29.7.14

Verán 2014- Problema 5

Que tal foi o problema 4? Xa o coñecíades? Lembremos de que ía:

Un exército marcha en formación nunha liña recta que mide 1 quilómetro de lonxitude. O sarxento comeza a súa marcha na retagarda, vai avanzando pola formación ata chegar á cabeceira e, sen perder un segundo, dá a volta e volve á súa posición inicial (máis ben final) á mesma velocidade constante que avanzou previamente. Durante esta viaxe do sarxento, o exército, marchando a velocidade tamén constante, avanzou exactamente un quilómetro, é dicir, o último soldado marcha agora onde estaba o primeiro ao comezo do camiño.
Cal é a distancia que percorreu o sarxento?



A dificultade deste problema radica na cantidade de variables que interveñen: a velocidade do sarxento, a velocidade do exército e o tempo que lle leva facer ao sarxento o seu percorrido. Se tivesemos tamén varias condicións no problema, poderíamos acabar atopando os valores desas incógnitas; mais a simple vista semella que non temos condicións abondo para tanto dato descoñecido.

Se un, sen moita previsión, tenta resolvelo ao estilo dos exercicios académicos de móbiles (que na EXB eran machacados en 7º), sucede que primeiro hai que poñer moitos nomes:

$\small{v_s=}$ velocidade do sarxento
$\small{v_e=}$ velocidade do exército
$\small{t_1=}$ tempo que lle leva ao sarxento chegar á cabeceira
$\small{t_2=}$ tempo que lle leva ao sarxento volver á retagarda

A cerna do problema está en observar que a velocidade do sarxento relativa ao exército é $\small{v_s-v_e}$ cando avanza e $\small{v_s+v_e}$ cando retrocede. Con esta idea clara xunto ao feito de que o tempo total do sarxento é o tempo no que o exército avanza un quilómetro é suficiente para resolvelo:

$$t_1=\frac{1}{v_s-v_e} $$
$$ t_2=\frac{1}{v_s+v_e} $$
$$ t_1+t_2=\frac{1}{v_e}$$

Substituíndo:
$$\frac{1}{v_s-v_e}+\frac{1}{v_s+v_e}=\frac{1}{v_e} \rightarrow  \frac{2v_s}{v_s^2-v_e^2}=\frac{1}{v_e} \rightarrow 2v_sv_e=v_s^2-v_e^2 $$
$$(v_s-v_e)^2=2v_e^2 \rightarrow v_s-v_e=\sqrt{2}v_e \rightarrow v_s=(1+\sqrt{2})v_e$$ (a outra solución é absurda)

En conclusión, a lonxitude percorrida polo sarxento é

$$(t_1+t_2) v_s=\frac{1}{v_e} \cdot (1+\sqrt{2})v_e=1+\sqrt{2}$$




E agora o problema 5:

Con 3 liñas da mesma lonxitude divide un círculo en 4 anacos coa mesma área.

Sinxelo, non si? Pois veña...

25.7.14

Verán 2014-Problema 4

Pero antes, a solución do problema 3:

   
, que pedía cara onde ía o punto X cando o radio da circunferencia azul tendía a 0, sendo a semicircunferencia verde fixa. Visualmente, unha vez feito o applet de geogebra, é ben claro(o que non quere dicir que entendamos nada soamente véndoo):


O applet serve para convencernos de que o punto X non tende a infinito, e tamén para amosarnos cara onde vai, demostrémolo rigorosamente:
Punto A: $(0,r)$
Ecuación da circunferencia azul: $x^2+y^2=r^2$
Ecuación da semicircunferencia: $(x-b)^2+y^2=b^2 \wedge y>0$

Intersección (punto B): $ \begin{cases} x^2+y^2=r^2 \\ (x-b)^2+y^2=b^2 \end{cases} \rightarrow (x-b)^2-x^2=b^2-r^2 \rightarrow -b(2x-b)=b^2-r^2 \rightarrow \cdots \\ x=\frac{r^2}{2b} \wedge y=\frac{r}{2b}\sqrt{4b^2-r^2} \rightarrow B=(\frac{r^2}{2b},\frac{r}{2b}\sqrt{4b^2-r^2})$

Recta por A e B:

$\frac{x-0}{\frac{r^2}{2b}-0}=\frac{y-r}{\frac{r}{2b}\sqrt{4b^2-r^2}-r} \rightarrow \frac{x}{\frac{r^2}{2b}}=\frac{y-r}{\frac{r}{2b}\sqrt{4b^2-r^2}-r} \\ \frac{x}{r}=\frac{y-r}{\sqrt{4b^2-r^2}-2b}$

Intersección co eixe de abscisas (punto X):

$ \begin{cases}  \frac{x}{r}=\frac{y-r}{\sqrt{4b^2-r^2}-2b} \\ y=0 \end{cases}\rightarrow x=\frac{-r^2}{\sqrt{4b^2-r^2}-2b}$
Vexamos que sucede con esta coordenada x do punto X cando r tende a cero (a outra non ten moito conto):

$\displaystyle{limit_{r \to 0} \frac{-r^2}{\sqrt{4b^2-r^2}-2b}=limit_{r \to 0} \frac{-r^2(\sqrt{4b^2-r^2}+2b)}{4b^2-r^2-(2b)^2}}= \\ limit_{r \to 0} \frac{-r^2(\sqrt{4b^2-r^2}+2b)} {-r^2}=limit_{r \to 0} \sqrt{4b^2-r^2}+2b=4b$

Onde utilicei o mecanismo habitual do conxugado da expresión radical.


