10.4.14

Polares dunha cónica


Esqueza o lector matemático os coñecementos que aprendeu sobre a dualidade no plano proxectivo aló por segundo de carreira, e tente poñerse no lugar de quen non os teña. E verá, doutro xeito, mais verá...


No curriculum das Matemáticas de primeiro de bacharelato de ciencias hai unha pequena unidade, probablemente a máis breve do curso, dedicada aos lugares xeométricos e ás cónicas. Non se espera moito dos alumnos a ese nivel: un par de conceptos, recoñecemento das fórmulas reducidas, algún procedemento máis e abur.

Porén, esa unidade é un indicador de moitas cousas: non só da madurez na utilización dos algoritmos propios da Álxebra, senón tamén(por unha vez) da visión/intuición, aínda que restrinxida a dúas dimensións. E tamén serve como aperitivo para conceptos que chegarán despois, en tempo e madurez matemática. Hoxe quero amosar unha situación na que a Álxebra avanza detalles difíciles de intuir. Observade:

Cando traballamos con cónicas, o cálculo das tanxentes desde un punto exterior é típico de 1º de Bacharelato. Para tal fin hai varias estratexias, unha delas consistente en considerar o feixe de rectas que pasan por un punto, e determinar cales delas tocan á cónica, é dicir, cortan dúas veces no mesmo punto. Vexamos un exemplo concreto e sinxelo: consideramos a circunferencia de radio 1 centrada na orixe, e o punto exterior P(2,0). As ecuacións das rectas que pasan por P son:
$y=m(x-2)$, onde o parámetro m é a pendente variable de tales rectas (para sermos precisos, non consideramos a recta vertical que pasa por P, mais vemos na figura que esa omisión non é relevante)

Establecemos o sistema que indica a intersección das rectas e a circunferencia,

$\begin{cases} x^2+y^2=1 \\ y=m(x-2)  \end{cases}$
Que leva rapidamente á ecuación:
$x^2+[m(x-2)]^2=1$, na que impoñemos que o discriminante sexa nulo para asegurar que a recta corte nun único punto á circunferencia.
Chegamos dese xeito a que $m=\pm \frac{\sqrt{3}}{3}$, as dúas tanxentes son $y=\frac{\pm \sqrt{3}}{3}(x-2)$ e os dous puntos de tanxencia $(\frac{1}{2},\frac{\pm\sqrt{3}}{3})$.
A recta que une eses dous puntos de tanxencia chámase a polar de P(concepto esencial na Xeometría Proxectiva), e neste caso é a recta vertical $x=\frac{1}{2}$

Eu aquí vexo un globo ocular, claramente.



Que sucede se collemos un punto calquera do plano $P(a,b)$ no lugar do tan axeitado (2,0) anterior?

Aforrándovos as contas, as pendentes das tanxentes neste caso serían:

$$\frac{-ab\pm\sqrt{a^2+b^2-1}}{1-a^2}$$

Onde a Álxebra pensa por nós ao amosarnos nese radicando que as rectas tanxentes só existen cando $a^2+b^2 \ge 1$, é dicir, se o punto está sobre a circunferencia ou fóra dela.

Aínda así, tendo dúas expresións para as pendentes, podemos considerar o resultado de seguir o mesmo procedemento que antes para atopar a polar, a ver que sucede. Aforrando de novo os cálculos, obteremos a recta $ax+by=1$, que sorprendentemente sempre existe, dá igual que P estea fóra ou dentro da circunferencia. E que significa esa recta polar?
No caso no que estamos, co punto interior á circunferencia (no que non existen as tanxentes) a polar é exterior á circunferencia. Ollade o caso no que tomamos o punto interior $P(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$

Mira ti por que punto pasa esa polar...


Axuda isto a entender que relación ten esa polar-sen-tanxentes co punto P? Quizais se collemos nesa recta o punto (2,0) do exemplo anterior teñamos unha pequena pista, lembrando a recta polar que nos deu no primeiro exemplo...

En efecto, a polar de (2,0), $x=\frac{1}{2}$, pasa polo punto P. E o mesmo vai suceder con calquera outro punto da polar de P. En conclusión: a polar dun punto P interior á circunferencia é unha recta formada por todos os puntos exteriores cuxa polar pasa polo punto P.

