Olimpíada Matemática Galega 2024-Fase Local-2

 

Imos co segundo problema da fase local deste ano.

a) Cal é o número máis grande de tres cifras que verifique os criterios de divisibilidade do 4 e do 11?

b) Cal é o número máis pequeno de catro cifras divisible por 6 e por 7?

c) Cal é o número máis pequeno de cinco cifras divisible por 6 e por 9?

Estou certo de que os rapaces participantes recoñeceron este problema como familiar. E aínda que ningún profesor sabe que fan os seus compañeiros nas súas aulas, todos temos unha opinión. Eu, por exemplo, coido que este tipo de tarefa se fai nas aulas de 1º e pode que de 2º tamén, extrapolando do que fago eu e de ver cousas similares en libros de texto. Observade este exercicio dun exame meu de 1º de ESO de hai dous anos:

   

Veña, poño outro exercicio daquel exame, con datos que inventei totalmente cando daba clase en Oleiros:

Con eses ritmos, todos os barcos ían dar contra o Seixo Branco ou A Marola

Ese exercicio 7 que puxen tiña unha diferenza con respecto aos da olimpíada, alén de que desde o punto de vista do cálculo sexa máis sinxelo: non lles deixaba usar calculadora nese exame, polo que a estratexia "ir mirando número a número ata que un funcione" levaría máis, ata o punto de ser impracticable.

Por outra banda, non entendo moi ben a elección das palabras no apartado a). Pretendían que os alumnos pensasen realmente nos criterios de divisibilidade(que aquí molestan máis que axudan)? Pretendían que os alumnos traducisen o enunciado de un xeito máis amigable, que a fin de contas, é o que poñen o b) e o c)?

A resolución, como é un exercicio estándar, podemos intuír por onde vai: no a) observamos que un múltiplo de 4 e de 11 ten que ser múltiplo de 44. Dividimos 1000 entre 44, obtemos resto 32, co cal 1000-32=968 é o número buscado. Pero hai estratexias alternativas: 990 é obviamente múltiplo de 11, pero non de 4, restando 22 directamente (non 11, porque non sería par) obtemos 968. Ata pode que algún alumno vexa rápido ou saiba de antemán que 1001 é múltiplo de 11 (lembrade o efecto dos números co aspeco abcabc).  

Pero como os cativos podían utilizar calculadora, tamén podían simplemente probar. Podemos supoñer que os participantes teñen habilidades por riba da media, así que moito non lles levaría atopar o 968.

Tampouco entendín a redundancia nos apartados, a única diferenza entre o b) e o c) é que 6 e 7 son coprimos pero 6 e 9 non, sorprenderíame que algún dos participantes pensase que tiña que buscar múltiplos de 54 no segundo caso. Sempre é máis sinxelo criticar os problemas que inventalos/propoñelos un mesmo, eu intúo que poría, en troques de 3 apartados tan similares, un deses e outro no que tivesen que atopar números múltiplos comúns de dous que non fosen múltiplos doutro relacionado(p.ex. 6, 15 e 60 ou 90)

E os que temos certa experiencia cos primeiros cursos da ESO sabemos que, por moito que se lles diga que se valora a explicación das respostas, vai haber unha morea de respostas lacónicas

a) 968

b) 1008

c) 10008

   Sería interesante ter datos sobre este particular.

Olimpíada Matemática Galega 2024-Fase Local

 

A edición deste ano da Fase Local da Olimpíada Matemática Galega de 2º de ESO celebrouse onte, 25 de abril, coincidindo co 50 aniversario da Revolución dos Caraveis. Outra gran experiencia para os alumnos e espero que tamén para o profesorado acompañante que veu ao IES Canido. Para min, desde logo, sempre é agradable ter visitantes no meu instituto.

Como (case) todos os anos, procedo a compartir os problemas desta fase. Imos co primeiro:

Cinco localidades A, B, C, D e E, encóntranse situadas ao longo dunha estrada, aínda que non necesariamente nesta orde. As distancias entre elas, en quilómetros, veñen reflectidas na seguinte táboa:

     

a) Xustifica en que orde se encontran estas localidades ao longo da estrada.

b) Elabora unha táboa de distancias como a do enunciado anterior, pero esta vez ordenada, entre as localidades de Lugo, Palas, Melide, Arzúa e Santiago sabendo que se atopan por esta orde ao longo da N-547 e que as distancias de Lugo ao resto de localidades son 37 km, 51 km, 66 km e 100 km respectivamente.

Para comezar, un problema "dos de fedellar". É probable que os alumnos nunca visen datos representados nunha táboa de dobre entrada antes de afrontar esta proba. Quizais viron as táboas de multiplicar, non sei como de estándar será en España esa visualización (nesta entrada combinábase cun mapa térmico para amosar información moi interesante para os mestres de Primaria de xeito ben elegante). Probablemente haxa algún alumno que asuma que a primeira cidade teña que ser A por estar ao comezo, ter un 0 ao lado... Calquera profesor que dese en 1º ou 2º de ESO sabe que pode suceder.

