Intermezzo

Haberá que deixar a un lado uns minutos esas correccións horripilantes...

• Os $(\frac{3}{5})^0=\frac{3}{5}$

• Os $9-3·2=6·2$

• Os $3^{-1}=-3$

• Os $p(-2)=-2·p(x)$

E tódalas outras faltas ortográficas que cometen os alumnos nesta sintaxe que denominan curriculum de Matemáticas da ESO. Sintaxe elemental que ademais oculta as ideas que realmente provocan a paixón que, dun xeito ou outro, nos ateiga aos que nos dedicamos a este choio.

E pasar un anaco vendo unha pequena obra:

HINODE from niiyama on Vimeo.

Non te deixes levar

Atopei hai uns días este problema:

Se nun país o 3% dos partos dan lugar a xemelgos, que porcentaxe da poboación supoñen os xemelgos?

(Para non dar máis datos, supoñamos que só hai partos simples e partos dobres)

Calquera persoa afeita a pelexar con problemas e ideas enleadas ve por onde vai a cousa: o problema está proposto para facer pensar durante un tempo que a resposta é 3%. Se quen o vai resolver é un alumno do primeiro ciclo da ESO seguramente non vaia caer do burro ata que vexa un caso particular. Por exemplo, se houbo 100 partos, cantos nenos hai? Cantos son xemelgos? Representan o 3%?

O razoamento xeral depende da madurez alxébrica de cada quen, que pode ser máis ou menos formal. Para ver que os xemelgos van supoñer máis do 3% poderiamos razoar informalmente deste xeito: se o 3% dos partos de xemelgos desen lugar a un único neno, eses nenos representarían xusto o 3%. Como neste caso hai dous nenos por parto, é obvio que teñen que representar máis do 3%.

Para ver a porcentaxe exacta que van supoñer é útil traballar con letras: Se hai x partos, $\frac{97x}{100}$ son partos simples e o resto, $\frac{3x}{100}$ son partos dobres. De tal xeito que hai $\frac{97x}{100}$ nenos procedentes de partos simples e $2\cdot \frac{3x}{100}$ xemelgos. Polo que a fracción de nenos xemelgos respecto do total de nenos é: $\frac{2\cdot \frac{3x}{100}}{2\cdot \frac{3x}{100}+\frac{97x}{100}}=\frac{ \frac{6x}{100}}{\frac{103x}{100}}=\frac{6}{103}$, aproximadamente un 5'8%

Hai moitas situacións  nas que o problema che leva onde quere, que adoita ser un erro grave. Rapidamente veñen varias á mente, algunhas relativamente técnicas:

• O que lle gustaría a grande parte dos alumnos, $(a+b)^2=a^2+b^2$, do que xa falei en varias ocasións.
• O que tamén lles gustaría a moitos alumnos: se algo sobe de prezo un 10%, para calcular o prezo inicial non hai máis que baixarlle o 10%. (Tamén teño falado disto en máis dunha entrada )

E tamén noutras situacións máis problemáticas:

• Se un reloxo atrasa 3 minutos á hora, canto tempo haberá que adiantalo para que remate a hora ao mesmo tempo que outro reloxo que funciona ben?

• Semellante ao anterior no aspecto: Nunha carreira de 100 metros lisos gáñolle a un compañeiro por 3 metros. Cantos metros tería que deixarlle de vantaxe para que a carreira estivese equilibrada?

• Un clásico: Se vou de Ferrol á Coruña a 100 km/h e volvo a 80 km/h (a estas velocidades é obvio que non vou en ferrocarril, que tarda unha hora e media no século XXI), cal foi a miña velocidade media no traxecto global de ida e volta?

Resulta interesante modificar estes problemas que falan de lonxitudes, tempos e velocidades, por exemplo: onde pon que nunha carreira de 100 metros lisos gañas por 3 metros, que pasaría se lle gañas por 3 segundos? E se vas 3m/s máis rápido?

Nestes días de recuperacións e "repescas" pode que lle resulte útil a algún profesor de Matemáticas ter problemas na recámara do pen drive.

Do sexo ás formas cuadráticas

15, 21, 28, ...

O título non é meu. Chántoo aí tendo en conta que tipo de buscas en google poden chegar acó. Vaia decepción que van levar...

