3003?

Unha das anécdotas máis coñecidas do mundo dos matemáticos probablemente sexa a seguinte, na que os protagonistas son o matemático británico G.H. Hardy e o xenio matemático hindú Srinivasa Ramanujan:

Hardy foi visitar a Ramanujan no hospital no que levaba un tempo convalecente. Sen darlle importancia, Hardy comentou que o número do taxi no que fora ata o hospital, 1729, non tiña interese algún. Ao que Ramanujan contestou: Trabúcaste, Hardy, 1729 é o menor número natural que se pode expresar como suma de dous cubos de dous xeitos distintos.

En concreto, 1729 = 10³ + 9³ = 12³ + 1³. (Isto dá lugar a sucesión dos números taxicab)

Todo isto veume á memoria cando vendo padecendo a publicidade televisiva vin a matrícula dun dos coches de alta gama dun dos anuncios, 3003.

Imaxino que o número estará escollido por algunha razón relacionada co logotipo da marca de coches. Pero desde un punto de vista matemático o número é ben interesante. Por que? Por unha cuestión oculta no triángulo de Pascal que observei nun artigo de David Singmaster, matemático inglés con sona polos seus puzzles e crebacabezas.

David Singmaster estudou os números naturais que aparecen varias veces no triángulo de Pascal. Obviamente deixou a un lado ao número 1, pois que este aparece infinitas veces non ten moito misterio. Na súa análise achou que o número 3003 (por fin!) aparece 8 veces no triángulo, e ademais é o primeiro de infinitos números que aparecen 6 veces ou máis. Isto está lonxe de ser trivial, pois o seguinte número que aparece polo menos 6 veces, 61218182743304701891431482520, non é precisamente pequeno, sesenta e un mil cuatrillóns, como para atopar os seus factores primos a man (para o realmente freak, é 2³·3·5·7·11·17·23·41·43·47·67·71·73·79·83·89·97·101·103).

O que me pareceu máis interesante do número 3003 é que, ademais do dito anteriormente, é o primeiro número que aparece en dúas ringleiras consecutivas do triángulo de Pascal (obviando de novo o ubicuo 1), en concreto na 14 e na 15 (a primeira ringleira leva o número 0)

Fai clic no triángulo para non quedar chosco

Teorema das alfombras

Hoxe traio outro teorema "con nome" do que non sabía nada ata esta semana.

Estaba a buscar anécdotas, teoremas, problemas,... para os meus alumnos deste ano que acaba de comezar cando, no libro Mathematical Olympiad Treasures, de Titu Andreescu e Bogdan Enescu, atopei este epígrafe, The "carpets" theorem.

Loxicamente tiña que ir ver de que trataba tal feito, pois hai toda unha tradición de teoremas "con nome" que non deixan de sorprender pola tradución que adoitan ter aos obxectos cotiás (por máis abstractos que poidan ser os enunciados reais): Teorema da bóla peluda, Teorema do bocadillo de xamón, Teorema da Galería de Arte,...

Así que aló fun, e isto é o que atopei:

Imaxinade un cadrado ABCD no que marcamos os puntos medios dos lados AB e BC, M e N. Unimos estes puntos medios cos vértices opostos, obtendo na intersección dos segmentos tres puntos que chamamos P, Q e R. É dicir (exemplo de que unha imaxe vale máis que 38 palabras):

Que sucede con esta figura? Pois que a área do anaco laranxa coincide coa suma das áreas dos anacos violetas. Formalmente, 

[PQRD]=[AMP]+[MBNQ]+[RNC]

A demostración non é complicada, chega con relacionar as áreas, indicadas polos corchetes, [], con anacos coñecidos (tapar co dedo o cacho que estás a calcular dá bo resultado):

[PQRD]=[DMC]―[MQP]―[DRC]=½[ABCD]―[MQP]―[DRC]=(*)

Vexamos como escribir as áreas deses dous triángulos:

[MQP]=[ABN]―[APM]―[MBNQ]=¼[ABCD]―[APM]―[MBNQ]

[DRC]=[DNC]―[RNC]=¼[ABCD]―[RNC]

Introducindo estes cálculos en (*):

(*)=½[ABCD]―{¼[ABCD]―[APM]―[MBNQ]}―{¼[ABCD]―[RNC]}=[APM]+[MBNQ]+[RNC]

despois de cancelarmos os valores iguais de signo contrario.

A demostración que dan no libro é intencionadamente máis complexa, para salientar o que vén despois.Porque ata este momento poderiamos dicir que este feito acada o grao de correcto. Que foi o que me chamou a atención unha vez lin o epígrafe mencionado? O que segue:

Sucede que o feito de que os puntos M e N sexan os puntos medios dos lados AB e BC é irrelevante. É dicir, a conclusión sobre as áreas sombreadas tamén é certa con calquera posición de M e N, por exemplo esta:

Aínda que a miña demostración anterior tamén funciona cun cambio mínimo para calquera posición dos puntos M e N nos lados AB e BC, teño que recoñecer que é moito mellor a solución que dan os autores do libro. Unha solución que descansa sobre unha idea sinxela de entender pero difícil de atopar, que é o que se denomina Teorema das Alfombras:

Se o chan du cuarto rectangular está completamente cuberto por alfombras que non se solapan (e non nos importa a súa forma), e movemos unha das alfombras, a área que fica solapada coincide coa área que fica sen cubrir. Enleado? Mira o debuxo  e pode que o vexas máis nítido, ao observares como se move a alfombra á dereita:

E cal é a relación deste feito co noso cadrado de antes? 

