24.1.15

Cousas que só atoparás nunha Avaliación Diagnóstico


Se os libros de texto están inzados de pseudo-problemas, datos ridículos, textos alambicados e absurdos e trapalladas varias, o mesmo podemos dicir das probas externas organizadas polas administracións educativas. Estas probas que, seguindo a norma contemporánea de traducir os usos anglosaxóns, deron en chamarse "Avaliacións Diagnóstico", sen preposición, os dous nomes seguidos.

Observade uns exemplos de ítems trapalleiros aparecidos nas avaliacións externas por España:

    
Esta trapallada apareceu nunha proba de Andalucía no 2006. É o mellor exemplo que teño atopado de pseudo-contexto. Queres comprobar se os alumnos memorizaron os nomes de corpos xeométricos? Pois comenta que son uns globos, quen lle gustan a todo o mundo. A proba ía dirixida a alumnos de 2º de ESO, imaxinade o entusiasmo dos alumnos...

Pero está visto que o dos globos non é un caso illado, mirade este ítem que caeu na proba de Murcia do 2010:

   

Non hai maneira de que apelen á memoria dos alumnos sen redactar un ítem ridículo. Teñen que crear un contexto artificial, se non, non lles coce. Significatividade 100%.


     

Este "problema" foi proposto na Prueba CDI (Conocimientos y Destrezas Indispensables) de 3º de ESO de Madrid do 2008, pero podía perfectamente ter aparecido nun exame do bacharelato elemental dos anos 50. Só lle falta dar os cartos en céntimos, motas e reais.


A proba na que saíu o conto do xarope deparaba máis exemplos. Un par de follas adiante achamos unha narración apaixonante sobre a compra dun piso por parte duns noivos. Primeiro dan cunha escaleira:


Vaia ocasión perdida. Observade a escaleira: das tres dimensións que interveñen, cal é a máis difícil de atopar? E se reparamos nun escalón: é difícil de calcular a altura? Pódese medir directamente? A medida 10 m. que sae na figura, depende de que os escalóns sexan todos congruentes ou isto non inflúe? Que ten que suceder para que poidamos medir directamente eses 10 m.? Poden ter calquera forma os triángulos rectángulos (con hipotenusa invisible) que forman os escalóns? E sendo rigorosos: Que é exactamente o que mide 10 m.? 

Despois preséntaselles un dilema cun albanel:


Imaxino perfectamente a algún cativo pensando que terán que ver as redes móbiles co peso do saco...

A ver se dades lido todo o texto do seguinte ítem, do modelo B de Asturias 2013:

   
Ben traído, non si? Probablemente ese texto puxo a súa parte na procura de que os alumnos descubran o pracer da lectura.


Aínda que o que vén agora non é dunha avaliación da ESO, non podería rematar sen incorporar nesta pequena galería unha proba de 4º de Primaria de Andalucía que deu que falar hai dous anos, non só pola súa calidade (que ides comprobar axiña) senón tamén porque foi filtrada días antes da realización nos centros:




Hoxe na web de Educación de Andalucía o pdf da proba está corrixido, eu tirei a imaxe da filtración previa. Probade a debuxar un sexto neses "hexágonos"...

Calquera outro día volvo a remexer nos pdfs, por material non vai ser...


18.1.15

The writing's on the wall


Vendo unha das innumerables recompilacións do 2014 atopei este vídeo de OK Go que é unha verdadera marabilla. Ademais de servir como compendio rápido de ilusións ópticas, pódese cantar... (a melodía soa coñecida, por certo).



13.1.15

"Simplifiquei os denominadores..."


Que entenderías se un alumno de 2º de ESO, ante unha conta elemental como:

$$\frac{5}{14}+\frac{3}{12}$$

dixese:

-Profe, eu simplifiquei os denominadores...
-Pero como, só os denominadores?
-Si... non... a ver, collín os denominadores e dividinos entre dous.
-E os numeradores? Podes facer iso? Porque a segunda fracción xa dixo (outra compañeira) que se podía simplificar antes de botar a conta, pero coller só os denominadores? Pódese?
-...

