no exercicio dos estudantes e profesores e similares. O autor apunta a dúas fontes conceptuais de erro: un sintáctico, o proceso  de combinación da orde das palabras, e un semántico, o proceso de comparación estática. No erro sintáctico, o estudante simplemente asume que a orde das palabras clave do enunciado vai emparellarse directamente coa orde dos símbolos que aparecen na ecuación(o que vemos todos os profesores, como mencionei antes). Chámase estratexia sintáctica porque só se base nas regras para organizar símbolos, sen ter en conta o significado das expresións. Por contra, no erro semántico* o estudante si introduce o significado de relación entre as dúas cantidades, S e P, pero trabúcase ao simbolizar a relación, pois aínda entendendo que os estudantes son máis que os profesores, asigna o coeficiente 6 ao membro incorrecto. Ademais, o signo igual para os estudantes que cometen deste xeito o erro, máis que simbolizar unha equivalencia, representa certo tipo de asociación entre grupos diferentes, e o coeficiente actúa máis como un adxectivo que como un operador.

*Confeso que non teño moi claro que quere dicir o autor co de "estático" en contraposición ao "activo" que aparecerá despois.

O artigo inclúe un esquema para representar dalgunha maneira os 2 xeitos incorrectos de proceder e o correcto, desde o punto de vista do proceso cognitivo implicado:

Globos, eu vexo globos

O artigo continúa analizando as transcricións das gravacións cos estudantes, deixando mostras de como estes conceptualizaban o que estaban a razoar. Curiosamente, aparecen ilustracións que, confeso, coido que resultarían moi difíciles de utilizar en clase, e precisamente poderían conseguir o contrario do desexado, por exemplo: 

   

Estou convencido de que esta imaxe lograría que algún alumno que fixese ben a tradución do ítem ou do meu problema cambiase de opinión e se pasase á solución incorrecta.

E como credes que remata o artigo?

"The identification of these conceptual stumbling blocks using protocol analysis should make it easier to design instructional strategies to overcome them"

Non consta que se deseñasen posteriormente esas estratexias. Nin tampouco que algún estudante de enxeñería fose danado durante o tempo que durou o estudo.

P.S.: Mentres escribía esta entrada veume á memoria un asunto onde agromaban estas dificultades na propia carreira. En Topoloxía de Superficies lembro que non era inmediato para todo o mundo traducir as típicas condicións sobre arestas, vértices e caras no contexto da determinación dos poliedros regulares usando a característica de Euler. A dificultade é obxectiva, seica.

Un asunto controvertido das Matemáticas de instituto

Todos os anos, cando chego á continuidade de funcións en Matemáticas I e introduzo o concepto e tento que a definición resulte natural, os alumnos non o saben, pero eu estou morrendo por dentro. Levaba un tempo coa idea de dedicar unha entrada a este fenómeno, e deume por buscar pola rede e resultou que dúas investigadoras da didáctica das Matemáticas na Simon Fraser University, Gaya Jayakody e Rina Zazkis, escribiron un artigo en For the Learning of Mathematics, Continuous Problem of Function Continuity, plasmando punto por punto as miñas ideas. Se ledes con fluidez inglés, tedes permiso para marchar deste blog e non mirar atrás.

A continuidade non aparece de xeito explícito no curriculum da ESO, aínda que se entende que en 3º e sobre todo en 4º é unha das "características das funcións" que aparecen nos contidos, xunto co crecemento, a periodicidade, os cortes cos eixes, etc. Se es un profesor dos que non mira o DOG, nos libros de texto sempre vén, problem solved. E se ves un libro de texto onde non se mencione como definición de continuidade que se poida debuxar a gráfica sen erguer lapis ou xiz, chanta captura nos comentarios. Obrigado.

En 1º de bacharelato, aproveitando a maquinaria que proporcionan os límites, xa é posible introducir o concepto contemporáneo de continuidade, mais o certo é que a definición rigorosa é esvaradía. Habitualmente a definición de función continua nun punto adoita ir así:

f é continua nun punto $c \in \mathbb{R}$ se:

• $c \in Dom(f)$
• $ \exists \lim \limits_{x \rightarrow c}f(x)$ 
• $ \lim \limits_{x \rightarrow c}f(x)=f(c)$

E f non é continua nun punto $c \in \mathbb{R}$ se algunha das condicións anteriores non se satisfai.

