Outra sucesión máis

Para a vindeira ocasión na que o teu profesor de  Matemáticas diga que os símbolos  non teñen importancia per se
(De Math Fail)

Lendo unha reseña sobre un libro de Matemáticas atopei esta frase:

"Todo neste libro está conectado coa sucesión de números naturais que comeza 2, 6, 20, 70, 252, 924, 3432..."

Se o autor non mentía, cal era o tema do libro?

O venerable google dará a resposta a quen llo pregunte, o difícil está en atopala por un mesmo. Ademais fai ben pouco que falei de cuestións relacionadas...

O xogo da vida, versión continua (case)

Un dos "xogos" máis coñecidos dentro do mundo das Matemáticas é, sen dúbida algunha, o Xogo da Vida inventado por John Horton Conway. Poño entre aspas xogo porque en realidade non é tal, senón un autómata celular, é dicir, unha grella de celas nas que un algoritmo determina, mediante iteracións, os seguintes estados do sistema. No caso do Xogo da Vida a grella é plana e infinita, e cada cela ten dous estados posibles, viva ou morta (de aí o nome de Game of Life). Ademais cada cela ten 8 celas na súa veciñanza, as 4 coas que comparte un lado e as 4 coas que comparte unha esquina. Por outra banda, o algoritmo (as "regras") vai así:

1. Toda cela viva con menos de 2 veciñas vivas morre na seguinte xeración (soidade)
2. Toda cela viva con 2 ou 3 veciñas vivas sobrevive na seguinte xeración.
3. Toda cela viva con máis de 3 veciñas vivas morre na seguinte xeración (sobre-poboación)
4. Toda cela morta que teña exactamente 3 veciñas vivas volve á vida na seguinte xeración (reprodución)

Estas aparentemente inocentes regras dan lugar a estados terriblemente complicados. E ás veces non parece que o estado inicial seleccionado determine iteracións sinxelas, deixade que este vídeo vos convenza:

Resulta curioso que sexa inevitable ver movemento de obxectos onde só hai aparición e desaparición de celas. Algo semellante ao que sucede cos xogos de luces.

Se queredes observar máis exemplo, aquí tedes un applet feito en Java para que fedelledes e outro vídeo.

Tendo en conta que o xogo da vida é un dos temas recorrentes das Matemáticas recreativas e tamén da Computación, cal é a razón de que faga un post sobre el? Pois que ultimamente apareceron pola rede dúas actualizacións realmente interesantes:

• A 1ª, unha versión do xogo nunha grella hexagonal.

De Math Recreation, un blogue alucinante

• A 2ª, unha versión cunha grella, senón continua, polo menos baseada en aritmética de punto flotante, ao xeito que un ordenador poida implementar. O resultado chámase Smooth Life e temos outro vídeo hipnótico á nosa disposición:

Se despois desta malleira tedes ganas de aprender máis, hai unha morea de recursos on line sobre o tema. Xa na páxina da wikipedia que enlacei arriba tedes moitas ligazóns axeitadas. E tamén tedes dispoñible o documento da investigación sobre Smooth Life. Será por links...

Algo máis livián

Collido de Acertijos y más cosas

Creo que levo uns cantos posts serios de máis, así que é un bo momento para relaxarnos e compartir unhas das últimas ilusións que atopei.

A primeira, que tedes máis arriba, é un bo exemplo de falso movemento, dos que xa teño posto por aquí previamente.

Na segunda, collida do blogue de Richard Wiseman, vemos un cadrado (?) rotando cos vértices cubertos:

E a terceira, unha sorprendente ilusión de confusión de cores, coñecida como Munker Illusion:

Atopado en io9

En que consiste a ilusión? Pois en que os dous cadrados superiores teñen exactamente a mesma cor. E o mesmo sucede cos dous inferiores. Podedes comprobalo cubrindo a contorna dunha das faixas horizontais, de tal xeito que só vexades unha das tres faixas dun cadrado. Ou tamén podedes descargar a imaxe, abrila cun programa de manipulación de imaxes e comprobando que o código hexadecimal das cores é o mesmo...