Abraiante, mentres non coñeces que está a suceder diante dos teus ollos.

Este é un exemplo dun problema no que deixaría que os alumnos fedellasen nas aulas se non houbese outras 14 unidades didácticas.



29.3.14

Divertimento xeométrico(3)


Para tolear un sábado calquera, unha figura que non é o que parece:



Visto por esa serie de tubos que é internet...


No rectángulo anterior desde un punto da diagonal trazamos a perpendicular ás bases, de tal xeito que formamos triángulos e trapecios rectángulos. Amosar que

$$a \cdot a'=b \cdot b'+c \cdot c'$$.

Veña, que non é complicado.

21.3.14

Cousas que leo-2


O anterior post titulado Cousas que leo é de xaneiro do 2010. Daquela aínda existía Google Reader, substituído hoxe maioritariamente por feedly, que aínda que non mantén certas utilidades do reader, serve para o obxectivo fundamental de seguir os nosos blogues favoritos e así non ter que andar a navegar dunha páxina a outra á busca de actualizacións.

(Non deixa de ser curioso que moitos docentes compartamos ese costume de non navegar cos nosos alumnos, aínda que por causas totalmente diverxentes: nós por este uso de ferramentas de concentración e eles porque basicamente non navegan en absoluto, normalmente só len en redes sociais por medio de apps)

Desde o devandito post cambiaron moitas máis cousas, por exemplo agora a moda é chamarlle a isto que vou compartir "Personal Learning Environment". E xa que estou ao choio, outro anaco dese PLE radica na miña conta de twitter, que despois de moito dubidar decidín enlazar aí na columna dereita.

Hai unha morea de blogues que deixaron de actualizarse, algúns nin sequera existen, a outros deixei de seguilos. Mais creo que o máis interesante vai ser comentar as novas "adquisicións", novos blogues que achei útiles dalgún xeito para o meu oficio. Estes son os máis importantes dentro da etiqueta educación:

  • Five Triangles: Este blogue presenta actividades tradicionais pero que requiran algo máis que a repetición mecánica de algoritmos e estratexias. Na miña opinión, o feito de que os autores dirixan eses exercicios a alumnos de 6º, 7º, 8º grao e arredores (11, 12 e 13 anos) é certamente optimista, mais a calidade da súa produción é, en calquera caso, alta. Observade por exemplo unha actividade de Xeometría:
Deste mesmo mes, Rolling Sector
Como vedes na imaxe, un sector circular, emulando á onda do famoso cadro xaponés, vai xirando ata chegar á posición orixinal. O alumno ten que atopar a lonxitude do camiño que segue o punto O ata O'. O profesor observará que a aplicación da lonxitude da circunferencia aparece xunto a habilidades xerais propias da resolución de problemas, sen chegar ao nivel propio das olimpíadas matemáticas. Neste exemplo recente tamén podemos apreciar a introdución de niveis de dificultade en forma de estrelas (no libro de texto que teño eu en 1º de ESO aparecen triángulos, mais adoitan estar mal clasificados). É raro que leve á miña aula un problema de Five Triangles tal e como o publican alí, mais teño extraído unha morea de ideas para crear novas actividades. Para rematar, os mesmos autores anónimos escriben sobre os novos estándares dos USA, os Common Core State Standards, en CCSSI Mathematics.
  • Math Mistakes: Este é un blogue creado por Michael Pershan, quen leva o tamén valioso Rational Expressions. En Math Mistakes aparecen erros cometidos por alumnos de instituto co obxectivo de axudar a profesores a entender mellor os múltiples xeitos nos que a mensaxe emitida chega distorsionada aos receptores. Observade este exemplo dun erro que require explicación:
Arithmetic with Negative Numbers



  • Math Arguments 180: Outra xoia para os profesores de Matemáticas, estes 180 días de discusión permiten abrir debates moi proveitosos nas aulas. Este blogue lévao o mesmo profesor que actualiza Math Curmudgeon. Se queredes ver arder a vosa aula, probade a amosar a seguinte imaxe, eu useina tanto en 1º de ESO como en 1º de Bacharelato. Tamén tivo éxito nun taboleiro da miña sala de profesores...
Day 46: More Calculator Madness

