O concurso Georg Mohr 2025-2

 Continuemos con esta marabilla de concurso. Na anterior entrada non aclarei que as primeiras dez cuestións son de resposta múltiple, a escoller entre 5 opcións, mentres que as dez últimas son "problemas de resposta". Para o total de 20 cuestións do exame, os alumnos dispoñen de 90 minutos, que non me parece moito, a verdade, para todo o que hai que roer.

Imos coa segunda xeira:

7) Sábese que os catro números a, b, c e d cumpren que $a<b<c<d$ e $\frac{1}{c}<\frac{1}{b}<\frac{1}{a}<\frac{1}{d}$. Cantos dos catro números son negativos?

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) non pode ser determinado

Este tipo de problemas puramente técnicos e abstractos encántanme. Cun nivel máis axeitado, teño posto algún en probas, tanto na ESO como en bacharelato, aínda que en bacharelato como bonus.

8) Nun lado dunha estrada infinitamente longa hai casas numeradas $\dots ,-3,-2,-1,0,1,2,3,\dots$

Todas as casas son vermellas ou azuis. Unha casa é azul se as súas dúas veciñas teñen diferentes cores, en caso contrario, é vermella. A casa co número 492 é azul. Que pode afirmarse con certeza?

a) A casa 2024 é vermella b) A casa 2024 é azul c) A casa 2025 é vermella d) A casa 2025 é azul e) non se pode asegurar ningunha das opcións anteriores

Unha cuestión de lóxica con requisitos mínimos aritméticos sempre é benvida.

9) Temos que colocar os números do 1 ao 9 nas celas do seguinte cadrado. Os números da ringleira superior suman 19, e os números da ringleira inferior suman 15. Os números da columna esquerda suman 7, e os da columna dereita suman 14. Que número ten que colocarse na cela coa interrogación?

É poñer unha figura destas e oír sudoku na clase instantaneamente.

a) Un número impar b) 4 c) 6 d) 8 e) Non pode determinarse

Este ten a súa dificultade por cuestións de tempo. Un pode ser sistemático, e sae, pero leva o seu tempo; ou notar certos feitos e facelo rapidamente.

10) Unha urna contén dous caramelos negros e un caramenlo branco. Georg mete caramelos na urna seguindo esta regra: colle un caramelo ao chou da urna, e pon ese caramelo e outro da mesma cor na urna de novo. Fai este proceso 3 veces de tal xeito que reamta con 6 caramelos na urna. Cal é a probabilidade de que remate con 3 caramelos de cada cor?

a) $\frac{1}{2}$ b) $\frac{1}{3}$ c) $\frac{1}{4}$ d) $\frac{1}{5}$ e) $\frac{1}{6}$

Este si que me parece un chisco máis rutineiro, só ten a dificultade de que hai que ser meticuloso e que o alumnado sabe (en proporción) resolver peor problemas de probabilidade que de case calquera outro bloque.

Aquí rematan os multiple choice problems, e comezan os answer problems: 

11) Dunha lista das 100 palabras máis usadas en certa linguaxe, hai 70 palabras que conteñen a letra A e 60 palabras que conteñen a letra U, mentres que 20 das palabras non conteñen nin A nin U. Cantas das palabras conteñen tanto o A como o U?

Sempre que vexo un problema deste tipo penso en como será atacalo sen saber diagramas de Venn. Para os da miña xeración, que vimos diagramas de Venn no comezo da EXB é unha ferramenta tan natural que resulta case imposible pensar en non coñecela.

12) Georg escolle un natural de 2 cifras n. Cando divide 1010 entre n obtén resto 2. Que resto obterá ao dividir 2025 entre n?

Non sendo rutineiro para o alumnado, o certo é que é un problema clásico. Que sucedería se n tivese 1 cifra? Que o problema non tería solución única.

13) Paula ten unha bolsa que contén 3 E's, 3 G's, 3 H's, 3 M's, 3 O's e 3 R's. Extrae letras da bolsa, unha cada vez, sen mirar. Cantas letras ten que extraer como mínimo para estar segura de que pode escribir GEORG MOHR usando as letras extraídas?

