15.12.14

Por pura lóxica...

Hai un problema de lóxica que adoita aparecer de vez en cando en concursos matemáticos e que teño visto ata en libros de texto, nesas páxinas do bloque de contidos comúns 0, que ninguén le nin traballa. Seguro que vos resulta coñecido:

Consideremos a seguinte afirmación: "Se una carta ten unha vogal nun lado, entón ten un número par no outro"
A continuación son presentadas catro cartas que amosan os símbolos E, 4, K e 7.
Que cartas hai que voltear para comprobar a veracidade da afirmación inicial?

Este problema, coñecido como o das 4 cartas, xurdiu hai case medio século no traballo do psicólogo Peter Wason, e deu lugar a moitos artigos dentro do campo da Psicoloxía Cognitiva. Podedes ir a esta versión on line para comprobar que collestes a idea.

Pero este problema, sendo interesante para destapar fallos no razoamento lóxico, non é o obxecto desta entrada, pois xa o coñecía vai para dez anos. Ata o usei nalgunha ficha da miña serie "Problemas difíciles para xente intelixente" (que por certo algún día terei que subir).

Non, o problema lóxico que captou a miña atención desta volta non foi o das catro cartas. Aínda que tamén foi ideado polo pioneiro da Psicoloxía do Razoamento P. Wason, eu non o descubrín ata a semana pasada lendo o libro Thinking and Reasoning: Psychological Perspectives on Reason, Judgment and Decision Making de Ken Manktelow. É coñecido como o problema do THOG, e é ben fermoso, observade.

Diante de ti tes estes catro deseños

   
Eu escollo unha das cores (negro ou branco) e unha das formas (cadrado ou círculo) e escríboas nun papel que ti non ves. Le as seguintes instrucións con coidado:
Se, e soamente se un deseño inclúe ou a cor que escribín, ou a forma que escribín, pero non ámbalas dúas, entón ese deseño chámase THOG.
Ademais o cadrado negro é un THOG.
Agora cada deseño pode ser clasificado nunha das seguintes categorías:
  1. Forzosamente ten que ser un THOG
  2. Non hai información suficiente para decidir
  3. Forzosamente non pode ser un THOG
Finalmente: ademais do cadrado negro, cal dos outros tres deseños é un THOG?

Só unha advertencia: coidado coa precisión da disxunción exclusiva e da dobre implicación...

6.12.14

Un problema de piratas


Estaba a pensar uns exercicios de sistemas de ecuacións non lineares cando, de súpeto, me veu á memoria un problema que coñecín vai para dez anos e que non ten relación algunha co que estaba a barallar. O problema falaba do típico tesouro pirata agochado nunha illa, e que por suposto tiña un críptico mapa para atopalo. Púxenme a buscalo pola rede coas seguintes pistas: había unhas árbores e unhas estacas  no mapa, e o problema aparecera nunha olimpíada de Matemáticas de Suramérica, quizais a Com-Partida del Uruguay ou a de Chile. Non o dei atopado nesas fontes, mais quixo a casualidade que Arthur Lee, un matemático que sigo en Facebook, compartise publicamente un workshop en geogebra da Asociación para a Educación Matemática de Hong Kong, e alí estaba o problema da illa do tesouro. Investigando un pouco (é dicir, chantando algunhas das palabras traducidas ao inglés no campo de busca de google) cheguei á orixe do problema, que resultou ser One, Two, Three... Infinity do científico e divulgador George Gamow.
Atendede a este fermoso problema que xa forma parte do acervo matemático:

Un mozo atopou entre os papeis do seu bisavó un anaco de pergamiño que revelaba a localización dun tesouro agochado. As instrucións dicían:

"Navega ata o lugar a ___ graos de latitude norte e ___ graos de lonxitude oeste, onde atoparás unha illa deserta. Na costa norte da illa hai un grande prado onde repousan un solitario carballo e un solitario piñeiro. Verás tamén unha vella forca onde se adoitaba colgar aos traidores. Comeza a andar desde a forca ata o carballo contando os pasos. No carballo tes que xirar á dereita 90º  e andar o mesmo número de pasos. Cando remates, espeta unha estaca no chan. Agora volve á forca e anda ata o piñeiro contando tamén os pasos, no piñeiro xira á esquerda 90º e anda a mesma distancia; chanta outra estaca no punto final. Cava no punto medio entre as dúas estacas que chantaches, o tesouro estará xusto alí"

As instrucións eran ben claras e explícitas, así que o noso mozo fretou un barco e navegou aos mares do sur. Atopou a illa, o prado, o carballo e o piñeiro, pero para a súa desgraza, o patíbulo desaparecera por completo. Aínda así, anoxado, comezou a cavar ao chou polo prado. Mais os seus esforzos foron baldíos, e navegou de volta coas mans baleiras.


