Unha idea de Timothy Gowers

No último post do seu blog, Timothy Gowers (gañador da Medalla Fields ao que xa teño mencionado por acó) comenta a conversa matemática que mantivo cun mozo de 17 anos que está no seu segundo ano do Math A-Level, curso que non ten equivalente no sistema educativo español e que constitúe a vía de acceso aos graos universitarios cun forte compoñente matemático.

Do post, que supón unha boa lección acelerada do cálculo infinitesimal esencial (ao nivel do instituto), querería salientar o último parágrafo:

"Another thing I discovered was that he was very shaky on the chain rule. When I asked him what the chain rule said, he didn’t know what I was talking about. Eventually I got a glimmer of recognition out of him by writing down $ \frac{dz}{dx}= \frac{dz}{dy} \frac{dy}{dx}$. But the idea that if you want to differentiate $ e^{x^3}$ you first pretend that $ x^3$ is a single variable with respect to which you are differentiating and then correct what you’ve just done by multiplying by the derivative of $ x^3$ was completely foreign to him. We looked at a few examples but they’ll need reinforcing at some point. It was yet another illustration of the general principle that if you forget about understanding what’s going on and concentrate on mechanical manipulations, you’ll forget how to do even the mechanical manipulations."

Que na miña barata tradución vén sendo:

"Outra cousa que atopei foi que el tiña moitas dúbidas respecto á regra da cadea. Cando lle preguntei que era o que afirmaba a regra da cadea, el non soubo de que estaba a falar. Ao final albisquei unha pinga de comprensión escribindo $ \frac{dz}{dx}= \frac{dz}{dy} \frac{dy}{dx}$. Pero a idea de que se queres derivar $ e^{x^3}$ primeiro tes que supoñer que $ x^3$ é unha variable respecto á cal estás a derivar e despois axustar o que fixeches multiplicando pola derivada de $ x^3$ era completamente descoñecida para el. Observamos un par de exemplos mais vai necesitar reforzo nalgún momento. Esta é outra ilustración máis do principio xeral de que, se evitas comprender o que está a suceder e concéntraste nas manipulacións mecánicas, esquecerás incluso como facer as manipulacións mecánicas."

Nesta preto-dunha-década que levo sendo profesor aínda non dou comprendido como alguén, antes de tentar entender calquera idea matemática, pode desistir e centrarse no aburrido do choio. E tampouco dou disimulado a miña reacción nas clases cando iso pasa. É un aspecto da dramatización propia do oficio que teño que mellorar.

Un problema para os moi bravos

_Hey, shouldn't you be out with your gangs, spray painting equations on the side of buildings?

The Big Bang Theory, The 43 Peculiarity

No formidable libro de problemas de William Briggs Ants, Bikes&Clocks. Problem solving for undergraduates  (Formigas, bicicletas e reloxos. Resolución de problemas para estudantes universitarios) hai literalmente centos de bos problemas esperando polo afeccionado ás Matemáticas. Entre os temas dos problemas atopamos a Probabilidade, a Física, a Lóxica, a Xeometría, pero tamén unha chea de problemas netamente recreativos. Do capítulo 6, "A World of Change" quero salientar hoxe o problema nomeado "O sombreiro de Feynman":

Un home remaba contracorrente nun río que fluía a unha velocidade de 2 qm/h. Ás 12:00 o seu sombreiro saíu voando e quedou flotando río abaixo. Ata despois de remar 3 qm non achou que perdera o seu sombreiro, momento no cal deu a volta e comezou  a remar río abaixo ata coller o sombreiro. Se o home rema a unha velocidade constante de 6 qm/h con relación á auga, cando alcanzou o seu sombreiro?

Se sodes suficientemente bravos podedes tratar de roelo. 

A descifrar mensaxes!

Probablemente o meu primeiro contacto co mundo da criptografía, a un nivel moi elemental, fose a lectura do Escaravello de Ouro, relato curto de Edgar Allan Poe no que aparecía unha mensaxe cifrada. Aínda que no transcurso do relato o protagonista descifraba a mensaxe, a diversión víase incrementada se un mesmo era quen de descodificar a mensaxe. Tendo en conta que o código consistía nunha cifra de substitución, é dicir, cada letra da mensaxe orixinal era substituída por outro símbolo en tódalas súas aparicións, o choio non era excesivamente complicado.

O segundo contacto, máis escuro na memoria, sucedeu ao atopar mensaxes de compañeiras do colexio que se mandaban no medio das clases. Nestas cartas a cifra que utilizaban era o código de substitución máis simple, a cifra César, aínda que daquela nin elas nin e sabíamos tal cousa. A cifra César recibe tal nome porque Xulio César codificaba as mensaxes que enviaba aos seus xenerais. O mecanismo é o seguinte: fixamos un número natural N, e substituímos cada letra pola letra que está N lugares despois no alfabeto. En concreto as miñas compañeiras de clase fixaban N=1, é dicir, simplemente collían a letra seguinte no alfabeto, de tal xeito que a mensaxe:

"Non aturo ao profesor de Matemáticas"

transfórmase en

"Opo buvsp bp qspgftps ef Nbufnbuldbt"

máis aceptable se é interceptada polo devandito profesor.