Como dixen, o charramangueiro título non é froito da miña imaxinación, senón que o atopei no excelente libro "An Invitation to Mathematics. From competitions to research", editado por Dierk Schleicher e Malte Lackmann. O capítulo que así comeza évos un pouco longo, así que só vou compartir os dous problemas elementais cos que inicia o camiño que remata vinte páxinas máis adiante.

O primeiro problema, que vin por primeira vez na oposición a profesor de secundaria de Castela-A Mancha do 2006, é realmente interesante:

Un profesor ten ao seu cargo varios alumnos. Quere escoller dous ao chou, e descubre que hai xusto un 50% de probabilidade de que os dous alumnos así escollidos teñan o mesmo sexo. Que podemos afirmar sobre o número de alumnos de cada sexo que hai na aula?

Só direi da solución que ten características xeométricas...


Para sermos precisos, o problema da oposición castelá non fora tan complexo. Alí o enunciado era:

Un caixón contén calcetíns vermellos e negros. Cando collemos dous calcetíns aleatoriamente, a probabilidade de que os dous sexan vermellos é 0'5. Cal é o número mínimo de calcetíns do caixón? Cal é o número mínimo de calcetíns se o número de calcetíns negros é par?

Este problema non era orixinal da oposición, senón que xa aparecera en 1965 como primeiro problema do libro "Fifty challenging problems in probability". O interesante é que pode ser resolto sen  analizar polo miúdo a estrutura das solucións da ecuación que xorde de xeito natural.


Relacionado co anterior vén o seguinte problema, titulado "Do sexo aos calcetíns":

Un home ten nunha bolsa calcetíns de tres cores distintas. Observa que se colle dous calcetíns ao chou hai precisamente unha probabilidade do 50% de que formen unha parella da mesma cor. Que podemos dicir do número de calcetíns de cada cor que ten na bolsa?

Este problema con calcetíns é algo máis complicado có dos sexos. Tanto que vou dar unha indicación: as cantidades de calcetíns de cada cor están relacionadas, vía a Fórmula de Herón, con certo tipo de triángulos.

De aquí en diante no libro as cousas vanse poñendo serias. Ata chegar ás formas cuadráticas aínda queda un longo camiño. Matematicamente falando, a viaxe comeza na probabilidade, pasa rapidamente á teoría de números, avanza pola xeometría do triángulo (euclidiana e baixo unha perspectiva vectorial) e remata na teoría matricial de formas cuadráticas. Case nada...

Non só pentágonos...

Atopei nunha tenda a seguinte publicidade:

Estará patentado de verdade? E a forma esférica?

Non puiden evitar fixarme na frase "gracias al ensamblaje de sus 24 paneles pentagonales". Porque se un entende que o balón está composto soamente por 24 pentágonos, digamos que o balón non pode existir. Por que? É unha pregunta de certo nivel, apta para topólogos...

A outro nivel creo posible traballar esta situación nunha aula de 3º de E.S.O. na unidade de Corpos Xeométricos. Por exemplo:

Cantos hexágonos ten o balón se ten 24 pentágonos?

Quizais sexa necesario mirar mellor o balón, poñamos acó unha imaxe en 2D do balón en 3D:

Vese mellor a ensamblaxe de hexágonos e pentágonos?

Outra pregunta interesante pero de distinta índole podería ser:

Cales son as medidas dos ángulos dos pentágonos se os hexágonos son regulares?

Ou:

Como é o desenvolvemento plano do balón?

Máis lúdico e de fedellar:

Con cantas cores podes pintar o balón se non pode haber dúas caras contiguas da mesma cor?

E como en tantas outras ocasións, Euler é o noso amigo. O que non sei é se o balón bota mellor, moita diferenza na tenda non notei...

Editado ás 20:50: se queredes ver como se fan os balóns, ide a "Como se fabrica o balón de fútbol oficial do Mundial 2010", entrada do fantástico blogue tecnoloxia.org, un dos clásicos en galego. No vídeo veredes a fabricación do balón jabulani, que tamén está formado por pentágonos e hexágonos, aínda que algúns menos.

Problemas varios

Aproveitando o tempo libre que teño estiven a resolver algúns problemas, tirados tanto da rede como da miña biblioteca e tamén de Brilliant, unha páxina da que souben hai uns días e que presenta problemas típicos de olimpíadas ademais de exercicios e problemas puramente curriculares.

Estes son algúns dos problemas que capturaron a miña precaria atención:

• O primeiro, de xeometría elemental, vino en Brilliant e préstase a varias estratexias:

Temos un rectángulo ABCD de base BC 12 cm. e altura BA 5 cm. No lado BC podemos atopar dous puntos E e F tales que os ángulos AED e AFD son rectos (por que? que ten que cumprir o rectángulo para que haxa dous puntos así?) Atopa a distancia entre E e F.

