Outra demostración dun feito ben coñecido

 Coido que xa falei aquí das demostracións habituais de que a suma dos ángulos internos de calquera triángulo plano é 180º, a saber:

1) Temos a que adoita vir nalgúns libros de texto, que utiliza o feito básico sobre ángulos nunha recta formados por rectas paralelas, que cunha imaxe estática queda claro:

Reivindicando os triángulos obtusángulos

Esta demostración é da que se pode facer unha comprobación pedindo aos alumnos que corten os ángulos en B e C e os poñan xunto a A.

2) E temos a demostración "dinámica", que eu normalmente fago despois da anterior en 1º de ESO, botándolle teatro movéndome pola aula(supoño que como moitos de vós). Observade a figura de abaixo, e poñámonos, virtual ou fisicamente, no punto A mirando para B, andamos cara B, ao chegar aló xiramos para enfilar cara C, xiramos de novo para regresar a A, e finalmente en A, xiramos para poñernos mirando para B como ao comezo. Despois de tanto andar, simplemente estamos no punto de partida e na mesma posición, para o que tivemos que facer un xiro de 360º. E observando os ángulos de xiro, o que fixemos foi $180º-\widehat{B}+180º-\widehat{C}+180º-\widehat{A}=360º \rightarrow540- (\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C})=360º \\\ \rightarrow  180º=\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}$ , q.e.d.

O obstáculo desta demostración é, obviamente, o chisco de traballo con símbolos que ten. En 1º de ESO moitos alumnos non a van entender esencialmente polo uso e manipulación desas tres letras. E falar dos ángulos de xiro sen utilizalas é excesivo para a memoria de traballo da maioría da xente.

E hai cativos que presentan dificultades para asumir que o xiro resultante é un xiro completo, para resolver o obstáculo a estratexia é colapsar o triángulo a un punto, como neste gif que vin en Resourceaholic:

Collido de Resourceaholic/Gifs, descargado e subido por se o link está roto

(Se un día teño tempo e ganas, tentarei facer un gif específico para un triángulo)

Esas dúas son as demostracións (coido que) xa mencionadas neste blog. Vexamos agora a que me motivou a escribir esta entrada, que coñezo hai tantos anos que non lembro a fonte onde a vin por primeira vez, pero que volvín atopar en To prove, why and how?, de A.G.Van Asch, artigo que empecei a ler (grazas, library genesis) interesado polo que indica no resumo pero do que, como sucede tan a miúdo, acabei collendo detalles transversais ou accesorios. Velaquí:

3) Collamos un triángulo calquera, este acutángulo, para variar. No lado BC, por exemplo, un punto calquera D, que unimos con A. Deste xeito temos dous novos triángulos dentro de $\triangle{ABC}$

Aquí cansei de formatear triángulos para que quedasen bonitos

De aquí deducimos que, chamando x á suma dos ángulos do triángulo:

$$ \begin{cases}\widehat{A_1}+\widehat{B}+\widehat{D_1}=x \\  \widehat{A_2}+\widehat{C}+\widehat{D_2}=x \end{cases} $$

, e sumando, 

$$ \widehat{A_1}+\widehat{A_2}+\widehat{B}+\widehat{C}+\widehat{D_1}+\widehat{D_2}=2x $$

Usando o que pasa co ángulo A e os suplementarios en D,

$$\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}+180º=2x$$

Pero entón

$$x+180º=2x$$

De onde

$$x=180º$$ 

q.e.d.

Bonito, eh?

Pois deixo choio:

Por que o argumento anterior en realidade non demostra o que pretende?