En mensaxes curtas como a anterior, se un non sabe a priori cal é o código utilizado pode fracasar ao tentar  descifralo, pero se a mensaxe é suficientemente longa a "análise de frecuencias" case garante que o descifremos. Esta análise de frecuencias consiste en contar cantas veces aparece cada letra, e considerando que cada idioma ten unha xerarquía típica de frecuencias das súas letras, poderemos así adiviñar a que letra corresponde cada carácter cifrado. Ademais desta análise unha boa ferramenta é observar como son as palabras dunha ou dúas letras, pois as máis frecuentes son artigos, preposicións, conxuncións, pronomes, ...

Finalmente, ás veces tamén é útil observar se hai letras que aparecen duplicadas, en galego por exemplo podería haber dígrafos rr, ll, cc.

A criptografía como disciplina de estudo vai alén destes exemplos elementais. Cando un comeza o seu estudo (eu tiven a oportunidade de facelo na carreira nunha materia de libre configuración) acha ferramentas propias da Álxebra Linear, mais isto non avanza de xeito correcto o que atopamos despois: Teoría Alxébrica de Números, e incluso Xeometría Alxébrica.

Nada disto fai falta para xogar un pouco a descifrar mensaxes neste agradable xogo, Cryptograma:

Visto en aliciaramirez.com

O xogo presenta dous idiomas, castelán e inglés. Se xogades considerade as peculiaridades de cada lingua, diferenzas como por exemplo que en castelán a letra máis habitual é o e mais en inglés é o t.
Ademais de ser divertido o Cryptograma ten unha interface ben coidada. Veña, probádeo e descifrade un par de frases famosas.

A realidade e os polígonos

O título do post é voluntariamente rechamante. Para comprender de onde provén o seu significado teredes que ver esta curtametraxe, Dimensions, na que o protagonista debulla os elementos que son utilizados para crear a "realidade" que nos rodea. Esa realidade que todos, nalgunha fase da nosa infancia-adolescencia, temos cuestionado, dun xeito elemental, mais profundamente relacionado co solipsismo.

Nalgún momento da maduración a mente humana deixa de lado estas ideas, ou supéraas, ou aprende a vivir cos paradoxos da existencia, ou en terminoloxía de videoxogos, os "glitches" da realidade. Quen sabe.

O vídeo, unha gozada para os sentidos e máis para a mente. Parabéns para o artista, David Oldenburger, e a Kuriositas por presentalo.

DIMENSIONS from David Oldenburger on Vimeo.

A distancia máis curta, a liña recta?

A ferramenta 2.0 que máis utilizo é, sen dúbida, o Google Reader. Diariamente consulto as novidades que publican nos blogues aos que estou subscrito, agora mesmo 85. Algúns, como Continuities non actualizan máis que un par de veces ao ano. Outros, pola contra, actualizan varias veces ao día, o exemplo máis notorio é Neatorama, fonte de moitos dos meus posts. E tamén teño blogues que probablemente estean máis mortos que vivos, como Sweeney Math. Estes últimos mantéñoos coa esperanza de que algún día volva aparecer o aviso dunha actualización.

Chámame moito a atención que os lectores de feeds, algúns tan sinxelos como o Google Reader, non sexan utilizados de xeito máis xeralizado polos compañeiros de profesión. Imaxino que á maioría da xente gústalle navegar pola rede, dando choutos polo cíberespazo. Non o teño claro. Pola miña experiencia, eu non podería xestionar sen axuda tódalas fontes de información on line que manexo. E aínda que puidese dar feito, probablemente perdería de vista ligazóns interesantes como  Great Circle Mapper, que atopei en JD2718, o blogue dun profesor de Matemáticas do Bronx, en concreto no post Do Great Circles Wiggle?.

Despois de xogar nesa web, teño que propoñer aos colegas que utilicen Great Circle Mapper como apoio á docencia do contido de proxeccións da Terra (habitualmente dentro da unidade de Xeometría en tres dimensións de 3º de E.S.O.). Na web hai un applet que funciona deste xeito: escolledes dous aeroportos calquera do mundo, identificádelos mediante os seus códigos (para o cal podedes poñer o nome da cidade no campo de busca e darlle a "Search") e premedes o botón "Map". O applet calcula o círculo máximo (a xeodésica) que pasa polos dous aeroportos, é dicir, a ruta que faría un avión entre eles. E tamén dá sorpresas, como por exemplo ocorre cando seleccionades o aeroporto de Lavacolla e o de Ushuaia:

O applet tamén proporciona as coordenadas dos lugares, a distancia entre eles e incluso o tempo que levaría viaxar entre eles escollendo a velocidade en millas/hora, km/h, Mach, nós,...

Eu anímovos a experimentar co applet, é un puro divertimento para os profesores. Habería que ver se damos transmitido esa diversión aos alumnos en forma de coñecemento. Se polo menos chegasen a preguntarse: e por que a liña non é recta?