  • Mr. Honner: Outro blogue dun profesor dos USA, Patrick Honner. A súa serie de posts crítica cos exames Regents do estado de New York, Regents Recaps, é unha lectura obrigada para os que somos críticos coa epidemia estandarizadora. Eu mesmo recomendeilla aos afeccionados aos exames estandarizados que levan a conta de twitter do Instituto Nacional de Evaluación Educativa. Como exemplo, no seu post Are these tests any good?Part 4 atopamos a crítica moi razoada a esta trabucada pregunta do Regents do 2011:
Se $\small{f(x)=x^2-6}$, find $\small{f^{-1}(x)}$

  • Más ideas, menos cuentas: Por fin un blogue destas latitudes (máis ben lonxitudes). Neste blogue o profesor de Educación Matemática da Universidad de Alcalá Pedro Ramos. Tristemente este blogue é case unha illa de reflexión sobre o ensino das Matemáticas na blogoesfera española, onde non daba atopado nada semellante. O título do blogue transcribe fielmente o seu argumentario, que podedes ver en acción no post Uso y abuso de las fórmulas I- Áreas.

E un comentarista do blogue anterior apuntou á existencia do último blogue que quería compartir,

  • Median: O blogue do profesor Don Steward é o lugar no que actualmenteatopo máis ideas para as miñas clases. As súas actividades collen os procedementos e conceptos usuais e danlle un aspecto máis interesante, ás veces fermoso. Vexamos un par de exemplos tirados ao chou do blogue:
ratio in car parks


Como están numerados os vértices?
Que sucede cando os vértices forman un triángulo equilátero?
Que coordenadas podería ter un hexágono regular?
En Cube Coordinates

Outro día igual completo un pouco o PLE (de marras) coas webs estáticas que me resultan útiles.

13.3.14

Un efecto abraiante


Estades dispostos a quedar pampos? Observade este breve vídeo:






O que non estou é certo de que sexa unha ilusión. Eu coido máis ben que é simplemente un "efecto", aínda que tampouco teño moi claras as definicións, a dicir verdade. Atopei esta pequena marabilla no novo blogue Sploid da rede Gizmodo, no que podedes achar cousas como este alieníxena:

Se queredes saber o que é, ide a Sploid, ide...


Esta semana tamén vin outra revisión do Triángulo de Penrose-Escaleira Imposible nunha web de arquitectura e deseño, Arch20:

Infinite Staircase de Olafur Eliasson
É curioso que lle chamen escaleira infinita cando unha circunferencia calquera serviría de exemplo desa denominación. O esencial desta escaleira non é a súa infinitude, senón a súa imposibilidade, polo menos en 2D.

Se non sabedes o que estades a ollar, seguramente a versión orixinal será de axuda:

Penrose Stairs

Que, á súa vez, é unha revisión do propio Penrose do seu celebérrimo Triángulo:



Probablemente un dos deseños máis copiados

Claro que o que é imposible en 2D pode ser só cuestión de perspectiva en 3D (pensade por exemplo no coñecido problema de conectar 3 casas coa luz, gas e auga, que sinxelo é en 3D). Era sabido que alguén o ía facer no mundo real:

Este en Perth, Australia:




E estoutro en Ophoven, Bélxica:


)

4.3.14

De que me soa a min isto?

Para min que isto xa o lin nalgures:

  • Un granxeiro ten que cruzar un río cun lobo, unha cabra e un repolo, de tal xeito que na chalana só hai sitio para el e outro dos seus estraños acompañantes. Como pode facelo se non pode deixar sen vixiancia ao lobo coa cabra nin a esta co repolo?


E isto?

  • Temos dúas garrafas, unha de 3 litros de capacidade e a outra de 5 litros, e unha fonte que proporciona auga de xeito ilimitado. Como farías para medir exactamente 4 litros?


Outro:

  • Un caracol cae ao fondo dun pozo de 30 metros de profundidade o día 1 de xaneiro. Cada día sobe 3 metros, mais pola noite esvara 2 metros. Que día sairá do pozo?


