Un dos libros que consulto cando teño tempo para pelexar cun problema fermoso é Five Hundred Mathematical Challenges de Barbeau, Klamkin e Moser. Está pola rede en pdf, non o comparto nin poño o número de problema para que arrabeedes.
Observade a seguinte sucesión:
$$1, 2, 4, 5, 7, 9, 10, 12, 14, 16, 17, 19, 21, 23, 25, 26, \dots $$
Adiviñastes a lei de formación? Estou certo que si. Porén, vou engadir aquí unha animación que fixen arredor da circunferencia goniométrica, e de paso, tedes outro problema para pensar:
 |
Dado o norte e un punto móbil da circunferencia goniométrica, consideramos o punto medio do segmento que forman(azul), e 3 puntos homotéticos ao devandito punto medio desde o corte das tanxentes(o gris a $\frac{9}{10}$, o vermello a $\frac{2}{3}$, o laranxa a $\frac{-3}{2}$). Observades os estrafalarios lugares xeométricos, sobre todo o do punto gris? Pois se vos prestan os problemas técnicos, ánimo.
Como xa vistes, comeza con 1, logo veñen 2 números pares, logo 3 impares, 4 pares, 5 impares... Sinxelo, non si?
O difícil é amosar o termo xeral, que xa viñades osmando que ía pasar agora. Non vos queixedes, que vou poñer a expresión(como vén no libro), se $u_n$ é o termo xeral da sucesión,
$$u_n=2n- \left[ \frac{1}{2} (1+ \sqrt{8n-7})\right]$$
onde, como é usual, os corchetes indican a función parte enteira.
0 comentarios:
Publicar un comentario