Souben onte da publicación dos problemas da 13ª Olimpíada de Matemática da Comunidade de Países de Língua Portuguesa. Fun mirar, e non decepcionan: hai variedade de temas, e problemas ben fermosos. E hai unha ecuación diofántica na que unha variable é un número primo:
Encontre todos os inteiros positivos n e p tais que p é primo e $$p^3+(np)^2+1=n^6$$
Porén, como ecuacións diofánticas xa resolvín algunha no blog, e agora non lembro se apareceu a solución dalgunha desigualdade por acó(PS: si, nunha nota autobiográfica), aproveitando que é a 1ª cuestión da olimpíada, e polo tanto é probable que sexa a máis sinxela, velaquí a miña solución da desigualdade que propoñen:
Dados números reais x, y e z, prove que $$4x(y+z)(xy+xz+yz)+y^2z^2 \geq 0$$
E para que non vexades xa a solución, como me pasou a min co problema dos rapaces chineses con talento da entrada previa, déixovos un gif da clase do outro día de combinatoria en 3º:
 |
| Se algún día canso das Matemáticas, xa podo dar clase de Relixión |
Veña, vamos coa solución:
$$4x(y+z)(xy+xz+yz)+y^2z^2 \geq 0$$
O primeiro que vin foi a asimetría nas variables, mentres y e z xogan o mesmo papel, x está destacado. Polo que tentei explotar iso, e funcionou. Que podía non funcionar, mais tiven sorte:
Chamando $s=y+z, p=yz$, o membro interesante da desigualdade cobra o aspecto:
$$4x(y+z)[x(y+z)+yz]+y^2z^2=4xs(xs+p)+p^2=4x^2s^2+4xsp+p^2=(2xs+p)^2$$
que é obviamente non negativo.
E agora entendestes por que escollín esta cuestión, non si? Para sermos honestos, tamén influíu que a solución que atopei dos de xeometría é horrible, pero polo menos non usei coordenadas.
0 comentarios:
Publicar un comentario