Non é un mal problema para comezar a proba, todos os alumnos poden implicarse na resolución e entrar "in the zone", ese momento no que flúen as ideas.

Como sempre, o amable lector pode compartir a súa opinión nos comentarios.

Que avalía a Avaliación Diagnóstico? (again)

Hans Freudenthal looking right into your soul

 

Dez anos despois da entrada que dediquei aos contidos da avaliación diagnóstico, probas que daquela seguían os preceptos da LOE, volven estas probas. Mirade se pasaron anos, que ademais de que neste intervalo xa padecemos unha lei que marchou felizmente e outra que chegou desgrazadamente, o termo Wordle non evocaba un xogo de palabras ao estilo do aforcado, senón unha nube de palabras. Sic transit gloria mundi.

Mellorando as cantigas de amigo gratuitamente.
De nada, Galiza

O motivo de que volvan de xeito universal a 4º de Educación Primaria e a 2º de ESO é que están prescritas no artigo 144 da LOMLOE. Por que levamos tanto tempo sen probas deste tipo? Pois porque a LOMCE estaba máis enfocada a facer reválidas, que tamén foron un fracaso e non se levaron a cabo.

E de súpeto temos que ocupar dous días nos institutos en que os alumnos de 2º de ESO fagan probas de Castelán, Galego, Inglés e Matemáticas. Setenta minutos para contestar uns cuestionarios cun feixe de texto, moito irrelevante, posto para facer que os alumnos teñan que pescudar o imporante. E logo os profesores que non dan clase neses niveis teñen que volcar os datos dos cuestionarios, que maioritariamente teñen items de resposta múltiple, nunha plataforma da administración. É dicir, eses profesores van ter que picar en menús nunha web. Estupenda utilización dos docentes. Nas materias lingüísticas si hai moito que roer, polo que me contaran unhas compañeiras, e a rúbrica que teñen que aplicar para volcar logo as respostas é kafkiana.

Ben, antes de entrar nos contidos da proba de Matemáticas, procedo a contar o que fixen eu con estes alumnos en 1º e 2º(cos cambios de grupo, deilles clase a máis do 75%). Son especialmente lento dando clase, o que contrasta con que falo especialmente rápido. Pero globalmente, son lento. En 1º pasei un mes revisando a aritmética elemental, propoñendo distintos contextos, algúns lixeiramente relacionados coa combinatoria, para afondar na comprensión(iso pretendía eu) da multiplicación e a división. Isto provocou un atraso que aínda inflúe no que damos. Despois o habitual de Aritmética: Divisibilidade, Enteiros, Fraccións, Decimais, Proporcionalidade, e Potencias de xeito máis ou menos transversal. De aí cambiamos á introdución á Álxebra, que comecei, como fago hai máis de dez anos, traballando o concepto de variable a partir da identificación e construción de patróns xeométricos(e en menor medida, aritméticos), traballando inicialmente os monomios como na Álxebra Xeométrica de Euclides. Logo ecuacións e problemas susceptibles de ser resoltos alxebricamente. E xa deu tempo nada máis a iniciar a Xeometría, lonxe do que se fai nos libros de texto, insistindo nos razoamentos, aínda que fose humildemente, facendo caza de ángulos, razoando as propiedades elementais das figuras. E acabou o curso estudando un chisco as propiedades métricas das figuras planas. Con respecto ao programado, que correspondía coa lei loxicamente, non vimos nada da introdución ás Funcións nin á Estatística. E quedaron cousas de Xeometría. En 2º no que vai de curso, afondamos na Aritmética de 1º, e contidos novos de Álxebra só chegamos a ver Polinomios e Ecuacións de 2º grao. No que queda de curso veremos Sistemas de Ecuacións e as cuestións fundamentais da Xeometría do Triángulo. Pois aínda queda máis de mes e medio de traballo ordinario. Xa contei algunha vez, por aquí ou por twitter, que no meu centro decidimos, dada a magnitude do curriculum e o traballo de unidades 0 en 1º de ESO, comezar 3º de ESO polo bloque de Estatística e Probabilidade, para logo continuar por Funcións. Os que levamos anos traballando xuntos pensamos que é impracticable traballar ben todo todos os anos.

Pero que saberemos nós.