Pensemos que o cadrado ABCD é o cuarto do teorema, e os triángulos AND e DCM as alfombras. Eses triángulos teñen a mesma área, que coincide coa metade da área do cadrado, polo que, se non se solapasen, ocuparían xuntos o cadrado. Cando se solapan, a zona solapada (laranxa), en virtude do Teorema das Alfombras, ten que coincidir coa zona do cuarto que deixa de ser cuberta, é dicir, a zona violeta.

Unha marabilla. Tan sinxela, pero tan sumamente elegante.

Huebrix

Un nivel de exemplo

Había un bo tempo que non atopaba pola rede un xogo con certa dificultade e singularidade. Aínda que a idea non é aparentemente moi orixinal, Huebrix presenta algúns retos interesantes para a mente. Visualmente é outro xogo máis "tile-based", é dicir, cunha área de xogo dividida en celas ou rectángulos, e respecto á dinámica do xogo corresponde ao xénero de puzzles. Por último: matematicamente amosa certos problemas topolóxicos en dúas dimensións.

Probádeo, pois aínda que tarda un pouco en chegar a niveis que resulten retadores (o que se vén en chamar "cuva de aprendizaxe suave"), despois veredes fases realmente entretidas (ou desesperantes, depende de como afrontedes os xogos de pensar).

Pero se preferides algo máis académico, sempre podedes botarlle unha ollada ao último informe da OCDE  (eses que elaboran PISA), Education at a glance 2012 ou ás notas sobre España, que foron publicados onte, e onde atoparedes datos tan útiles  e valiosos para o traballo cotiá das nosas aulas como que a aula media de España ten 13'1 alumnos. Estamos en boas mans...

De volta outra vez máis

Tomado de The Math Kid

Para comezar o novo curso quería compartir un anaco do prefacio dun libro de 1944 que estou a ler:

"Popular interest in mathematics is unquestionably increasing. Perhaps this is because of the fact that mathematics is a tool without which the applied sciences would cease to be sciences. On the other hand, the abstract aspect of mathematics is beginning to attract a large following of people who,weary of the complexities of the human equation in everyday activities, turn in their leisure to the simplicities of the mathematical equation."

Que nunha tradución pobre e persoal quedaría:

"O interese popular nas Matemáticas está, sen dúbida, crecendo. Quizais porque as Matemáticas son unha ferramenta sen a cal as ciencias aplicadas deixarían de ser ciencias. Por outra banda, o seu carácter abstracto está a comezar a atraer un grande número de seguidores que,  fartos das complexidades da ecuación humana nas actividades cotiás, se entregan ás simplicidades da ecuación matemática."

O libro, Riddles in Mathematics. A Book of Paradoxes, de Eugene Northrop, contén unha plétora de paradoxos, máis ou menos serios e elaborados, moitos ben coñecidos polos matemáticos. Escollín un paradoxo xeométrico, breve e sinxelo, non moi complicado de desenlear. Vexámolo:

Desde un punto exterior a unha recta podemos trazar dúas perpendiculares.

Debuxemos dúas circunferencias que se intersecan en dous puntos, Q e R. Tracemos os diámetros QP e QS e chamemos P e S ás súas interseccións coas circunferencias.

Vemos rapidamente que os ángulos PNQ e SMQ son rectos por seren inscritos en semicircunferencias. Polo que tanto QM como QN son perpendiculares á recta determinada polos puntos P e S.

Cando un xa sabe onde está o erro na deducción parece que as liñas e os puntos saen da pantalla, pero cando aínda non o descubriu...

Para quen lle gusten os números

Xoguemos un pouco con números naturais.

Imos seguir un proceso que nos vai levar do conxunto dos primeiros 4 números naturais a un único número en tres pasos. En cada paso do proceso colleremos ao chou dous dos números, chamémoslles a e b, e substituirémolos polo número a + b + a·b. Como en cada paso temos un número menos, en 3 pasos chegaremos a ter un só número.

Fagámolo dúas veces, a ver que pasa.

1. Comezamos con {1, 2, 3, 4}. Collemos, por exemplo, o 2 e o 4, calculamos 2 + 4 + 2·4= 14
2. Temos agora o conxunto {1, 3, 14}. Collemos ao chou o 1 e o 3, calculamos 1 + 3 + 1·3= 7
3. Chegamos ao conxunto de dous números {7,14}. Calculamos finalmente 7 + 14 + 7·14= 119, número de presenza inofensiva.

Outra vez:

1. Volvamos a {1, 2, 3, 4}. Collemos agora o 1 e o 4, calculamos 1 + 4 + 1·4= 9
2. Atopamos agora o conxunto {2, 3, 9}. Collemos o 3 e o 9, obtemos 3 + 9 + 3·9= 39
3. Nesta ocasión chegamos ao conxunto {2, 39}. Calculamos outra vez 2 + 39 + 2·39= 119

Outra vez 119? Non pode ser casualidade. Haberá que facelo outra vez:

1. De {1, 2, 3, 4} collemos o 2 e o 3, calculamos 2 + 3 + 2·3= 11.
2. De {1, 4, 11} collemos 1 e 11 e obtemos 1 + 11 + 1·11= 23
3. En {4, 23} calculamos 4 + 23 + 4·23= 119

Se alguén cre que é puro azar, pode probar os distintos 12 camiños (12? non son 24? pois non...) que hai para seguir o procedemento, e así convencerse de que sempre aparece o 119.

Diante dunha sorpresa así, nun algoritmo tan sinxelo, ocórrenseme varias preguntas:

Que terá de peculiar o número 119?

Por que chegamos sempre a el mediante este proceso, independentemente do camiño que sigamos?

Pasará o mesmo se comezamos co conxunto dos primeiros 10 naturais?

Podemos adiviñar o número final e a súa relación co conxunto de partida?

E finalmente... gústanche este tipo de xogos?