Certa dificultade

 

   

Debido a que improvisei un boletín de repaso de álxebra da ESO en Matemáticas I, non tiña pensado explicar unha cuestión totalmente elemental, referida á división enteira, e non tiña fresco na memoria o difícil que lles resulta aos cativos sen certa axilidade aritmética. 

O asunto comeza coa división de polinomios e en concreto coa regra de Ruffini, que, como é ben coñecido, é un método para dividir un polinomio calquera entre un binomio co aspecto $x-a$ (que eu normalmente traballo sen explicar por que funciona, sorry not sorry). O típico exercicio de práctica consiste simplemente nunha relación de dividendos e divisores sen dobrez ningunha. Pero, como cando o demo non ten que facer, co rabo torna as moscas, algunha dificultade engadida tiña que incluír.

Polo que despois dun cálculo do tipo $(x^4-3x^2+2x-5):(x+3)$ ou $(x^3-x^2+x+3):\left(x-\frac{1}{3}\right)$, de súpeto, sen avisar, aparece un do estilo:

$$(x^4-2x^3+x^2-4x+3):(2x-1)$$

Que, se somos rigorosos, non está ben graduado, pois inclúe dúas dificultades simultaneamente: o coeficiente principal 2 e o feito de que vai aparecer unha fracción ao sacar factor común.

Obviando isto, a dificultade principal é outra, como levar a cabo a división

 $$(x^4-2x^3+x^2-4x+3):\left[ 2 \left(x-\frac{1}{2}\right)\right]$$

E non imaxinades (ou si, que sodes moi listos) o imposible que lles resulta a moitos entender isto.

Para explicalo, amoso esta división numérica:

$$\frac{132}{2 \cdot 3}$$

E que coincide con $$\frac{\frac{132}{3}}{2}$$

Isto xa supón unha parada, pois algúns non viron nunca que nese denominador $2 \cdot 3$, tanto 2 como 3 están a dividir ao numerador. Despois dalgún exemplo máis para clarificar, acaban por ver que o camiño na división polinómica orixinal pasa por dividir por $x-\frac{1}{2}$ e despois dividir outra vez por 2.

Pero hai outro problema, que o exemplo $\frac{132}{2 \cdot 3}$ elude: e se a división é enteira, que ocorre co resto? E crédeme, non resulta evidente nin desde logo automático.

Neste momento hai que buscar ben un exemplo, p.ex.

$$\frac{132}{20}$$ e $$\frac{132}{40}$$

Onde vemos que na primeira división o cociente é 6 e o resto, 12; mentres que na segunda o cociente é 3 pero o resto é tamén 12. E os alumnos esperaban que o resto tamén se dividise entre 2.

Como explicar por que pasa isto?

Pois co que moitos alumnos seguen denominando "a proba da división", é dicir, que $D=d \cdot c+r$

$$132=20 \cdot 6+12$$

$$132=40 \cdot 3+12$$

A segunda igualdade dedúcese da primeira,

$$132=20 \cdot 6+12 \rightarrow 132=20 \cdot 2 \cdot 3+12 \rightarrow  132=40 \cdot 3+12$$

Como a miña intención non era ser rigoroso senón facer entender (se preferides, facer verosímil), non comentei nada do caso no que a primeira división deixa un cociente impar, no que a igualdade xeral $D=\frac{d}{2} \cdot (2c) +r$ segue a ser certa, pero o número $\frac{d}{2}$ non é natural, e o cociente neste caso sería $\frac{d-1}{2}$, ou, se gostades da función parte enteira coma min, $\left[\frac{d}{2}\right]$

Se nalgunha ocasión tivestes que explicar a suma de números en notación científica e vistes as dificultades para que entendan por que $3 \cdot 10^5=0,3 \cdot 10^6=30 \cdot 10^4$ ou, horreur, o equivalente en expoñentes negativos, $3 \cdot 10^{-5}=0,3 \cdot 10^{-4}=30 \cdot 10^{-6}$, non vos sorprenderá nada nesta entrada(por que se multiplicas a mantisa non multiplicas tamén a potencias de 10?) Resumindo moito, as cuestións nas que hai unha idea moi elemental resultan máis difíciles que outras máis sofisticadas(alguén pensando na Combinatoria baseada na regra do produto?).

Para rematar, queredes ver como era a última división? Seguro que si (ehem):

$$(x^3+3x^2-2x+7):(1-x)$$

Situación que, curiosamente, resulta máis sinxela no reino dos polinomios que no ds números negativos.