20.1.17

Matemáticas para Profesorado de Educación Secundaria


Tal é o nome dunha materia impartida na Universidade de Santiago de Compostela polo actual departamento de Matemáticas(Álxebra, Xeometría e Topoloxía, Análise, NEVER FORGET) no Máster de Profesorado de Secundaria. Cando vin que profesores da facultade onde estudei impartían unha materia dirixida a futuros profesores coma min, non puiden evitar analizar os contidos. E isto é o que atopei.

O primeiro que pode ver un da materia é que o seu obxectivo é "Coñecer e reflexionar sobre os contidos máis relevantes das Matemáticas, obxecto do ensino nos distintos niveis da educación secundaria." Nada que obxectar ante ese obxectivo, só que quizais nunha materia de 5 créditos non dea tempo. Vexamos.

Os contidos da materia están organizados en 3 bloques, que aínda que oficialmente non teñen título, poderíamos denominar respectivamente Xeometría, Análise, Resolución de Problemas.
O bloque 1 ten dous apartados, 1.1 A curvatura e  1.2 Xeometría Analítica versus Xeometría Sintética no ensino secundario. O apartado da curvatura fai referencia ao tema 43 da oposición, no que se tratan as proxeccións no plano e os distintos mapas da Terra. Un tema que eu tiven a sorte de estudar na materia Teoría Global de Superficies, en 3º de carreira. Na unidade na que se traballan tales contidos no instituto, en 3º de ESO, faise dun xeito case divulgativo e despois de moitas conversas con compañeiros diría que se tende a minimizar o tempo dedicado a eses contidos por non seren rigorosos nin seren necesarios para o desenvolvemento posterior.
No apartado sobre as perspectivas no estudo da Xeometría, o programa parece obviar dúas cuestións: o feito de que as coordenadas xa se introducen en 1º de ESO, e o estudo elementar de rectas no plano con coordenadas en 2º; e que desde a LOXSE algo(pouco) de xeometría sintética hai no curriculum, non como sucedía na época post-New Math da EXB-BUP.

O segundo bloque ten os contidos Números Reais. Sucesións de números reais. Funcións reais de variable real. Cálculo Diferencial e Integral. Sen saber máis do trato que se lle dá a eses contidos na materia, é difícil valorar se é axeitado. O número real no instituto debe de ser un dos conceptos peor tratados(non se pode facer ben, probablemente), os profesores simplemente agardamos que os alumnos se vaian afacendo ás propiedades que maxicamente van herdando dos números racionais(e que estes previamente herdaron dos enteiros). Como di Hung-Hsi Wu, este é un dos postulados das Matemáticas do instituto(que eu xa mencionara nesta entrada). En xeral estes contidos son máis propios do bacharelato que da ESO(e como os profesores novatos tenden a dar clase só no 1º ciclo da ESO, de moito non lles vai valer ata que se fagan vellos). Quizais quen escolleu estes contidos estaba pensando máis no antigo BUP que na secundaria actual.

O último bloque estuda a resolución de problemas, e ten un feixe de contidos:

3.1 Os problemas en matemáticas. Tipos de problemas. Estratexias e técnicas de solución de problemas.
• Problemas versus exercicios. Tipos de problemas: Problemas recreativos, de concurso e abertos.
• Estratexias na solución de problemas: debuxar figuras e diagramas, examinar casos especiais, formular problemas equivalentes, modificar o problema, cambiar o método de razoamento (contradición).
• Técnicas de solución de problemas: simetría (simetría xeométrica, simetría alxébrica), o principio do extremo, principio do pombal, transformacións e invariantes (paridade, aritmética modular e coloración, monovariantes).
• Uso de software matemático libre na resolución de problemas: GeoGebra, Maxima.