Illa do tesouro low-cost


Que tiña que facer o mozo para atopar o tesouro?




28.11.14

Outra actividade alxébrica sen ecuacións(case)

Remexendo entre os concursos de Matemáticas da academia Phillips Exeter atopei un tipo de problema que non vía desde hai moitos anos, probablemente desde que lin os libros de Martin Gardner da biblioteca de Ferrol, libros que por certo, non tiven outra vez en papel desde aquela.

O problema pertence a unha clase relativamente común dentro das Matemáticas recreativas, como é a da disección de figuras en cadrados. A divulgación destes problemas débese, como apuntei antes, a Martin Gardner, en concreto á súa recompilación de artigos The Second Scientific American Book of Mathematical Puzzles and Diversions (en castelán Nuevos Pasatiempos Matemáticos), aínda que o propio Gardner comenta que a súa orixe está, como é habitual, no traballo de Henry Dudeney.


O problema que atopei no concurso de 2010 presenta o seguinte rectángulo:


Mondrian?

Nesta figura todas as pezas son cadrados, agás a máis grande, aínda que o parece (e está preto de selo, sexa o que sexa "estar preto"). Ademais vemos a medida do lado do máis pequeno dos cadrados. Con esta información temos que achar a superficie do rectángulo grande.

Aínda non chegamos en 2º de ESO nin nas Matemáticas A de 4º ao bloque de Álxebra. Cando cheguemos coido que vou propoñer algún problema deste tipo.

23.11.14

1736


Por unha vez vou abandonar o galego neste blogue para utilizar outro idioma, aínda que sexa a súa orixe, para propór unha adiviña ben sinxela.

Adiviñades de onde está tirado este extracto?



Simili modo de omni alio casu pontium si quidem numerus pontium, qui in quamque regionem conducit fuerit impar, iudicari potest, an per singulos pontes transitus semel fieri queat. Si enim euenit, vt summa omnium vicium, quibus singulae litterae occurrere debent, aequalis sit numero omnium pontium vnitate aucto, tum talis trasitus fieri potest; sin autem vt in nostro exemplo accidit, summa omnium vicium maior fuerit numero pontium vnitate aucto, tum talis transitus nequaquam institui potest[...]

Si autem numerus pontium, qui in regionem A conducunt, fuerit par, tum circa transitum per singulos notandum est, vtrum initio viator cursum suum ex regione A instituerit an non. Si enim duo pontes in A conducant, et viator ex A cursum inceperit, tum littera A bis occurrere debet, semel enim adesse debet ad designandum exitum ex A per alterum pontem...


É tan sinxelo que pode ser resolto simplemente buscando certas palabras, do mesmo xeito que recomendan algúns métodos de resolución de problemas (na miña opinión totalmente trabucados).

20.11.14

Suposicións que hai que facer


Deambulando pola rede na busca de ideas para introducir nunha ficha de números decimais dei cunha proba máis das "Matemáticas de libro de texto"(anteriormente neste blogue, tamén nesta mención aos "números reais do instituto"), aínda que nesta ocasión na súa versión on line. Coido, polo que teño visto, que a versión on line se corresponde perfectamente coa versión tradicional: segue a haber as mesmas suposicións, as mesmas medias verdades, as mesmas trapalladas. Ollade vós mesmos: alguén dá resolto este exercicio?



A que distancia está Hampton de Decatur?


Porén, a que todos sabedes que está a suceder neste exercicio? Como cambiaríades a estrutura da pregunta para que teña sentido unívoco? É inevitable introducir máis texto? Ou chega con modificar o debuxo?

Deste tipo de suposicións tácitas están cheas as páxinas dos libros de texto, en papel e web. Se o profesor despistado ten a mala sorte de facer actividades deste estilo nunha aula só lle resta aceptar a queixa razoada do alumno atento. E non é este o único escenario no que pode suceder esta circunstancia:
Lembro un exercicio de sucesións nun libro de 3º de ESO no que había que atopar o número n, último dunha secuencia de números consecutivos, que lamentablemente fora borrado. Para tal fin o exercicio proporcionaba a suma de toda a sucesión. O obxectivo da actividade era que o alumno, mecanicamente, aplicase a fórmula da suma dos n termos dunha progresión aritmética para establecer unha ecuación, resolvela e dar felizmente co valor do n oculto (a outra raíz da ecuación era negativa, co cal outro obstáculo era desbotala por absurda).

O autor do problema non pensou que se tes n números consecutivos nunha ringleira e só o último está borrado, podes saber cal é mirando para o número anterior?


Para non facer publicidade explícita da web onde atopei a xoia da figura de enriba, direi só que se facedes a busca "decimal numbers review" por aí andará...