A realidade está aí fóra

Math Fail, again

Supoñamos que un profesor de Matemáticas dá, entre outros cursos, 3º de E.S.O. Supoñamos que está a traballar o contido das porcentaxes, no que previamente xa relacionou estas coas fraccións. Tamén que os seus alumnos teñen dificultades para distinguir estas dúas situacións:

• Tiña 400 €. Gastei o 20% nun monitor. Canto gastei?
• Gastei o 20 % dos cartos que tiña nun xogo que custaba 45 €. Cantos cartos tiña?

Imaxinemos que o profesor, para tentar disipar as dúbidas, fai os seguintes diagramas (máis ou menos):

Supoñamos que o profesor fracasa lamentablemente no seu propósito.

Saiamos da aula e vaiamos a unha tenda de roupa.

Imaxinemos que o devandito profesor volve a esa tenda para reclamar que lle fixeron pagar os arranxos (7'5 €, por exemplo) nunhas prendas cando estaba exento deles por ser socio. Supoñamos que, para enlear o asunto, na factura orixinal o profesor pagara un 40% menos por ser socio, co cal nesa factura non pagara os 7'5 €  totais de arranxo, senón o 60%.

Imaxinemos a cara dos responsables da tenda cando o profesor afirma que entón teñen que devolverlle o restante 60% do prezo dos arranxos, xa que o outro 40% xa fora descontado. Pensemos agora cal é a solución a este dilema que buscan os dependentes, mentres manteñen a cara de estupefacción ante o profesor.

En efecto: "miremos que pon a máquina".

Curiosamente, a máquina dáballe a razón ao profesor, tiñan que devolverlle o 60% de 7'5 €, é dicir, 4'5 €.

Pensemos agora como todo o ambiente tenta minar a reflexión e o razoamento. Quizais o choio non sexa sinxelo.

3003?

Unha das anécdotas máis coñecidas do mundo dos matemáticos probablemente sexa a seguinte, na que os protagonistas son o matemático británico G.H. Hardy e o xenio matemático hindú Srinivasa Ramanujan:

Hardy foi visitar a Ramanujan no hospital no que levaba un tempo convalecente. Sen darlle importancia, Hardy comentou que o número do taxi no que fora ata o hospital, 1729, non tiña interese algún. Ao que Ramanujan contestou: Trabúcaste, Hardy, 1729 é o menor número natural que se pode expresar como suma de dous cubos de dous xeitos distintos.

En concreto, 1729 = 10³ + 9³ = 12³ + 1³. (Isto dá lugar a sucesión dos números taxicab)

Todo isto veume á memoria cando vendo padecendo a publicidade televisiva vin a matrícula dun dos coches de alta gama dun dos anuncios, 3003.

Imaxino que o número estará escollido por algunha razón relacionada co logotipo da marca de coches. Pero desde un punto de vista matemático o número é ben interesante. Por que? Por unha cuestión oculta no triángulo de Pascal que observei nun artigo de David Singmaster, matemático inglés con sona polos seus puzzles e crebacabezas.

David Singmaster estudou os números naturais que aparecen varias veces no triángulo de Pascal. Obviamente deixou a un lado ao número 1, pois que este aparece infinitas veces non ten moito misterio. Na súa análise achou que o número 3003 (por fin!) aparece 8 veces no triángulo, e ademais é o primeiro de infinitos números que aparecen 6 veces ou máis. Isto está lonxe de ser trivial, pois o seguinte número que aparece polo menos 6 veces, 61218182743304701891431482520, non é precisamente pequeno, sesenta e un mil cuatrillóns, como para atopar os seus factores primos a man (para o realmente freak, é 2³·3·5·7·11·17·23·41·43·47·67·71·73·79·83·89·97·101·103).

O que me pareceu máis interesante do número 3003 é que, ademais do dito anteriormente, é o primeiro número que aparece en dúas ringleiras consecutivas do triángulo de Pascal (obviando de novo o ubicuo 1), en concreto na 14 e na 15 (a primeira ringleira leva o número 0)

Fai clic no triángulo para non quedar chosco