Na miña opinión, parecen máis axeitados para unha preparación de olimpíadas matemáticas e outros concursos que para formar a futuros profesores de secundaria. Sen dúbida, e este blogue é proba abondo, coido que certa formación en resolución de problemas é necesaria, e que é positivo que se faga de xeito regrado, non baseándonos só no autodidactismo e voluntarismo dos profesores. Pero a secuencia invariantes, principio do pombal, principio do extremo, etc. semella o índice dun dos famosos libros que inclúen heurísticos, como Problem Solving Strategies de Arthur Engel, Problem-Solving through Problems de Loren C. Larsson ou o inevitable How to Solve It de George Pólya.
Con respecto ao uso de software, geogebra é seguramente o programa que máis utilizo na aula, tanto na Xeometría como no Análise, polo que vexo necesario que se introduza aos futuros profesores no seu manexo. De novo, o que se poida facer nesta materia será escaso claramente. En canto ao Maxima, é obvio que se tenta apoiar o uso de software libre tamén nos programas de cálculo simbólico, fronte aos comerciais Derive ou Mathematica. Como contrapartida, Maxima non ten a repercusión no ensino daqueles(polo mesmo que Libre Office non ten a de Microsoft Office ou mesmo Linux a de Windows). Eu adoito utilizar nas clases a demo do Wiris, que está dispoñible on line e depende de Java, aínda que non sexa software libre.

Para rematar, aínda que agradezo a existencia desta materia, coido que posúe certa tendencia ao anecdótico. Cando atope un anaco hei buscar as demais materias do Máster de Secundaria, xa que no programa de enriba acho en falta máis didáctica da materia. Tendo en conta que o coñecemento da disciplina queda máis que probado ao estudar a carreira e que as xeneralidades pedagóxicas están afastadas da práctica cotiá, probablemente a necesidade máis perentoria dun futuro profesor sexa o coñecemento da didáctica específica das Matemáticas (o que se deu en chamar Pedagogical Content Knowledge in Mathematics Education, PCK, que xa está discutido, como non). Quedades emprazados.

6.1.17

Matemáticas na Rúa: os primeiros 8 anos


Outro día 6 de xaneiro, outro día que lembro o aniversario deste blogue grazas a que o da Carta Xeométrica é un día antes. Este ano, en troques de revisar o rumbo do blogue, vou compartir unha escolma dos posts que agora mesmo vexo máis interesantes, a razón dunha entrada por ano e en orde cronolóxica inversa:

Hai entradas mellores neste ano, seguro, escollo esta porque coido que o simple feito que amosa non é moi coñecido.
Este post é o paradigma do que me gustaría ter atopado na miña formación como profesor novel: que facer na aula para facilitar a aprendizaxe? Por desgraza, dáme que segue a non ser o habitual.
Deste ano hai varias entradas que vexo recuperables, optei por esta porque resulta abraiante descubrir a longa historia de moitos problemas que seguimos a utilizar nas aulas.
 Esta entrada coido que non a leu ninguén(25 visitas, LOL), e nela presentei un problema orixinal, ou iso cría eu daquela.
Este problema atopou, de xeito excepcional, solución neste mesmo blogue, na entrada seguinte.
O primeiro divertimento dunha serie que non rematou, espero.
Realmente é unha parvada de animación no geogebra, mais unha parvada que fixen eu.
Non é tampouco a mellor entrada das non moi elaboradas 140 daquel ano, cando usaba o blogue para propoñer problemas aos alumnos da Rúa, pero ten un problema curioso e a ligazón a un xogo que mestura algunha idea matemática. É dicir: dúas das miñas principais afeccións.

Xa tedes para ler a fin de semana.

3.1.17

Outra idea para un xogo


...que non hei facer por falta de tempo. Aínda que, para sermos rigorosos, o seu contido non se axusta a ningún curso da ESO nin Bacharelato: para que se dean coordenadas en 3 dimensións temos que esperar a 2º de Bacharelato, pero nese curso non se chega a ver nada que non sexan puntos, rectas e planos. En realidade, un alumno pode aprobar a parte de Alxebra Linear e Xeometría en 2º de bacharelato sen imaxinar nin un só plano.


11.12.16

roTopo

Peza L do Blockout?

Non sei como se me pasara este xogo, roTopo, que xa foi publicado en marzo deste ano. Trátase dun xogo de puzzles topolóxicos, a priori dun tipo ben coñecido: tes que pasar por todas as baldosas dunha figura para pasar a pantalla, e as celas polas que pasas desaparecen(como o cliché das películas de aventuras). Mais, ao contrario que por exemplo o Tilox, non se trata dun xogo de puzzles estrito, pois podes modificar a túa estratexia a medida que o teu personaxe vai andando. O Tilox, en troques, é un xogo no que cada pantalla queda determinada desde a presentación. Podemos afirmar en consecuencia que o roTopo está a medio camiño entre o puzzle e o xogo de habilidade.

