23.11.14

1736


Por unha vez vou abandonar o galego neste blogue para utilizar outro idioma, aínda que sexa a súa orixe, para propór unha adiviña ben sinxela.

Adiviñades de onde está tirado este extracto?



Simili modo de omni alio casu pontium si quidem numerus pontium, qui in quamque regionem conducit fuerit impar, iudicari potest, an per singulos pontes transitus semel fieri queat. Si enim euenit, vt summa omnium vicium, quibus singulae litterae occurrere debent, aequalis sit numero omnium pontium vnitate aucto, tum talis trasitus fieri potest; sin autem vt in nostro exemplo accidit, summa omnium vicium maior fuerit numero pontium vnitate aucto, tum talis transitus nequaquam institui potest[...]

Si autem numerus pontium, qui in regionem A conducunt, fuerit par, tum circa transitum per singulos notandum est, vtrum initio viator cursum suum ex regione A instituerit an non. Si enim duo pontes in A conducant, et viator ex A cursum inceperit, tum littera A bis occurrere debet, semel enim adesse debet ad designandum exitum ex A per alterum pontem...


É tan sinxelo que pode ser resolto simplemente buscando certas palabras, do mesmo xeito que recomendan algúns métodos de resolución de problemas (na miña opinión totalmente trabucados).

20.11.14

Suposicións que hai que facer


Deambulando pola rede na busca de ideas para introducir nunha ficha de números decimais dei cunha proba máis das "Matemáticas de libro de texto"(anteriormente neste blogue, tamén nesta mención aos "números reais do instituto"), aínda que nesta ocasión na súa versión on line. Coido, polo que teño visto, que a versión on line se corresponde perfectamente coa versión tradicional: segue a haber as mesmas suposicións, as mesmas medias verdades, as mesmas trapalladas. Ollade vós mesmos: alguén dá resolto este exercicio?



A que distancia está Hampton de Decatur?


Porén, a que todos sabedes que está a suceder neste exercicio? Como cambiaríades a estrutura da pregunta para que teña sentido unívoco? É inevitable introducir máis texto? Ou chega con modificar o debuxo?

Deste tipo de suposicións tácitas están cheas as páxinas dos libros de texto, en papel e web. Se o profesor despistado ten a mala sorte de facer actividades deste estilo nunha aula só lle resta aceptar a queixa razoada do alumno atento. E non é este o único escenario no que pode suceder esta circunstancia:
Lembro un exercicio de sucesións nun libro de 3º de ESO no que había que atopar o número n, último dunha secuencia de números consecutivos, que lamentablemente fora borrado. Para tal fin o exercicio proporcionaba a suma de toda a sucesión. O obxectivo da actividade era que o alumno, mecanicamente, aplicase a fórmula da suma dos n termos dunha progresión aritmética para establecer unha ecuación, resolvela e dar felizmente co valor do n oculto (a outra raíz da ecuación era negativa, co cal outro obstáculo era desbotala por absurda).

O autor do problema non pensou que se tes n números consecutivos nunha ringleira e só o último está borrado, podes saber cal é mirando para o número anterior?


Para non facer publicidade explícita da web onde atopei a xoia da figura de enriba, direi só que se facedes a busca "decimal numbers review" por aí andará...

18.11.14

Algúns problemas de olimpíadas

   

Como un xa vai tendo uns anos e explicar os algoritmos das operacións con números decimais deixa pegada, para limpar a ferruxe do cerebro é boa idea remexer un pouco entre olimpíadas matemáticas co obxectivo de atopar algo que faga doer as meninxes. Estamos en época de segundas fases dos concursos nacionais (ou terceiras, p.ex. no caso de Brasil), polo que hai moreas de problemas agardando. Velaquí uns poucos que me tiveron entretido:

  • Ucraína: Achar todas as parellas de números primos que cumpren a ecuación

$$3p^q-2q^{p-1}=19$$

  • Alemaña: Os 100 vértices dun prisma cuxa base é un polígono de 50 lados son etiquetados cos números 1, 2, 3,..., 100. Probar que hai dous vértices conectados por unha aresta do prisma con etiquetas a unha distancia menos que 48. 

  • Brasil: ABCD é un cuadrilátero convexo no que as diagonais AC e BD se cortan no punto P. Os radios das circunferencias inscritas dos triángulos ABP, BCP, CDP e DAP son iguais. Probar que o cuadrilátero ABCD é un rombo.

  • Suráfrica: Amosar que non hai números naturais a e b que cumpran a igualdade
$$ab+(a,b)+[a,b]=2014$$

onde (a,b) e [a,b] denotan o máximo común divisor e o mínimo común múltiplo de a e b respectivamente (é a notación estándar nas olimpíadas)


Se tedes ganas de experimentar esa frustración tan típica da resolución de problemas xa tedes un par de oportunidades. Certo que esa frustración pode dar lugar tamén á outra experiencia característica destas tarefas: a de chegar a resolver os problemas por un mesmo.

12.11.14

Un cadrado e un polígono de 24 lados


Lendo o recente libro de Miquel Capó Dolz  Puzles y matemáticas atopei este problema xeométrico de disección que me gustou e que coido que é axeitado para a miña aula de 2º de ESO (e coa que estou moi contento este ano, aproveito para dicir xa que eles non len este blogue).

Ao choio:


Divide este cadrado en 4 pezas iguais (en forma e tamaño) que poidas xuntar para formar a nova figura:

Neste caso as liñas da grella axudan


Déixoo aquí para engadir ao arquivo de problemas de recortar e pegar dos que acostuman gustar os rapaces do 1º ciclo.

9.11.14

Un pouco de arte

Cando amoso ilusións ópticas aos alumnos e premo na etiqueta embaixo do arquivo, a máis recente é de comezos de ano. Tendo en conta que na rede actual hai creacións novas decotío, vai sendo hora de que actualice este pequeno almacén.

As mostras de hoxe proveñen de artistas urbanos, denominación que semella excluír aos que viñesen da aldea, pero que se ollamos a fonte, street art, resulta coherente.

As obras que vou amosar comparten o obxectivo de enganar á nosa intuición, algunhas dentro da categoría de anamorfoses. Os amables artistas adoitan complementar a delusoria obra cunha explicación do seu oficio mediante tomas desde outras perspectivas. Nas obras que estea dispoñible vou ocultar a explicación para que antes poidades dilucidar vós mesmos os puntos de vista.

Do primeiro artista, Felice Varini, quería salientar un par de obras recentes:

Blu giallo rosso e nero tra il trapezio e l'ellisse


Preme para ver a explicación
    


A segunda obra custa vela ao comezo:

Disque libre noire Nº1

Explicación
      


E a 3ª obra, tan enorme que custa imaxinar o choio que custou deseñala e levala a cabo:

Trois ellipses ouverts en désordre
Para ver a explicación desta xoia ide á súa web, unha soa imaxe non faría xustiza a tan grande choio.


A segunda artista, Fanette Guilloud, ten unha serie titulada Geometrie de l'Impossible, chea de imaxes ben fermosas, das que un matemático non pode omitir este triángulo de Penrose:

"Geometrie de l'Impossible"
2013, France, Anamorphoses; spraycans

Pero tamén é abraiante este prisma (?) para o cal hai explicación:

Blue Berlin, feb. 2014 
          


O 3º artista, Alessandro Diddi, ten varias series con debuxos que escapan do papel, que vos lembrarán con seguridade a Escher:


Jumping Dolphin

Double Illusion


Xa han chegar estas obras por unha tempada; aínda que deixo unhas cantas na recámara, creo que podería ralentizar moito a carga da páxina. Ata a vindeira mostra!