Un do meu libro de Matemáticas de 7º ou 8º de EXB:

  • Un pai moribundo deixa os seus 17 camelos aos seus tres fillos, coa condición de que o maior leve $\small{\frac{1}{2}}$ dos camelos, o mediano $\small{\frac{1}{3}}$ e o pequeno $\small{\frac{1}{9}}$. Despois de comprobar que o reparto era imposible, un veciño prestou un dos seus camelos, co cal os fillos quedaron con 9, 6 e 2 camelos, sobrando o camelo do veciño, que puido recuperalo. Como explicas este absurdo?


Unha propina para o connoisseur:

  • O historiador xudeu do século I Flavio Xosefo foi atrapado polo exército romano nunha cova xunto con outros 40 soldados. O grupo decidiu suicidarse antes que ser collido prisioneiro (inevitable pensar no batallón suicida de Life of Brian, non si?), decisión coa que Xosefo e un amigo non estaban de acordo. Polo visto un non pode suicidarse ás toas, así que acordaron colocarse en círculo e ir matando a cada terceira persoa ata que só quedase viva unha, que tería que suicidarse. Xosefo e o seu amigo atoparon o xeito de seren os dous últimos supervivintes. En que posicións se puxeron?


Estou certo de que o lector recoñecerá como familiares os problemas anteriores. Todos teñen en común, obviamente, pertencer á Matemática Recreativa, mais non remata aí a relación. Todos son problemas tradicionais, que xa chegaron a formar parte da cultura popular (agás, supoño, o de Xosefo). Podería dar a impresión de que a súa orixe é lendaria, perdida xa na época de Internet. Porén, e grazas ao traballo de matemáticos como David Singmaster (do que xa falei aquí) e Martin Gardner, entre outros sabios que se dedicaron a recompilar as fontes destes clásicos, podemos rastrexar as súas fontes:

O celebérrimo problema do extravagante granxeiro que viaxa cun lobo é tan antigo como o imperio carolinxio, pois precisamente o seu creador, Alcuíno de York, traballou na corte de Carlomagno, producindo o libro no que aparece o problema, Propositiones ad acuendos iuvenes (Problemas para perfeccionar aos novos), arredor do ano 800. O das garrafas (que xa apareceu por aquí), data de finais do século XV, apareceu na obra de Luca Pacioli De Viribus Quantitatis (A Forza da Cantidade). Un problema semellante ao do caracol zoupón está recollido tan cedo como no século II a.C. no Manuscrito Bakhshali(e tamén no Liber Abaci de Fibonacci). Problemas de reparto do estilo dos camelos aparecen xa no Papiro Rhind, tan lonxe como arredor do ano 1650 a.C. Se somos máis estrictos coa formulación do problema, no Código Akhmim(cVII d.C.), dentro da tradición copta, hai unha versión máis recoñecible. Finalmente, o Problema de Xosefo aparece na crónica do século I do propio historiador A Guerra Xudea (se tedes ganas de fedellar, Alexander Bogomolny fixo en Cut the Knot un applet ben xeitoso)

Habitualmente afronto un paradoxo no meu traballo como profesor do 1º ciclo da ESO. Por unha banda vexo este tipo de problemas como anticuados, desfasados respecto ao contexto dos alumnos e, aínda por riba, sen utilidade práctica. Ademais, como xa estou algo farto de velos, resulta difícil que poida levalos á aula co entusiasmo necesario, razón pola cal tamén tento evitalos neste blogue (aínda que xa quedou patente que non sempre o consigo). Por outra banda, estes problemas xa seculares sempre, e non é esaxeración, sempre, logran dos mellores momentos de concentración nas clases.

É obvio que non pode ser casualidade que se conserven ao longo dos milenios. Como os bos contos e as boas historias, non pasan de moda. Sería absurdo promover que as novas xeracións tivesen que evitar o coñecemento de Homero, Shakespeare ou Cervantes. Será igual de absurdo evitar os clásicos da Matemática Recreativa? Eu non teño unha resposta definitiva, como para case todo o relacionado co ensino.