Seguiron calculando, fixemos o cálculo típico:

$$\frac{30}{84}+\frac{21}{84}=\frac{51}{84}=\frac{17}{28}$$

E volveu ao ataque:

-Pois a min deume ben, simplificando os denominadores.
-Pero a ver, dime exactamente que fixeches.
-Pois como os denominadores eran os dous pares, pois para calcular o mínimo común múltiplo dividinos entre dous, o mínimo de 7 e 6 é fácil, 42, e multipliquei por dous e deume 84, igual que no encerado.


Eu pensando que o cativo quería simplificar un cacho dunha fracción e resulta que descubrira el só que

$$[\lambda \cdot a,\lambda \cdot b]=\lambda \cdot [a,b]$$

Conclusión: agarda a que atopen as palabras axeitadas...

6.1.15

De sexto aniversario


Outro ano máis, e xa van seis que escribo neste blogue. Como hai só uns días que fixen repaso do 2014, non vou abafar aos lectores con máis cifras, só salientar que esta vai ser a entrada número 532.

Recoñezo que estou ledo de non ter pechado o blogue cando lisquei da Rúa e de seguir escribindo por aquí, aínda que paseniño. A miña intención é continuar facendo máis ou menos o mesmo que durante o ano 2014, xa sabedes, Matemáticas dun nivel preto da terra, Educación/Ensino e cousas varias en menor medida.

Como agasallo para os meus sufridos compañeiros de oficio, e tamén para todos aqueles con gusto polas curiosidades numéricas, hoxe quería compartir un feito ben fermoso. Observade:

Se collemos o número primo 7, e calculamos o seu inverso, $\small{\frac{1}{7}}$,

$$\frac{1}{7}=0.142857142857 \cdots = 0.\overline{142857}$$

Agora, se dividimos o período á metade, é dicir, en 142 e 857, e sumamos:

$$142+857=999$$

Ben. Ata aquí un par de contas casuais. Sucederá algo semellante noutros casos? Vexamos:

Collamos o 17:

$$\frac{1}{17}=0.05882352941176470588235294117647 \dots = 0.\overline{0588235294117647}$$

$$05882352+94117647=99999999$$

Vaia. Aquí hai algo. Agora co 19:

$$\frac{1}{19}=0.052631578947368421052631578947368421\dots= \\ 0.\overline{052631578947368421}$$

$$052631578+947368421=999999999$$

Ben, chegados a este punto teño que avisar de que fixen unha trampullada: se probades cos primos que evitei, 2, 3, 5, 11 e 13, veredes que non funciona este procedemento. O do 2 e o 5 non é sorpresa ningunha, pois a notación decimal xa sabedes que só se comporta ben con eles; o período do inverso do 3 só ten unha cifra, o de 11 só dúas e o do 13 só seis... Así que se queredes facer este algoritmo e chegar a unha unidade menos ca unha potencia de 10, como enriba, teredes que partir dun certo tipo de números primos, os primos que dan números cíclicos no seu período. Estes primos p cumpren que cando lles facemos o inverso multiplicativo, $\small{\frac{1}{p}}$, obtemos un período de p-1 cifras. A razón técnica de que suceda isto nuns casos é que os primos cíclicos cumpren que o número 10 é raíz primitiva módulo p, explicación na que non me vou enlear. 

Se queredes saber con que números primos podedes efectuar o proceso, estades de sorte, pois nesta entrada da Enciclopedia de Sucesións de Números Enteiros aparece xunto cunha boa bibliografía:


Coido que, modificando axeitadamente este algoritmo, pode ser proposto como actividade de exploración cos alumnos. Outra pregunta que pode xurdir, observando os períodos desas fraccións é:
Cando o período non é máximo (p-1), cantas cifras pode ter? 
Hai outra sucesión na Enciclopedia que vos pode axudar a analizar estes feitos:





2.1.15

O triángulo ubicuo

Para comezar o ano fedellemos un chisco con números.

Empezamos co triángulo seguinte, no que a primeira ringleira contén os inversos dos números naturais e nas seguintes ringleiras cada termo é a diferenza dos dous termos enriba del:


   

Xiramos o triángulo 60º no sentido das agullas do reloxo arredor do 1 inicial, e endereitámolo, que non quedou moi xeitoso:



Agora dividimos todos os termos polo último da súa ringleira:




Xa é evidente, non si? Que sucede se tomamos o inverso de cada entrada deste triángulo? E aínda máis interesante: por que?