A Álxebra dá máis do que lle pedimos...

• O segundo, unha ecuación diofántica tirada da olimpíada polaca:

Atopa tódalas solucións da seguinte ecuación, onde x e y son números enteiros: 

$$x^4+y=x^3+y^2$$

• E o terceiro, unha brincadeira clásica, proposta no século XIX polo matemático francés Édouard Lucas  na súa discusión do 15 de Sam Loyd (si, Lucas é o das sucesións de Lucas que amplían o concepto da sucesión de Fibonacci).

Na figura hai 4 tarxetas coas letras A, B, C e D que ocupan totalmente as celas nas que están colocadas. Movendo as tarxetas por esta figura, sen levantalas, es quen de intercambiar a posición de A e B e a posición de C e D? 

Le jeu du Taquin

Oxalá o pasedes tan ben coma min pensando nas solucións!

Xogos matemáticos

Matemáticas por todos lados

Calquera que saiba algo de videoxogos ten claro que nunha parte importante deles os creadores tiveron que utilizar as Matemáticas para crealos. Isto é debido, entre outras razóns, a que en moitos xogos o programador ten que implementar o movemento dos personaxes. Para este fin haberá que ter en conta tipos de colisións, movementos en 2D ou 3D (translacións, rotacións,...), vistas, iluminación,... Así que necesitará traballar, por exemplo, coas transformacións xeométricas, trigonometría, vectores e álxebra linear. Como curiosidade, para resolver problemas que aparecen na interpolación de animación e a orientación de obxectos resulta moi útil traballar no corpo dos cuaternións, en concreto con cuaternións normalizados. Para quen queira unha explicación rápida deste feito, o creador de Miegakure, Marc Ten Bosch, escribiu esta entrada no seu blogue.

Ademais un programador de videoxogos ten que pelexar, como calquera outro programador, coa  almacenaxe dos números reais na memoria, o que leva a tratar coas dúas principais representacións, o punto fixo e o punto flotante. Matemáticas por todos lados...

Pero se algún profesor de Matemáticas aí fóra pretende utilizar este feito para motivar o estudo das Matemáticas na Educación Secundaria, un aviso: non adoita funcionar. Á maioría dos alumnos non lles importa que os videoxogos estean baseados en Matemáticas. Fai falta saber Matemáticas para xogar? Non. Fin da conversa.(Tampouco funciona que os móbiles bla bla bla nin que Internet bla bla bla. Síntoo. E moito. De verdade).

Hai uns días lía nos blogues de Jason Dyer e Dan Meyer os seus comentarios sobre o que denominaron "Tiny Math Games". Na época na que nos movemos, na que unha das solucións universais para a motivación dos alumnos é a Gamification (non aturo "gamificación"), é relevante analizarmos que entendemos por xogo matemático nun contexto educativo (en niveis teóricos está perfectamente determinado). E non é sinxelo, pois hai unha liña difusa entre os xogos que utilizan Matemáticas e as Matemáticas que resultan lúdicas. Coincido con Dan Meyer en que esta secuencia de chíos de Jason Dyer dá no cravo, ademais de ser hilarante:

The line between "math that is game" and "game that is math" is pretty thin.

— Jason Dyer (@jdyer) 16 Abril 2013

However, students can still smell the former a mile away.

— Jason Dyer (@jdyer) 16 Abril 2013

Seguindo esta liña de pensamentos hoxe quero compartir dous "xogos" que poderiamos encaixar nesas categorías. Obviamente onde os encaixemos depende tanto dos xogos mesmos como do ollo do xogador que os enfronte.

• O primeiro é Circle Drawing Challenge, de Thomas Denney, que atopei en Math Munch (moi recomendable revisión semanal das Matemáticas pola rede) no que o obxectivo é debuxar co rato unha figura que se asemelle a unha circunferencia. Aquí deixo un exemplo casual que fixen eu:

En Coristanco ou na Limia agroman da terra...

