Unha caracterización dos números compostos

 

Todo o mundo sabe que son os números compostos, a definición é ben simple e é introducida moi cedo na educación dos cativos. Ademais, pódese visualizar xeometricamente, aínda que non estou seguro de que iso axude á maioría da xente que teña dificultades de comprensión, pois a miña experiencia di que os que teñen dificultades cun concepto, tamén lles vai resultar un obstáculo(ás veces formidable) tentar conectar con outra representación/caracaterización do concepto. De aí as protestas habituais do alumnado ante varias explicacións/presentacións da mesma idea.

Por se hai alguén despistado, lembremos que un número n é composto se pode ser expresado como produto de dous números menores que n. Formalmente, $\exists \ a, b \in \mathbb{N}, \ 1<a,b<n  \mid n=a \cdot b $

E a representación xeométrica habitual consiste en debuxar tantos puntos como indica o número, dispoñéndoos en cuadrículas que non teñan nin altura nin ancho 1. É dicir: 

O 12, cantas veces será factorizado en 1º e 2º de ESO?

Utilizamos a representación rectangular porque é a natural na aprendizaxe desde o comezo da nosa aprendizaxe, pero como vimos hai ben tempo cos diagramas animados de Data Pointed, tamén serve calquera representación que resalte os grupos iguais:

30=5·3·2

Porén, hai moreas de resultados que caracterizan os números compostos, ou, o que é equivalente, que caracterizan os números primos. Persoalmente, lembro aprender o Teorema de Wilson na carreira e pensar, candidamente, que nese curto enunciado estaba o segredo dos números primos, etc. Xulgade vós a miña candidez:

Se p é un número primo, entón $(p-1)!\equiv -1 (mod p)$

Se non estades familiarizados* coa linguaxe de congruencias, o que quere dicir é  que (p-1)! deixa resto p-1 ao dividilo entre p. Por exemplo, se p=7, (7-1)!=6!=720, que dividido entre 7 dá obviamente resto 6(pois $721=\dot 7$). Para comprender por que digo que eu era un inocente, podedes ver a entrada da wikipedia sobre os Tests de Primalidade.

*Por sorte iso ten fácil solución, non tedes máis que ler o último capítulo dos Bocados Matemáticos do compañeiro Paulo Ogando, "A aritmética do reloxo", onde mediante exemplos da vida moderna ides entender esta xoia que nos legou Gauss.

Aproveito para compartir aquí a Gauss fibrilando ante o pampo que era eu en 1º de carreira:

A miña magna obra, o meu legado para a posteridade: os gifs 

Agora que xa todos sabemos (frase que adoita ser falsa nas clases) o que son os números compostos, imos co motivo real desta entrada.

Hai dúas entradas aludín ao arquivo que gardo de problemas desde hai 20 anos, arquivo que non revisito adoito porque cada vez que collo unha páxina, acabo perdendo media tarde. Pero esta xoia, tirada  da Olimpíada de Estonia de 1997(que non está na web, curiosamente, a saber onde a vira eu), e que esquecera completamente, merecía tamén ser comentada:

Demostrar que n é composto se e só se existen $x, y, a, b\in \mathbb{N}$ tales que

$$\begin{cases}\large{a+b=n} \\ \large{\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1} \end{cases}$$

E que significará xeometricamente esta condición, que aos máis vellos do lugar nos traerá á memoria a ecuación segmentaria da recta?