Finalmente, o 4º problema do verán:
Un exército marcha en formación nunha liña recta que mide 1 quilómetro de lonxitude. O sarxento comeza a súa marcha na retagarda, vai avanzando pola formación ata chegar á cabeceira e, sen perder un segundo, dá a volta e volve á súa posición inicial (máis ben final) á mesma velocidade constante que avanzou previamente. Durante esta viaxe do sarxento, o exército, marchando a velocidade tamén constante, avanzou exactamente un quilómetro, é dicir, o último soldado marcha agora onde estaba o primeiro ao comezo do camiño.

Cal é a distancia que percorreu o sarxento?
Boa fin de semana e feliz día da patria.

22.7.14

Verán 2014-Problema 3

Outro problema máis, xusto despois da solución do anterior, que lembremos que tiña dúas partes:


  1. Atopa o termo xeral da sucesión $$-4 \ +7 \ -4 \ +7 \ -4 \ +7 \ -4 \ +7 \ -4 \ +7 \cdots $$
Este era o problema que aparecía no libro no que o atopei. A simple vista, nos lugares impares sempre hai un $\small{-4}$ e nos pares sempre un $\small{+7}$. Como chantar iso nunha expresión? Se un é lacazán abondo, pode pensar en: $$a_n=\begin{cases} -4 , \ \ \ n=2k+1 \\ +7 , \ \ \ n=2k\end{cases}$$
...que é perfectamente rigoroso, mais estou certo que todos pensamos nunha expresión "única" como resposta deste problema, non si? Pois ben, para iso podemos facer dúas cousas: ou ben encomendarnos ao noso dominio da técnica alxébrica, ou ben encomendarnos á nosa "vista". Fagamos o segundo: Se calculamos a media aritmética dos números $\small{-4}$ e $\small{+7}$, $\small{\frac{-4+7}{2}=1'5}$ e restamos esa media de todos os termos da sucesión, obteremos unha nova sucesión máis tratable:

$$-5'5 \ +5'5 \ -5'5 \ +5'5 \ -5'5 \ +5'5 \ -5'5 \ +5'5 \ -5'5 \ +5'5 \cdots $$

Cal é o termo xeral desta nova sucesión? Case inmediatamente vén á mente a solución:

$$5'5 \cdot(-1)^n$$

Co cal o termo xeral da sucesión orixinal será

$$1'5+5'5 \cdot(-1)^n$$
  1. Cal é o termo xeral da sucesión que xorde de sumar os primeiros termos da anterior?
É dicir, había que achar o termo xeral da sucesión

$$-4 \ +3 \ -1 \ +6 \ +2 \ +9 \ +5 \ +12 \ +8 \ +15 \cdots$$

Se lembrades que este problema fóra o que entendera eu cando o vin no libro, non tiña calculado o termo xeral da sucesión do apartado 1, de tal xeito que calculei directamente esta sucesión, certamente máis enleada. Ollando un pouco para os termos desta nova sucesión, achamos que os termos pares son os múltiplos positivos de 3 ($\small{3n}$) e que os impares quedan a unha unidade de seren os múltiplos de 3, comezando en $\small{-4}$ ($\small{3n-7}$) Polo que, se non aceptamos unha solución como a primeira do apartado 1, teremos que argallar unha fórmula que só dependa de n e que nos dea, dunha peza, estes diferentes termos. Vexamos:

$$\begin{cases} b_{2k-1}=3 \cdot (k-1)-4\\ b_{2k}=3 k\end{cases}$$

Arranxando un pouco:

$$\begin{cases} b_{2k-1}=3k-7\\ b_{2k}=3 k \end{cases}$$

Neste paso observamos dous atrancos: por unha banda, seguimos tendo dúas expresións, non unha, e por outra, as expresións non dependen directamente do lugar na sucesión, n, senón do valor k. Se escribimos esas expresións en función de n, chegamos a:

$$\begin{cases} b_{2k-1}=3k-7=3 \cdot \frac{n+1}{2}-7=\frac{3n}{2}-\frac{11}{2}\\ b_{2k}=3k=\frac{3n}{2} \end{cases}$$


O complicado é compactar esas dúas expresións nunha soa. Eu pensei en buscar unha fórmula que restase $\small{\frac{11}{2}}$ só no caso en que n sexa impar. Utilizando o mesmo truco relacionado con $\small{(-1)^n}$, obtemos (non era sen tempo):
$$b_n=\frac{3n}{2}+[(-1)^n-1]\cdot \frac{11}{4}$$ (Se un fai primeiro o apartado 1, é máis curto o camiño)
E agora o problema 3 para o verán, outra vez totalmente distinto.
Na fonte na que o descubrín titúlase "Comproba a túa intuición", e creo que o ese título é inmellorable. Veredes a razón:
Debuxade un semicírculo no primeiro cuadrante que pase pola orixe de coordenadas. Agora trazade unha circunferencia centrada na orixe e de radio variable. Chamemos A ao polo norte desa circunferencia e B ao punto de intersección das dúas figuras. Se trazamos a recta que une A con B e prolongamos, chegará a cortar ao eixe de abscisas nun punto X. Resumindo:
A que é obvio que se cortan? Pois se non houbese números irracionais...

Xa chega a cuestión:

Que sucede co punto X cando o radio da circunferencia azul tende a 0?

Tentade adiviñar a resposta antes de calculala analiticamente, a ver que tal andades de intuición.

19.7.14

Verán 2014-Problema 2


Pero antes, a solución do problema 1, que lembremos preguntaba como cortar un queique rectangular ao que xa lle papamos un anaco rectangular en dous novos anacos iguais. Imaxino que se sobreentendía que pedía unha solución exacta afastada do proba-erro, noutro caso a solución é obvia: poderíamos cortar ao chou e ir pesando, por exemplo.
Se non vén a solución instantaneamente, quizais axude pensar nun caso moito máis sinxelo, no que o queique é circular e ten un furado circular:

Custa non ver unha esfera

A solución neste caso máis simple é automática: cun coitelo fai un corte que pase polo centro dos dous círculos; como ese corte diametral deixa en cada círculo un semicírculo a cada lado, é obvio que obteremos dous anacos iguais:
A circunferencia, tan simple para unhas cousas e para outras

Claro que pode suceder que esta solución non se traduza axeitadamente ao caso do rectángulo, para comezar temos que pensar que é o centro dun rectángulo, pois esta figura non ten a simetría do círculo. O candidato para xogar o papel do centro do círculo é o punto no que se intersecan as diagonais. Pero analizando polo miúdo este punto, vemos que as dúas diagonais son rectas que pasan por el e que deixan a cada lado unha metade do rectángulo, pero... pasará isto para calquera outra recta que pasa polo centro?
Deixo os detalles rigorosos sobre os triángulos congruentes, pero vendo a figura acabaredes certos de que si:


Semellanza, congruencia...

En conclusión, atopade os centros dos dous rectángulos e facede un corte ao queique que pase polos dous centros:
O mellor é que non depende de tamaños, proporcións
nin do ángulo de rotación do furado rectangular

Este évos un problema sinxelo de enunciar que leva rapidamente a matemáticas ben interesantes.

O segundo problema deste verán trata de números, atopeino nun libro que xa utilicei previamente como fonte, e entender mal o enunciado levoume a resolver un problema relacionado e máis complicado. Como poderedes vaticinar, vouvos propor os dous problemas, o orixinal e o que entendín eu:

Considerade a sucesión:

$$-4 \ +7 \ -4 \ +7 \ -4 \ +7 \ -4 \ +7 \ -4 \ +7 \cdots$$

Cal é o termo n-ésimo?

Para quen non estea afeito ao vocabulario de sucesións: tedes que atopar unha expresión alxébrica que nos dea o número que está no lugar n, e que esta expresión só dependa do número n. Por exemplo, na sucesión 1, 4, 9, 16... o termo n-ésimo é n².

Adiviñastes que entendín eu cando abrín ese libro en troques da proposta anterior?

Como o libro está escrito en inglés, o autor chámalle á sucesión "repetitive series", de tal xeito que eu pensei que pedía a sucesión de sumas parciais da serie:
$$-4 +7  -4  +7  -4  +7  -4  +7  -4  +7 \cdots$$

De novo, para quen descoñeza este vocabulario, se ides atopando canto dan as sumas:
$$-4$$
$$-4+7=3$$
$$-4+7-4=-1$$
$$-4+7-4+7=6$$
$$\cdots$$

Observaredes unha nova sucesión,

$$-4 \ +3 \ -1 \ +6 \ +2 \ +9 \ +5 \ +12 \ +8 \ +15 \cdots$$

E o meu problema trabucado é: cal é o termo n-ésimo desta nova sucesión?

Que aproveiten.



17.7.14

Verán 2014-Problema 1


A entrada que compartín en twitter de I Hope This Old Train Breaks Down... (por certo, outro blogue para seguir no feedly) deume a idea de ir compartindo este verán problemas e puzzles interesantes pero que non sexan dos que todos oímos/lemos mil veces; é dicir, non esperedes o puzzle dos 9 puntos nin o das garrafas e semellantes (dos que moitosademaisxa apareceron por aquí) nin o típico problema da velocidade media. Aínda que é probable que os que vaia compartir, dado que están na literatura especializada, sexan familiares para os lectores. Se cadra ata resolvo algún...


Para comezar a xeira un ben fermoso, que xa coñecía pero que a devandita entrada trouxo de volta das arañeiras da memoria:

Imaxinade que tedes unha tarta rectangular á que xa lle comestes un anaco tamén de forma rectangular. Algo así:

Un queique algo raro, xa o sei


Como faríades para cortar o que queda de tarta en dous anacos iguais?