Con este tubérculo obtiven un 98'25% de "circularidade". O máis interesante para un profesor de Matemáticas non é o xoguiño, senón a pregunta inmediata que suscita: e como determina a aplicación como de boa é a figura? Pois dun xeito ben intelixente: utiliza a propiedade isoperimétrica das circunferencias, que vén dicir que de tódalas figuras planas pechadas que teñen certo perímetro, a que pecha a maior superficie é a circunferencia. Así que a aplicación calcula o perímetro da túa figura e a súa área, e computa cal sería a área do círculo con ese mesmo perímetro. Despois só fai a razón das áreas para devolver o nivel de "circularidade". Moi elegante.

Se vos gustan estes xogos, lembro un que compartín por acó alá polo 2009, na entrada Xeometría a ollo, no que había que mover liñas e puntos para tentar achegar a bisectriz dun ángulo, o centro dunha circunferencia,  o punto medio dun segmento... A ligazón do xogo é The eyeballing game.

Si que é posible

• E o segundo xogo, probablemente "máis xogo" que o anterior, é A Game of Numbers, creado por JoeDev en 48 horas para a competición Ludum Dare. Como no xogo non dan as regras e temos que atopalas nós, déixovos soamente a captura dunha pantalla:

Working Backwards, obviously

Lembro outro xogo deste estilo, Prime Attack

Quizais os profesores de Matemáticas non lles atopemos utilidade no marasmo de contidos e competencias nos que naufragamos a diario, pero polo menos poderán pasar un bo anaco. Se queredes máis, sempre tedes dispoñibles as páxinas de xogos da miña primeira e vella wiki e do meu delicious:

matematicasnarua2008-09.wikispaces.com/Xogos

delicious.com/coquejj/games

E eu que só viña a comentar uns xogos matemáticos!

Un dos meus problemas preferidos

Non sei moi ben por que, hoxe veume á memoria un problema xeométrico que apareceu hai anos nunha olimpíada matemática dos primeiros cursos de secundaria. Creo que era nunha competición de Uruguay, mais non estou certo. Se a atopo xa editarei esta entrada.

Como este blogue xa vai tendo unha idade, fun buscar na etiqueta Xeometría, pois tiña a sensación de que xa falara del hai dous ou tres anos. Mentres lle daba á roda do rato para abaixo, pensei que bonitos eran os debuxos que fixen co geogebra para ilustrar os diferentes teoremas e (principalmente) problemas que fun propoñendo. Ata que, baixando máis, é dicir, indo máis para atrás no tempo, esa sensación mudou ao ver cantas veces teño escrito dos mesmos problemas. Hai un do que escribín  tres veces, e polo menos outro do que escribín dúas. Por iso pasei un anaco buscando o problema do que vou falar hoxe. (Aínda cabe a posibilidade de que estea perdido nas arañeiras deste blogue, nalgunha entrada que non leu ninguén, nin eu)

O problema, un pouco modificado, é o seguinte:

Se trazamos a diagonal dun rectángulo, collemos un punto P calquera nesa diagonal e trazamos as perpendiculares aos lados, podemos formar dous novos rectángulos:

Como sempre, o debuxo explica mellor ca min

Se collemos o punto P de tal xeito que un dos rectángulos sexa ademais un cadrado (que a ollo sucede en dúas ocasións), que área é maior, a vermella ou a azul?

É obvio cal é o outro lugar onde podería estar P, non si?

Sen necesidade de editar a entrada atopei a fonte do problema: Com-Partida Matemática del Uruguay, 2006, que podedes consultar nesta web.

O problema de Malfatti

Lendo o libro Excursions in Geometry de Stanley Ogilvy atopei o Problema de Malfatti. Este é un problema xeométrico que xa tiña visto noutras ocasións, pero do que nunca lera a historia. E podedes estar certos que esta historia é das curiosas.

Imaxinade que tedes un anaco de mármol con forma de prisma triangular recto e que queredes extraer del tres columnas cilíndricas rectas. Como o faríades para estragar a menor cantidade de mármol?

A pouco que pensedes na figura e fagades mentalmente un corte plano veredes que todo se reduce a maximizar a área de tres círculos interiores á sección triangular resultante, un caso máis de redución dun problema tridimensional a outro máis manexable en dúas dimensións. Aínda que tampouco é tan manexable en dúas dimensións, veredes por que...

Máis queixo balorento que mármol...