Claro, non?

Tres condicións que hai que cumprir para que unha función sexa continua nun punto, se non se cumpre unha, non será continua. E logo adóitase definir función continua como a que é continua en cada punto. Parece lóxico e pulcro, non?

E despois veñen os exemplos:

Función continua no punto que queiras,
OK, bonita, fermosa, TODO BEN

A ese punto despistado chamámolo descontinuidade evitable.
Se non hai o punto cheo azul, tamén

A isto salto finito

E a isto salto infinito

Estándar, non?

Pois algo tan aparentemente ben definido dá lugar a moitos problemas, algúns puramente nominais e outros máis profundos. Vexamos antes unha cuestión das non esenciais. 

Como lle chamaríades a esta descontinuidade?

Que é descontinua está en discusión?

Esta cuestión non é esencial porque, simplemente, non temos por que poñerlle nome a todas as eventualidades que xurdan. Vaiamos a cousas máis serias.

Observade a seguinte gráfica:

Que diríades agora? A función é continua en x=-4, poñamos por caso? E que opinades da función globalmente, é continua?

E esta outra?

Ten que haber un fenómeno semellante á pareidolia cando
ves gráficas e recoñeces formas máis complexas, seguro.
Estou ben, estou ben.    

Ides vendo o problema da definición? Se o punto non está no dominio, non hai continuidade, pero parece obvio que iso só soa ben a descontinuidade cando o punto que non está no dominio está preto de puntos do dominio. Para saber que significa preto, necesitamos a noción topolóxica de punto de acumulación. Na gráfica anterior, por exemplo, o punto x=0 non é de acumulación do dominio, polo cal non se ve axeitado considerar aló a continuidade. Mentres que nunha descontinuidade evitable o punto é o límite dunha sucesión de puntos do dominio; pensade vós que sucede nun punto onde hai un salto finito, nun cun salto infinito ou nun onde os dous límites laterais valen $+\infty$.

 

Cando un estuda o concepto de continuidade na carreira, ve que o contexto natural é o dos espazos topolóxicos, onde chegamos á definición global:

Unha función f entre dous espazos topolóxicos A e B é continua se a imaxe recíproca de calquera aberto V do espazo B é un aberto no espazo A, i.e., $$f^{-1}(V) \in \mathcal{T_A} \  \forall V \in \mathcal{T_B}$$

E nese contexto, considerando que en $\mathbb{R}$ temos a topoloxía usual como espazo métrico(a métrica é o valor absoluto ou calquera das infinitas equivalentes), podemos pensar agora nos exemplos anteriores se existe algún aberto cuxa imaxe recíproca non sexa un aberto, para o cal chega con analizar a imaxe recíproca dos intervalos abertos, que forman unha base da topoloxía.

Se imos á continuidade local, unha función será continua nun punto $x \in A$ se para toda veciñanza V de $f(x)$, existe unha veciñanza U de x tal que $f(U) \subset V$ (vedes o $\epsilon $ e o $\delta$ como se achegan reptando por aí?)

E aínda podemos utilizar unha caracterización secuencial da continuidade:

f será continua en $x \in A$ se a imaxe de calquera sucesión converxente a x é unha sucesión converxente  a $f(x) \in B$

Parade un chisco e notade que estas definicións presupoñen que o punto no que analizamos a continuidade forma parte do dominio da función. 

Concluíndo, a miña opinión é que a confusión coa definición de continuidade de instituto emana de 2 factores:

• A necesidade dos libros de texto de compendiar, de crear unha falsa ilusión enciclopedista. Todos os casos teñen que estar clasificados e enumerados.

• O feito de trabucar que unha función sexa continua con que a súa gráfica sexa homeomorfa á recta real, é dicir, que se poida establecer unha bixección continua coa recta real que ademais teña inversa continua. Que é unha propiedade ben máis forte que a mera continuidade.

Recoñezo que esta é unha teima persoal(si, outra), pois sempre que o falo con compañeiros, todos están contentos coa situación. E como finalmente na ABAU o que van ter que facer é calcular o valor duns parámetros para que unha función sexa continua, pois todo correcto, señor axente. Só padecerán as consecuencias os alumnos se estudan Matemáticas máis avanzadas e os seus profesores. Pero iso é noutra xanela.