16.7.17

Outro problema elemental e interesante


Remexendo polas páxinas de competicións dei na web da Olimpíada de Maio, e atopei esta fermosura de problema na proba de 2016:


Nunha competición deportiva na que se realizan varias probas, só participan os tres atletas A, B e C. En cada proba, o gañador recibe x puntos, o segundo y puntos e o terceiro z puntos. Non hai empates, e os números x, y, z son enteiros positivos que cumpren x>y>z.
Ao rematar a competición resulta que A acumulou 20 puntos, B acumulou 10 puntos e C acumulou 9 puntos. Sabemos que A foi segundo na proba de 100 metros. Determinar cal dos 3 atletas quedou segundo na proba de salto.



Coido que este problema cualifica dentro da categoría "faltan datos ou estou parvo?". Para sentirdes o momento de iluminación, non vos queda outra opción que poñervos a resolvelo. Ánimo.

2.7.17

Georg Mohr 2017


Agora que teño algo de tempo, estou a revisar ligazóns que deixara sen ler. Entre elas, a web dunha olimpíada matemática de instituto na que sempre atopo ideas interesantes, a danesa Georg Mohr.
Nun primeiro momento quedei prendado por varios problemas da 1ª rolda, probablemente pola miña tendencia a buscar cuestións arredor do comezo da Álxebra, en suspenso este ano por dar só 4º de ESO.

Observade uns poucos:

  • Na área dunha exposición de dimensións n x n metros, a audiencia é conducida por un camiño de ancho 1 metro desde a esquina A ata a esquina B. Cantos metros cadrados quedan dispoñibles para a exposición descontando a área do corredor?
 
O problema dá 5 opcións, non recomendo propoñelo dese xeito
  •  A figura amosa dous círculos de radio 1 e 2, respectivamente. A área de cada área gris é a. A área do círculo branco é b. Canto vale $\small{\frac{a}{b}}$?
É sinxelo, mais colleume de improviso
  • Un guindastre ten un pé triangular plano. A figura amosa o pé visto desde arriba. O pé pode rotar libremente arredor un eixe vertical montado no punto indicado. A rexión do firme que pode cubrir o pé e pintada de amarelo. Cal é a área desa rexión amarela?
    Gústame porque imaxino a inseguridade que teñen que afrontar os alumnos
Nesa primeira rolda hai moitos máis problemas interesantes, algúns máis axeitados para 3º-4º de ESO. Mais o que me chamou realmente a atención foi este da 2ª rolda:

  • A figura amosa un arco l na circunferencia unidade e dúas rexións A e B. Demostrar que a suma das áreas A e B coincide coa lonxitude do arco l.


 
Deixei abertas varias características no applet, como arrastrar obxectos, pois dependendo
da pantalla pode que non se vexa todo.


Unha pista: hai solución elementar, deixade por hoxe as integrais. Aínda que, por sorte, os arcos da circunferencia unidade non se calculan con integrais de arco...

18.6.17

Un problema viral


Rematando o curso o traballo burocrático increméntase de xeito notable, o que provocou que non vise ata hoxe un problema dos que lles prestan aos editores dos xornais (dos anglosaxóns, polo menos) que fixo a súa rolda hai un mes.

Sabendo que o seguinte problema foi proposto a cativos de Singapur de menos de 7 anos, cal é a solución?

    


Aínda que non vexades o que pon en inglés, todos adiviñades que hai que encher os círculos de tal xeito que se manteña certo patrón descoñecido. A ver se dades feito.


Para tapar o que vai vir, mirade que cousa máis bonita:









E agora o plot twist.

E se vos digo que o problema ten un erro, atopades agora a solución?

29.5.17

Outro problema da Friendly Competition


Se os puntos P, Q e R poden moverse libremente nos lados BC, AD e CD, respectivamente, observades algún invariante nesta figura?

É mellor que movades vós os puntos, se utilizades o botón de geogebra, o movemento estará sincronizado.Tamén podedes mover os vértices libres do paralelogramo.




En realidade a pista é xa practicamente a solución.


Vin este problema no libro A Friendly Mathematics Competition. 35 years of teamwork in Indiana. A primeira vez que souben desta competición, pensei que 'friendly' faría referencia á dificultade dos problemas. Estaba trabucado: hainos ben complicados. O termo refírese ao ambiente de compañeirismo que se tentou desde o comezo, en 1966, que se vivise entre os participantes das distintas facultades de Indiana.

E atopei de novo o problema cando estaba a remexer no disco duro para a entrada Libros. Haberá unha solución vía o Teorema das Alfombras?

13.5.17

Un problema distinto


Imaxe obrigada dun puzzle, de xkcd

Na última fonte que engadín en feedly, Puzzle Critic, que coñecín vía Solve my Maths, hai unha chea de problemas interesantes, cun rango de dificultade tan amplo como para incluír desde pequenos puzzles ata retos de olimpíadas nacionais.

Fedellando no arquivo do blogue, atopei este pequeno problema da Olimpíada Surafricana Junior do 2011 que captou a miña atención automaticamente. Espero que vos preste:

Varias persoas esperan en ringleira. Chega unha persoa máis á ringleira. Amosar que sempre é posible colocala na ringleira de tal xeito que o número de homes que lle queden diante coincida co número de mulleres que lle queden detrás.


Resulta interesante observar que o autor de Puzzle Critic e eu resolvemos o problema exactamente do mesmo xeito, mentres que un alumno seu utilizou unha estratexia totalmente distinta. Se queredes ver as solucións, ide á entrada orixinal.