Unha cuestión aritmética básica algo distinta á habitual dos calcetíns de dúas cores nun caixón. É tan elemental que seguramente (deste non tiven feedback na devandita recuperación) dará lugar ao fenómeno de distinguir entre as persoas que ven a dificultade instantaneamente e as que poden non chegar a vela.

14) Aisha está xogando ao billar nunha mesa de 282 cm de lonxitude e 155 cm de anchura. A bóla está á mesma distancia das dúas bandas e a 96 cm do fondo BC. Quere embocar a bóla na troneira en A golpeándoa contra a banda CD no punto P, como amosa a figura. Cal debe ser a distancia entre D e P se Aisha quere embocala en A?

   

Neste hai o obstáculo do feito, por outra parte ben coñecido, de que os alumnos saiban que o ángulo de incidencia e o ángulo de reflexión coinciden. Logo hai que facer unha conta.

15) Nun sistema de coordenadas un rectángulo cos vértices (0,0), (10,0), (10,5) e (0,5) é dividido en 50 cadrados unitarios. Para cada un dos cadrados o valor é definido como a suma das dúas coordenadas dos seus 4 vértices. Así, p.ex., o cadrado unitario con vértices (3,2), (4,2), (4,3) e (3,3) ten valor 3+2+4+2+4+3+3+3=24. Cantos valores distintos aparecen en total?

   

Este é máis sinxelo que a media do concurso, é inmediato decatarse de que sucede entre dous cadrados contiguos.

16) Determina o valor de $$\frac{{20202}^2\cdot {80808}^2}{{40404}^4}$$
Sabendo que é unha parvada, este tipo de exercicios encántame.

17)  Os números do 1 ao 2025 son escritos en fila nunha orde aleatoria. Randi engade 1000 números, un a un, ao final da ringleira deste xeito: mira aos últimos 2025 números da ringleira e engade a mediana deses 2025 números. Repite este proceso 1000 veces. Cal é a máxima cantidade de números distintos que pode haber entre os 1000 números que engade? 

Quizais sexa este o problema máis difícil desta xeira? Quizais. Hai que pararse para entender o que pregunta, hai que pararse para entender que non é tan difícil como parece nun 1º momento, e logo decatarse de que non é tan sinxelo como parece nun 2º momento.

18) Os tres parrulos Zip, Zap e Zup teñen cada un un número favorito, que é un natura maior que 1. Os tres números favoritos son distintos. Os parrulos din consecutivamente números, e se o seu número favorito é divisor do número pronunciado, teñen que erguer unha á. Zip di 20, e dúas ás son levantadas. Zap di 21, e unha á é levantada. Zup di 70, e os tres erguen unha á. Cal é a maior suma posible dos 3 números favoritos?

Este confeso que non me gusta tanto. Paréceme que ten un texto algo abstruso para a idea que encobre.

19) Dentro dun cadrado de lado 10 debuxamos un semicírculo, un cuarto de círculo e unha diagonal. Cal é a área da rexión gris?

Ás veces vexo o Pelegrín   

A quen non lle vai gustar un cálculo sintético de áreas entre circunferencias e rectas? A QUEN?

20) Dos naturais A e B sábese que a suma dos díxitos de A é 2025, e a suma dos díxitos de B é 60. Cal é o valor mínimo da suma das cifras de A+B?

Rápido, cal é o voso pálpito para o derradeiro problema? Veña, agora a demostralo.

Oxalá tivese eu a inventiva necesaria para crear problemas elementais tan divertidos. Que marabilla.

O concurso Georg Mohr 2025

 

En xaneiro tiven a recuperación da 1ª avaliación de Matemáticas I, e como é habitual, houbo alumnos que aprobaran e que non querían subir a súa nota, polo que busquei unha olimpíada recente entre as fontes que levo usando anos: O Torneo Harvard-MIT, as competicións da Universidade de Waterloo, a OBMEP, ...