Ollando a figura anterior é inevitable pensar que é mellor que as columnas sexan tanxentes entre si e tamén cos bordes do prisma, para que non queden ocos de mármol que poderían ser utilizados. De tal xeito que unha posibilidade máis axeitada, unha vez baixemos a dúas dimensións, podería ser:

A configuración anterior chámase "Circunferencias de Malfatti" en honor do matemático italiano que propuxo o problema, Gian Francesco Malfatti. Este xeómetra deu por suposto que a mellor situación posible tiña ese aspecto, é dicir, tres circunferencias tanxentes dúas a dúas e tanxentes cada unha delas a dous dos lados do triángulo. Situación típica na que o debuxo vale máis que as palabras. E tan certo estaba que isto era así que obviou a demostración formal e se dedicou a tentar buscar unha maneira de chegar ás circunferencias-"solución" mediante regra e compás, á maneira tradicional. Tal xeito de trazar as circunferencias de Malfatti non chegou ata que o grande xeómetra Jakob Steiner atopou un xeito puramente sintético, e que só utilizaba construcións básicas como bisectrices, tanxentes e circunferencias inscritas en cuadriláteros tanxenciais.

Ata aquí a historia parece unha máis dentro da enorma cantidade de problemas matemáticos propostos por un matemático e resoltos por outro. Pero...

...resulta que o problema estaba lonxe de ser resolto. Porque aínda considerando un dos casos a priori sinxelos, o do triángulo equilátero, as circunferencias de Malfatti non maximizan a área.

Non parece que o contraexemplo estivese moi afastado.

Pero aínda é peor se escollemos un triángulo menos regular, por exemplo o pitagórico (13,12,5):

 *É mellor está configuración, obviamente?

As circunferencias de Malfatti quedan ben lonxe do máximo:

Vaia ollo, Malfatti...

O matemático Howard Eves amosou en 1965 que se o triángulo é longo e fino a configuración de máis enriba case duplica a suma de áreas das circunferencias de Malfatti. Pero o mellor desta historia aínda estaba por chegar: en 1967 o matemático Michael Goldberg presentou argumentos visuais que parecían probar que as circunferencias de Malfatti... non proporcionan nunca o máximo da suma das áreas!

A demostración rigorosa non chegou ata 1991, cando V.A. Zalgaller e G.A. Loss publicaron no Xornal Xeométrico Ucraíno "A solution of the Malfatti problem". Neste artigo mostraron que efectivamente a configuración *, correspondente ao algoritmo do avaro ("greedy algorithm"), no que un inscribe a circunferencia máis grande que pode no triángulo (a ben coñecida circ. inscrita), despois introduce a circunferencia máis grande que caiba no espazo que deixa no triángulo a inscrita, e finalmente introduce unha terceira circunferencia no oco que deixan as outras dúas, é sempre a solución do problema de Malfatti. E nun caso de transición o algoritmo do avaro é igualado pola configuración equivalente á do contraexemplo do triángulo equilátero.

Para os lacazáns: as circunferencias de Malfatti nunca resolven o problema de Malfatti.

Que nos motiva no traballo?

De volta da I Xornada de coordinadores/as do proxecto Abalar atopei unha actualización no TED blog que me fixo reflexionar:

A visual look at 7 things that make feel us good about work

Do post de TED comentado

Na entrada presentan unha infografía(realmente un póster) que amosa as liñas xerais da resposta do TED blog a unha charla previa do economista da conduta ¹ Dan Ariely: What makes us feel good about our work?

(perdón pola morea de ligazóns). Non puiden evitar pensar en como se reflicten estes sete puntos no noso tan peculiar labor docente.

