12.4.15

Atopa o erro

Collamos unha función calquera dunha clase de cálculo de asíntotas de 1º de Bacharelato:

$$f(x)=\sqrt{x^2+x-2}-x$$

Unha función inocente


Como é usual, calculamos o límite no infinito da función. Neste momento o profesor xa sabe que vai dar un número real, pois "no infinito" a raíz dun polinomio de 2º grao compórtase como unha recta; neste caso con pendente 1. Ao choio:

$$\lim_{x \to \infty}{[\sqrt{x^2+x-2}-x]}=$$
Agora vén o ubicuo truco de multiplicar por 1, pero un 1 camuflado na expresión
$$\frac{\sqrt{x^2+x-2}+x}{\sqrt{x^2+x-2}+x}$$
Este truco ten o obxectivo de evitar a indeterminación $\small{\infty-\infty}$
As contas:
$$\lim_{x \to \infty}{[\sqrt{x^2+x-2}-x]}=\lim_{x \to \infty}{\frac{[\sqrt{x^2+x-2}-x][\sqrt{x^2+x-2}+x]}{\sqrt{x^2+x-2}+x}}=$$
$$\lim_{x \to \infty}{\frac{x^2+x-2-x^2}{\sqrt{x^2+x-2}+x}}=$$
Agora atacamos a indeterminación $\small{\frac{\infty}{\infty}}$, tamén cun truco recorrente, multiplicar por 1, camuflado desta volta en
$$\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}}$$
Entón:
$$\lim_{x \to \infty}{\frac{x^2+x-2-x^2}{\sqrt{x^2+x-2}+x}}=\lim_{x \to \infty}{\frac{\frac{x^2+x-2-x^2}{x}}{\frac{\sqrt{x^2+x-2}+x}{x}}}=\lim_{x \to \infty}{\frac{1-\frac{2}{x}}{\sqrt{1+\frac{1}{x}-\frac{2}{x^2}}+1}}=\frac{1}{2}$$

Ben, por fin: a función ten a asíntota horizontal $\small{y=\frac{1}{2}}$

Pero que sucede en $\small{-\infty}?$

Pois algo totalmente diferente:

O límite da función xa non é un número real senón:

$$\lim_{x \to -\infty}{[\sqrt{x^2+x-2}-x]}=+\infty$$
por mor do $-x$ da dereita.

O proceso continúa do xeito común: comparando a función con $x$ en "menos infinito". E sucede o seguinte:
$$\lim_{x \to -\infty}{\frac{\sqrt{x^2+x-2}-x}{x}}=\lim_{x \to -\infty}{[\sqrt{\frac{x^2+x-2}{x^2}}-1]}=$$
$$\lim_{x \to -\infty}{[\sqrt{1+\frac{1}{x}-\frac{2}{x^2}}-1]}=0$$

0? De verdade? Pero a nosa función non tendía a $\small{\infty}?$

Editado o 13 de abril: En realidade hai funcións que tenden a infinito no infinito que comparadas coa función identidade teñen límite 0, a primeira que vén á cabeza é $\small{f(x)=logx}$. No contexto do post si tiña sentido a sorpresa.

Déixovos que expliquedes o erro. Porque erro hai, como vemos na gráfica da función:

Que pinta esa recta oblicua?

Afastemos a gráfica:


E esa rama?

Temos un anaco da gráfica por explicar. É factible explicar o fallo técnico do cálculo previo nunha aula de 1º de Bacharelato? 





7.4.15

Que proba esta imaxe?


Non vai de dominós


Que proba a imaxe inicial?

Nada?

Vexamos. Se a anterior figura é a primeira dunha sucesión infinita, a segunda sería esta:

   
 A terceira:
   
 E a cuarta:
   

Agora si: O que vistes é a demostración sen palabras de que feito?


2.4.15

Un problema de optimización

Estaba a ler artigos sobre o que se deu en chamar "mathematical knowledge for teaching" (o que saben os profesores que dan Matemáticas sobre a súa ciencia), cando atopei un artigo sobre representación na resolución de problemas no que uns investigadores da universidade propoñían un test a futuros profesores, alumnos naquel intre de 5º da Licenciatura en Matemáticas. O test incluía tres problemas de optimización, axeitados para a materia Matemáticas I do bacharelato. A tipoloxía dos tres problemas era a estándar: un problema de cruzar un río con velocidades distintas na auga e na terra; un de maximizar a área dunha figura formada por un semicírculo e un rectángulo cando o perímetro está fixado; un de maximizar a área dun cadrado cando os seus vértices están no perímetro dunha figura anteriormente trazada.

Os tres problemas podían ter aparecido na miña experiencia como alumno do antigo 3º de BUP, dentro da rutina "atopa a función de dúas variables a optimizar-relaciona as dúas variables-despexa unha en función da outra-aplica o proceso de optimización á función dunha  variable obtida-interpreta a solución ou solucións obtidas", porén o último dos problemas resultou máis interesante. Observade:

Un espello rectangular de dimensións 80 e 90 cm. rompe por unha esquina en liña recta. Dos dous anacos que quedan, o menor ten forma de triángulo rectángulo de catetos 10 e 12 cm., correspondentes, respectivamente, ás dimensións menor e maior do espello. Cal é o espello rectangular máis grande que se pode obter do anaco maior?

Para ilustrar a situación, elaborei aceleradamente un applet. Antes de fedellar nel ou cos datos do problema, cal é a vosa intuición sobre a solución?




É a mesma que despois? Poríades este problema na materia Matemáticas I da actualidade?

27.3.15

Recursos para preparar unha olimpíada de 2º de ESO


Noli turbare circulos meos!

Este ano, por primeira vez, alumnos meus van participar nunha olimpíada matemática. O certo é que non os adestrei alén do traballo académico da aula, que todos sabemos que difire moito do que aparece nas olimpíadas. Por isto vou xuntar unhas cantas ligazóns nas que poderán atopar problemas propostos en concursos dos últimos anos. O usual nos últimos anos é colgar os problemas en formato pdf, mais os problemas máis antigos é posible que estean en formato doc.


  • A primeira ligazón é obrigada: a propia web de AGAPEMA, Asociación Galega do Profesorado de Educación Matemática, na que veñen recollidos os problemas (con solución) das olimpíadas desde o 2002 ata o 2013:

Hai que facer scroll na páxina ata atopar a táboa cos problemas e as solucións.

  • A páxina do Canguro Matemático presenta problemas para todos os niveis, desde 1º de ESO ata o 2º de Bacharelato. Escolle o ano no menú da esquerda e despois o nivel.
  • Do Brasil hai que salientar tanto a Olimpíada Brasileira de Matemática, OBM , como a Olimpíada Brasileira de Matemática do Ensino Público, OBMEP.



Os problemas do nivel 1 e algúns problemas do nivel 2 son semellantes á olimpíada galega. Noutros problemas do nivel 2 é necesario saber máis álxebra ou xeometría, pois tamén participan alumnos de 9º grao(~3º ESO).

  • Tamén en Portugal teñen unha web interesante con problemas. A categoría junior vén sendo para alumnos de 6º ou 7º grao e a categoría A para 8º ou 9º.

  • En Andalucía xa é veterana a Olimpíada Matemática Thales. No menú da dereita tedes todas as edicións anteriores, desde 1985. Ademais dos formatos comentados, tamén ás veces hai presentacións cos problemas (en formato pps ou on line)


Xa son problemas abondo para tolear.

22.3.15

Máis problemas de Álxebra sen ecuacións


Hai dúas semanas o fabuloso blogue Futility Closet compartiu un fermoso problema:


John e Mary viaxan de Westville a Eastville. John conduce as primeiras 40 millas, e Mary conduce o resto do camiño. Pola tarde volven pola mesma ruta, John conduce o primeiro tramo e Mary conduce as últimas 50 millas. Quen conduciu máis distancia, e por canto?


Automaticamente o lector identifica os elementos comúns a este tipo de problemas de traxectos de ida e volta. Mais a pouco que un cavile, achará algo en falta: non hai mención a velocidades nin tempos... quizais falte algo?

Déixovos esta envolvente para que pensedes...




En realidade non falta nada no problema, o que sucede é que a distancia total entre Westville e Eastville é irrelevante. A solución que achega Futility Closet fai uso deste feito, mais o meu obxectivo na aula era ben outro: propuxen este problema como starter da unidade de Álxebra en 2º de ESO para que fose patente que, ás veces, hai problemas que teñen unha solución difícil de atopar de xeito non alxébrico. E que a solución alxébrica resulta máis "natural".
Observade a solución xeométrica vs. a solución alxébrica:
Simple transcripción dos datos



Para axudar á visualización, é útil debuxar un par de segmentos:

Por se alguén non o vía xa

Cal é o problema desta solución?

...Que non queda claro que se facemos o debuxo distinto (por exemplo con máis distancia entre as dúas cidades) sirva o razoamento. Por isto é interesante debuxalo polo menos outra vez, para convencer aos escépticos. Na miña aula, na que algún alumno atopou solucións puramente aritméticas(onde se vía con palabras este razoamento xeométrico), houbo quen preguntou que pasaría se a distancia entre as cidades, Lugo e Ourense alí, fose xusto de 50 millas, curiosamente a base da solución de Futility Closet.


A solución alxébrica, como é habitual, dá máis do que agardamos:

Se a distancia entre as cidades é L, á ida John fai 40 millas e Mary L-40; á volta Mary fai 50 e John L-50. En total John fai:
$40+L-50=L-10$
e Mary
$L-40+50=L+10$

E a diferenza entre os dous condutores é

$L+10-(L-10)=20$

Que nos di a Álxebra? Que L é unha variable totalmente "xorda": non inflúe o seu valor na diferenza entre as distancias que conduciron Mary e John. En consecuencia tampouco se pode calcular.

Unha pregunta interesante que xurdiu ao ver isto foi: Profe, hai algún método que non saibamos nós que nos diga canto vale L? Como analoxía o primeiro que se me ocorreu (pensade que tiña dentro da aula a un técnico fedellando nos enchufes do armario Abalar) foi pedirlles a todos que collesen un número x calquera (pero manexable, p.ex. 7) e efectuasen os seguintes pasos:
  • Eleva ao cadrado o teu número: x² -  49
  • Colle os dous números contiguos a x, x+1 e x-1: Multiplícaos: (x+1)·(x-1) - 6·8 = 48
  • Resta os dous resultados anteriores: x²-(x+1)·(x-1) - 49-48 = 1
Non fixen os cálculos alxébricos no encerado, só co 7, e cada alumno fixo as súas contas, e todos viron que chegaban a 1. A pregunta conseguinte ao alumno que preguntou estaba cantada: "Se me dis que che deu 1, podo adiviñar dalgún xeito que número escolliches ao comezo?"

A eventual vindeira entrada sobre starters de Álxebra vai alén desta: haberá un problema que non se dea resolto sen Álxebra?