Pero esta vez o gañador resultou ser a primeira rolda da competición Georg Mohr, da que xa teño collido problemas ben fermosos en moitas ocasións semellantes. A razón foi que lin o 1º ítem, gustoume, mirei por riba os demais, e apostei que ía estar ben. Logo, durante a recuperación, os alumnos que estaban coa competición preguntaron algunha cousa e descubrín que había moitas xoias ocultas neste concurso. Ata o punto de que é difícil escoller algunha, que era o que pensaba que ía facer despois no blog. En conclusión, de vinte problemas, hainos bos e hainos moi bos. Comezando polo primeiro, unha alfaia abstracta sen números:

 1) As 4 figuras amosan o mesmo rectángulo e o mesmo círculo, pero colocados de xeito distinto

En que figura a diferenza entre a área raiada e a área gris é maior?

a) A

b) B

c) C

d) D

e) É igual nas 4 figuras

Este problema paréceme fermosísimo por varias razóns, a primeira xa mencionada: non require(non pode) usar números, só razoar en abstracto. En segundo lugar, a nosa mente rápida quere crer que os tamaños relativos das dúas figuras e da súa intersección inflúen na resposta e tamén quere que intuamos (incorrectamente) que a parte branca está relacionada coa diferenza solicitada no enunciado. Unha marabilla para comezar.

2) Gerth quere construír un modelo de vía férrea. Ten un feixe de pezas de vía de lonxitudes 7 cm e 11 cm. Cal é o mínimo número de pezas necesarias para construír unha vía que mida exactamente 200 cm?

 a)  18 b) 20 c) 22 d) 24 e) 26

O connoisseur recoñecerá instantaneamente a ecuación diofántica lineal subxacente, que non é estritamente necesario resolver, observando simplemente que a vía terá menos pezas cantas máis teña de lonxitude 11. E os colegas seguidores do blog lembrarán que un problema análogo xa aparecera aquí no contexto da fase local da Olimpíada Matemática Galega de 2015 (onde tamén poderán comprobar que a aparición dunha ecuación diofántica dispara o meu uso da palabra connoisseur)

3) Os números 1, 2, ..., 9 están escritos nun encerado. Níkolaj ponlle un 0 á dereita a un número e un 1 á esquerda a dous números. A suma dos números do encerado agora é 119. Cal dos números orixinais é o que ten o 0 á dereita?

a)  3  b) 6 c) 7 d) 8 e) Non pode ser determinado

 

Outra cuestión elemental que é un bo exercicio para o alumnado.

4) A figura amosa o plano dun parque de xogos onde instalaron barras estreitas para practicar equilibrio andando o camiño PQRSP. Os cadrados do plano teñen lonxitude 1 metro. Os círculos son plataformas, dous de raio 1 metro e dous de raio 2 metros. Cal é a lonxitude total da parte do camiño que circula fóra das plataformas?

   

  a)  16 m b) 18 m c) 20 m d) 24 m e) 26 m

Seguramente xa vistes esta idea nalgún concurso de resposta múltiple.

5) Alma lanza un dado co 8 caras cos números do 1 ao 8, e Bertha tira un dado con 20 caras cos números do 1 ao 20. Cal é a probabilidade de que obteñan o mesmo número?

 a)  $\frac{1}{8}$ b) $\frac{8}{20}$ c) $\frac{1}{12}$ d) $\frac{1}{20}$ e) $\frac{1}{28}$

Vouno deixar no 6º problema, probablemente un dos meus preferidos desta fase:

6) Un taboleiro rectangular de dimensións 2x2025 ten que ser cuberto con pezas coa forma

Os triminós sonvos un pouco sosos

De cantos xeitos podemos facelo se as pezas non se solapan?

 a)  1 b) 2025 c) 2·3·2025 d) 2025² e) $2^{\frac{2025}{3}}$

Non sei se me gustou máis porque no momento no que me preguntaron por esta cuestión no exame, a miña primeira intuición foi errónea. Se sodes dos que chegades a combinatoria en 4º de ESO, paréceme un bo problema fóra do estándar da aula, como enriquecemento é factible.