1. Ver os froitos do noso labor pode facernos máis produtivos: Quizais porque aínda levo pouco tempo ensinando(arredor de 10 anos), pero o certo é que non teño unha impresión nítida deses froitos. Aínda que sigo en contacto con moitos dos ex-alumnos que tiven, non vexo relación entre o feito de que a moitos deles lles vaia ben na súa vida co meu labor. As cousas sonvos así.
2. Canto menos aprezado consideramos o noso traballo, máis cartos queremos gañar: Non tiven nunca aínda a pulsión de gañar máis cartos. Quizais porque tanto ten: neste traballo imos gañar o mesmo fagamos o que fagamos. Veremos coa infame LOMCE como vai cambiar a situación(seguramente a peor, claro).
3. Canto máis difícil é un proxecto, máis orgullosos nos sentimos del: Si, isto creo que si sucede. En clases especialmente complicadas, cando acadamos obxectivos a priori afastados é xusto sentirse orgulloso do traballo ben feito. O problema é que isto non ocorre con moita frecuencia. Digamos que as clases difíciles son... difíciles.
4. Sermos conscientes de que o noso traballo axuda a outros pode incrementar a nosa motivación inconsciente: No noso caso, inconsciente e tamén consciente. O obxectivo principal do noso labor é a aprendizaxe dos alumnos. Moito máis non hai que dicir. 
5. A promesa de axudar a outros fai que sexa máis probable que sigamos as regras: Como non vexo que "seguir as regras" teña que ser necesariamente positivo, non vexo tampouco que este punto axude á motivación. Probablemente aquí sexa onde se revele a diferenza entre motivación nun traballo usual e motivación no labor docente.
6. O reforzo positivo sobre as nosas habilidades pode mellorar o noso desempeño: É de supoñer que certa valoración positiva sobre o docente podería mellorar a súa predisposición para o traballo. Pero tampouco é automático. En calquera caso, cando foi a última vez que recibistes un reforzo positivo por parte dos vosos compañeiros, a vosa dirección ou (gasp) da administración educativa? (E iso que eu non me queixo, os compañeiros valoran máis o que fago que eu mesmo ou os alumnos-quizais por mor do traballo como coordinador TIC)
7. Imaxes que apuntan a emocións positivas poden realmente axudar a que nos concentremos: Isto soa máis a libro de autoaxuda e trapallada New Age que a psicoloxía seria. Pero quen sabe, nos recantos máis insospeitados atopa un a motivación, algúns ata pretenden converterse en inspectores de educación, ou incluso conselleiros...

E vós que opinades sobre a motivación dos profesores? Porque da dos alumnos xa falamos tódolos días...

---

1 Non é o caso, pois este economista fala do traballo e non do ensino, pero xa estou un pouco farto de que o debate sobre educación estea en mans de economistas, que por unha banda non saben abondo sobre educación para entender os items que manexan, e por outro non saben abondo sobre Matemáticas e Estatística para darlle significado aos números^↩

Solucións trabucadas habituais

Quedei pensando cunha frase que escribín na anterior entrada. Non é que me dedique a ler o que eu mesmo escribo, senón que, como no post anterior houbo que retocar as características do applet de Geogebra tiven que actualizar a vista da páxina en varias ocasións. Como parece que a autocita escapa á infame Lei Lassalle, reprodúzoa aquí:

"Como vin que varios alumnos de 3º tiñan problemas para imaxinar a gráfica dun exercicio de funcións do libro, estiven a fedellar co Geogebra para axudar á explicación"

Isto é, sen dúbida, un erro. Ademais é un erro que tendo a repetir.

E non o parece, a simple vista. Por que é un erro?

Porque se o meu obxectivo como profesor é que os alumnos imaxinen non debería de poñerlles eu unha imaxe diante. Porque iso é o contrario de imaxinar. Porque reproduce o modelo actual de ocio: sen necesidade de entender nada, facendo clic (agora tocando nalgures) tes automaticamente o que desexas.

E seguindo este fío pensei en máis exemplos onde a miña (ou habitual) solución non vén resolver o que pretende, senón que vén emendar ou proporcionar un sucedáneo. Rapidamente viñeron unhas cantas situacións:

• Se un alumno ten dificultades coa resolución de problemas, é erróneo diluír os problemas dando un algoritmo que se aplique a tódolos problemas. Porque iso non é resolver problemas. É outra cousa.

• Se queres que un alumno sexa quen de seguir un algoritmo que consta de varios pasos (resolución de ecuacións con denominadores, trazado da gráfica dunha función cuadrática, etc.), non é boa idea axudarlle a levar a cabo o algoritmo asistíndolle en cada un dos pasos.

• Se pretendes que os teus alumnos vexan que as Matemáticas teñen un carácter deductivo, tampouco é boa idea aplicar mecanismos sen motivación lóxica. Isto é complicado de evitar, pois nos curricula temos exemplos como a Regra de Ruffini, difícil de xustificar no segundo ciclo de E.S.O. Por non falar do deostado e raramente entendido (e explicado) algoritmo da raíz cadrada...

Por se alguén cre que servidor proclama ter alternativas ao anterior, teño que recoñecer que non as teño, pero sigo a buscar. Sería interesante que a Administración educativa promovese a reflexión sobre o curriculum e a metodoloxía entre profesionais. Sucede que a Administración está máis preocupada en organizar exames estandarizados para que deixemos de traballar contidos matemáticos nas aulas e pasemos a preparar tests.

Deixemos a carraxe á parte mentres vemos un precioso vídeo da NASA: