14.9.14

Starters

Con pouca anticipación veume a idea de compartir uns cantos starters para as aulas que comezan esta semana. Cada quen sabe como son as súas clases, de tal xeito que hai certos problemas que non serán adecuados para todo o mundo: ou ben porque levan demasiado tempo, ou ben porque requiren demasiada concentración en traballo individual (ou o contrario), ou ben porque non forman parte do curriculum, ou ben porque parecen o traballo dun showman máis que dun profesor...


Sexa o que for, velaquí unha pequena escolla de actividades:


  • Un vídeo xeométrico que ten certo sabor espectacular, The Magic Octagon. Vin este vídeo no blogue de Dan Meyer hai un ano, sen intención curricular púxenllo aos meus alumnos do ano pasado de 1º de ESO e foi un éxito:

The Magic Octagon from Dan Meyer on Vimeo.

Por se alguén prefire a tradución: Dan Meyer pide que adiviñedes a posición da frecha do reverso do octógono máxico. Se tedes alumnos recalcitrantes no erro, a actividade pode continuar elaborando os cativos a figura.
  • A segunda actividade, máis formal, si ten unha intención claramente curricular. Non creo que poidamos dicir que ten un autor, porén a última vez que a vin así definida foi no libro 26 Years of Problem Posing de John Mason.

Se $\small{a, b, x>0}$, cal das dúas seguintes fracccións é maior? $\small{\frac{a}{b}}$ ou $\small{\frac{a+x}{b+x}}$ ?

Loxicamente a formulación do problema é susceptible de pulido, por exemplo podemos comezar cun exemplo ben coñecido como o de $\small{\frac{2}{3}<\frac{3}{4}}$ onde $\small{a=2, b=3, x=1}$

Esta sinxela pregunta pode axudar a desvelar algún prexuízo dos alumnos con respecto á suma de fraccións (quizais son demasiado optimista)


  • E a terceira actividade utiliceina nun dos boletíns "Problemas difíciles para xente intelixente" cos que mortifico cada certo tempo aos meus alumnos. Por desgraza non lembro a fonte, aínda que podemos dicir que é case unha actividade-tipo:
16 puntos, hmm, que poderá ser...

Nesta típica figura temos que escoller 8 dos 16 puntos de tal xeito que non haxa 3 en liña. É de esperar que haxa solucións distintas, na posta en común podemos tentar esgotalas todas.


  • A última actividade é máis unha brincadeira que outra cousa, polo menos ao nivel do instituto, mais segue a ser ben interesante. Non é común ver a un matemático de primeira orde nun vídeo así, Gil Kalai publicouno no seu blogue hai catro anos e medio:



Dades feito mofa do que tedes diante de vós? Cal é a razón de que non sempre poidamos deslear as mans?


Agora que o penso, se tedes algún starter por aí agochado podíades compartilo nos comentarios.

10.9.14

Comezando, outra vez


Un saúdo ás hordas de lectores que esperaban con avidez o post de comezo de curso, no que a infame LOMCE entra en vigor. Este ano veremos cambios estructurais nos cursos impares da Educación Primaria e na Formación Profesional Básica, que vén substituír aos previos Programas de Cualificación Profesional Inicial (PCPI). Alén dos formalismos, tamén observaremos como as administracións educativas seguirán insistindo nos recortes que padecemos no ensino público.

Non sei como van aturar a presión os compañeiros de Primaria, por poñer un exemplo, pensade que na LOE hai ciclos e coordinacións de ciclo, e agora cada ciclo (1º/2º,3º/4º, 5º/6º) vai ter un curso baixo cada lei, resultando absurdo xestionar esta situación.

Tampouco o van ter fácil os mestres de Infantil, etapa que aínda que esquecida na nova lei, non queda fóra dos recortes (aulas con case 30 cativos de 3 anos, ben preto do meu centro).


Para comezar de xeito solemne este ano pensara en compartir un vídeo matemático, mais a rede non está inzada de vídeos interesantes desta temática. Moito vídeo educativo útil si hai, pero os que buscaba eu, do estilo de Nature by Numbers ou Beauty of Mathematics, loxicamente non abundan. Mais este verán, buscando algo relacionado cheguei á seguinte curtametraxe, cuxo título non podería ser máis explícito: Numbers. Porén...

Como non volo quero chafar, velaquí está, se estades de humor para algo un pouco escuro...



Benvidos de novo.

4.8.14

Xogos para tolear

Xa sei que hoxe tocaría resolver o problema 5 e propoñer un novo, mais creo que a serie que levo xa é abondo para este verán, e ese último problema vai quedar sen solución. Vou pechar durante unhas semanas o blogue, non sen antes traer uns xogos cun regusto claramente matemático:


  • O primeiro, Alcazar, avisa claramente na 1ª pantalla: Entra por unha porta, sae por outra. Cruza cada cadrado unha soa vez. Cada puzzle ten unha única solución. Axiña levaremos unha sorpresa, pois é habitual que haxa máis de dúas portas:
Por cal entras e por cal saes?

  • O segundo, Game about Squares, é exactamente o que di o título, aínda que iso non sirva de moito. Para entender que hai que facer, observade o pantallazo dunha fase inicial:
Só non, con amigos si

  • Por último, Aaaah! I'm Being Attacked by a Giant Tentacle! podería ser o título dunha película de Roger Corman, mais é un intelixente xogo do que só podo desvelar que o obxectivo de cada fase é queimar o tentáculo xigante que te atrapou. A mecánica é moi interesante, e ten que ser descuberta polo xogador con cada novo reto:
Non contedes con matar o tentáculo mediante extensión

Pois o dito, vémonos seguramente en setembro.


29.7.14

Verán 2014- Problema 5

Que tal foi o problema 4? Xa o coñecíades? Lembremos de que ía:

Un exército marcha en formación nunha liña recta que mide 1 quilómetro de lonxitude. O sarxento comeza a súa marcha na retagarda, vai avanzando pola formación ata chegar á cabeceira e, sen perder un segundo, dá a volta e volve á súa posición inicial (máis ben final) á mesma velocidade constante que avanzou previamente. Durante esta viaxe do sarxento, o exército, marchando a velocidade tamén constante, avanzou exactamente un quilómetro, é dicir, o último soldado marcha agora onde estaba o primeiro ao comezo do camiño.
Cal é a distancia que percorreu o sarxento?



A dificultade deste problema radica na cantidade de variables que interveñen: a velocidade do sarxento, a velocidade do exército e o tempo que lle leva facer ao sarxento o seu percorrido. Se tivesemos tamén varias condicións no problema, poderíamos acabar atopando os valores desas incógnitas; mais a simple vista semella que non temos condicións abondo para tanto dato descoñecido.

Se un, sen moita previsión, tenta resolvelo ao estilo dos exercicios académicos de móbiles (que na EXB eran machacados en 7º), sucede que primeiro hai que poñer moitos nomes:

$\small{v_s=}$ velocidade do sarxento
$\small{v_e=}$ velocidade do exército
$\small{t_1=}$ tempo que lle leva ao sarxento chegar á cabeceira
$\small{t_2=}$ tempo que lle leva ao sarxento volver á retagarda

A cerna do problema está en observar que a velocidade do sarxento relativa ao exército é $\small{v_s-v_e}$ cando avanza e $\small{v_s+v_e}$ cando retrocede. Con esta idea clara xunto ao feito de que o tempo total do sarxento é o tempo no que o exército avanza un quilómetro é suficiente para resolvelo:

$$t_1=\frac{1}{v_s-v_e} $$
$$ t_2=\frac{1}{v_s+v_e} $$
$$ t_1+t_2=\frac{1}{v_e}$$

Substituíndo:
$$\frac{1}{v_s-v_e}+\frac{1}{v_s+v_e}=\frac{1}{v_e} \rightarrow  \frac{2v_s}{v_s^2-v_e^2}=\frac{1}{v_e} \rightarrow 2v_sv_e=v_s^2-v_e^2 $$
$$(v_s-v_e)^2=2v_e^2 \rightarrow v_s-v_e=\sqrt{2}v_e \rightarrow v_s=(1+\sqrt{2})v_e$$ (a outra solución é absurda)

En conclusión, a lonxitude percorrida polo sarxento é

$$(t_1+t_2) v_s=\frac{1}{v_e} \cdot (1+\sqrt{2})v_e=1+\sqrt{2}$$




E agora o problema 5:

Con 3 liñas da mesma lonxitude divide un círculo en 4 anacos coa mesma área.

Sinxelo, non si? Pois veña...

25.7.14

Verán 2014-Problema 4

Pero antes, a solución do problema 3:

   
, que pedía cara onde ía o punto X cando o radio da circunferencia azul tendía a 0, sendo a semicircunferencia verde fixa. Visualmente, unha vez feito o applet de geogebra, é ben claro(o que non quere dicir que entendamos nada soamente véndoo):


O applet serve para convencernos de que o punto X non tende a infinito, e tamén para amosarnos cara onde vai, demostrémolo rigorosamente:
Punto A: $(0,r)$
Ecuación da circunferencia azul: $x^2+y^2=r^2$
Ecuación da semicircunferencia: $(x-b)^2+y^2=b^2 \wedge y>0$

Intersección (punto B): $ \begin{cases} x^2+y^2=r^2 \\ (x-b)^2+y^2=b^2 \end{cases} \rightarrow (x-b)^2-x^2=b^2-r^2 \rightarrow -b(2x-b)=b^2-r^2 \rightarrow \cdots \\ x=\frac{r^2}{2b} \wedge y=\frac{r}{2b}\sqrt{4b^2-r^2} \rightarrow B=(\frac{r^2}{2b},\frac{r}{2b}\sqrt{4b^2-r^2})$

Recta por A e B:

$\frac{x-0}{\frac{r^2}{2b}-0}=\frac{y-r}{\frac{r}{2b}\sqrt{4b^2-r^2}-r} \rightarrow \frac{x}{\frac{r^2}{2b}}=\frac{y-r}{\frac{r}{2b}\sqrt{4b^2-r^2}-r} \\ \frac{x}{r}=\frac{y-r}{\sqrt{4b^2-r^2}-2b}$

Intersección co eixe de abscisas (punto X):

$ \begin{cases}  \frac{x}{r}=\frac{y-r}{\sqrt{4b^2-r^2}-2b} \\ y=0 \end{cases}\rightarrow x=\frac{-r^2}{\sqrt{4b^2-r^2}-2b}$
Vexamos que sucede con esta coordenada x do punto X cando r tende a cero (a outra non ten moito conto):

$\displaystyle{limit_{r \to 0} \frac{-r^2}{\sqrt{4b^2-r^2}-2b}=limit_{r \to 0} \frac{-r^2(\sqrt{4b^2-r^2}+2b)}{4b^2-r^2-(2b)^2}}= \\ limit_{r \to 0} \frac{-r^2(\sqrt{4b^2-r^2}+2b)} {-r^2}=limit_{r \to 0} \sqrt{4b^2-r^2}+2b=4b$

Onde utilicei o mecanismo habitual do conxugado da expresión radical.


Finalmente, o 4º problema do verán:
Un exército marcha en formación nunha liña recta que mide 1 quilómetro de lonxitude. O sarxento comeza a súa marcha na retagarda, vai avanzando pola formación ata chegar á cabeceira e, sen perder un segundo, dá a volta e volve á súa posición inicial (máis ben final) á mesma velocidade constante que avanzou previamente. Durante esta viaxe do sarxento, o exército, marchando a velocidade tamén constante, avanzou exactamente un quilómetro, é dicir, o último soldado marcha agora onde estaba o primeiro ao comezo do camiño.

Cal é a distancia que percorreu o sarxento?
Boa fin de semana e feliz día da patria.