En roTopo, ademais, os puzzles non se constrinxen ao plano como no Tilox, o que incrementa a dificultade e tamén mellora a estética, aínda minimalista. Rexistrándovos con google ou Facebook poderedes xogar máis niveis cós da demo e tamén gardar o voso progreso.

Un nivel do grupo de aneis
E un nos que tes que moverte por dentro da figura

Outro bo xogo para a longa lista dos que amosan moitas Matemáticas das que non caben no curriculum.

3.12.16

Por que resultan tan complicados os logaritmos?


Boromir tamén lle preguntou ao seu profesor cando ía usar os logaritmos

Lamento confesar que, aínda que coido que sei por que resultan difíciles en 4º de ESO (e tamén en bacharelato), non teño ningunha idea que vaia solucionar este problema, alén de simplemente non traballalos ao nivel axeitado(estratexia habitual en certos ámbitos: se é difícil, omíteo...)

Nos anos que levo traballando non adoptei conscientemente moitas crenzas, porén podo recoñecer as seguintes:
  1. Calquera definición matemática que introduza unha frase subordinada resulta difícil.
  2. Calquera notación na que apareza máis dunha variable resulta difícil.
  3. Calquera concepto que utilice conceptos anteriores que non quedasen transparentes resulta difícil
 Agora observade o deostado logaritmo:

$\log_a b$ é o expoñente ao que hai que elevar a base a para obter o número b

É dicir: 
$\log_a b=n \iff a^n=b $

Velaí:
  1. Frase subordinada $\checkmark$
  2. Máis dunha variable $\checkmark$
  3. Conceptos anteriores escuros $\checkmark$
Queda claro que ten que resultar difícil, non si?

A secuencia típica inspirada pola estrutura matemática do concepto leva a que, despois de definir o concepto e ver exemplos, ás veces certamente complicados como
$$\log_{\sqrt{3}} \frac{1}{81}$$
, vexamos as propiedades básicas, que son as que fan interesante o logaritmo, pero que se converten nunha táboa de receitas a seguir en cálculos intricados.

Inciso: que fai realmente interesante ao logaritmo? Na miña opinión, dúas cousas: o seu uso imprescindible posterior dentro das propias Matemáticas e a súa aparición noutras ciencias. O problema coas aplicacións(de novo na miña opinión) radica en que a modelización das situacións é demasiado complicada e que o seu ámbito natural é o das relacións funcionais, xeralmente posterior no curso,e para máis inri, adoitan usar a función exponencial de base o esotérico número e.

Volvendo ao tema, un dos exercicios puramente técnicos que poño habitualmente nas clases de 4º é o seguinte:
  1. Calcula $\log_a a^x$
  2. Calcula $a^{log_a x}$
Mentres que o primeiro é inmediato para a maioría dos alumnos, aínda que pola razón equivocada, o segundo é para moitos virtualmente imposible de desenlear, nin cambiando as letras por números(truco que funciona parcialmente).

Curiosamente, a mellor estratexia que atopei para facer ver o segundo coincide coa que utilizaba o coñecido profesor Ricardo Moreno segundo expón Cibrán en Problemas de Alcuíno: repetir o dito.

Nas clases insisto moito en que diante do cálculo dun logaritmo sempre temos que facernos unha pregunta que comeza por "a canto hai que elevar a base para obter o número?" (ante calquera cálculo hai que facerse unha pregunta, tampouco é a gran cousa). Na primeira das cuestións que propoño, os alumnos xa teñen esquecido o concepto e argallan coa importante propiedade de que os expoñentes "saen fóra multiplicando". Pero facerse a pregunta, en voz alta mellor, é esclarecedor: "A canto hai que elevar a para obter $a^n$?"(facepalm dos alumnos). Unha vez entendido isto, vén a repetición de preguntas para a segunda:

Profesor: "Quen/que é $log_a x$?"
CHORUS: "O número ao que hai que elevar a para obter x" (a resposta comeza sendo tímida)
Profesor: "Quen hai que elevar?"
CHORUS: "a"
Profesor: "Ou sexa, que se elevamos a a ese expoñente, obtemos...?"
CHORUS: "x"
Profesor: "..."
Repeat

A receita consiste en facer varias iteracións deste proceso, de tal xeito que os alumnos van caendo do burro(os que teñan a cabeza posta na clase, claro). E como apuntei antes, axuda que eles mesmos se fagan a pregunta en voz alta.


É incrible o pouco que sei do traballo que fago, e dáme que non son o único amateur no choio.