Dito isto,  que entrou na avaliación diagnóstico? Velaquí unha explicación sucinta de cada ítem

• P1: mandaba identificar a representación axeitada para unha táboa de datos.
• P2: pedía que tomasen unha decisión nunha votación obtendo porcentaxes.
• P3: o mesmo que a P2 despois dun cambio nos datos da votación.
• P4: usar unha escala nun mapa.
• P5: identificar unha cantidade expresada en notación científica.
• P6: decidir como aloxar uns peregrinos nun hotel que ten cuartos dobres e triples.
• P7: na situación anterior, botar contas sobre o orzamento que teñen para aloxarse noutro hotel.
• P8: decidir que dimensións son necesarias para saber cantas tendas de campaña caberían nun galpón, sen operacións.
• P9: comparar o número de mochilas que caben nunha cesta da que se coñecen as dimensións sabendo cantas caben noutra da que tamén coñecemos todo.
• P10: decidir entre dous modelos de cestas de base cadrada cal habería que usar para levar unha mochila, da que se coñecen as tres dimensións.
• P11: decidir cal de 4 expresións radicais é a axeitada para calcular a diagonal especial dun ortoedro.
• P12: identificar cantas racións de torta venderon 3 rapaces sabendo cantas venderon en total e cantos cartos gañou cada un, e dicir se son V ou F tres enunciados.
• P13: ter en conta un feixe de cantidades de cartos(prezo dun bus, transporte de equipaxe, aloxamento, etc.) para determinar  cantos cartos pagará cada alumno e distribuílos en cotas mensuais.

Observades a (non) sofisticación? Tendo en conta que na pregunta da notación científica só había unha das opcións na que a cantidade estivese expresada en notación científica, que na P10 había que identificar unha raíz cadrada(este vai ter poucas respostas correctas porque cadrada estaba oculto entre moito texto), e sobre todo, que en toda a proba o único uso explícito da álxebra aparece no contexto do Teorema de Pitágoras (e para nada, ademais, era cousa de identificar soamente $\small{D=\sqrt{60^2+d^2}}$). Se fixesen esta proba en 3º ou 4º, estou certo de que si habería máis álxebra, pero só como escusa para que tivesen que chantar números en fórmulas, como en certos exemplos infames liberados de PISA, como

M047

ou

M124

Se queredes ver as fontes, velaquí.

A primeira reacción quizais sexa pensar que un profesor de aula podería guindar ao lixo o curriculum e centrarse en facer actividades con moito texto, nas que haxa que facer sumas, restas, multiplicacións, divisións, e pode ser, algunha raíz cadrada. Pero ademais de que, como amosa o feito de que os alumnos que mellor contestan os items de PISA son os que teñen unha formación máis técnica(non son preparados explicitamente con tarefas como pide PISA ou esta avaliación), como profesor, responsable dos seus alumnos, un ten que saber que restrinxindo o ensino das Matemáticas a esta visión timorata faría un fraco favor aos seus alumnos. Se o que se pretende que saiban ao rematar 2º de ESO é aritmética moi elemental e pelexar con textos innecesariamente abstrusos, afirmo rotundamente que non van poder continuar con estudos máis avanzados.

Claro que pode ser que quen deseña esta avaliación non teña en conta esa eventualidade.

Procurando Bonus

 

Con tanto esvarador, para facer o gif tiven que recorrer a capturar a pantalla

Falei por aquí algunha vez dos bonus nos meus exames? Supoño que algo diría, pero indo case por 850 entradas, nin google atopa de xeito rigoroso os termos, polo que haberá que explicar minimamente o que son:

Non sei exactamente cando, dando clase en Cedeira pensei que sería boa idea engadir ao final dos exames un problema baixo o título de Bonus. Tal problema é voluntario, en consecuencia non conta na cualificación do exame, e ten que ser algo difícil, un chisco alternativo, aínda que nestas característica recoñezo que son moi laxo. A función orixinal do Bonus era valorar que algún alumno resolvese problemas fóra dos mínimos habituais; simultaneamente cumpre a función de ter entretidos aos alumnos que acaban cedo os exames(aínda que veño notando que cada vez hai menos).

De onde saen os Bonus? Maioritariamente das miñas fontes habituais, que xa comentei por aquí: do concurso Log1 de Mu Alpha Theta, da Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas, dos concursos da University of Waterloo, algunha vez do Canguro Matemático. E a estas alturas da partida, tamén de cousas que se me ocorren a min lin nalgún sitio que xa non lembro. Velaquí uns exemplos ao chou, capturados de exames(como se fosen in game):

Este caeu a 1ª vez en Matemáticas I en Cedeira, collino no Log1, e hai uns
anos en Canido deu lugar a dúas solucións distintas ben fermosas

Esta preciosidade, en 1º de ESO en Canido en 2019

Matemáticas I, Canido 2022, inventado por min(o que non ten moito mérito)

Canido, 3º de ESO, 2019. Orixe tradicional

Podedes intuír que un problema sirva como Bonus ou non depende de varios factores, sendo un dos máis relevantes o momento do proceso de aprendizaxe no que estean os alumnos. Un problema auténtico a comezos de 1º de ESO pode ser un exercicio mecánico dous meses despois, por exemplo.

Co terceiro trimestre comezamos o bloque de Funcións, que vai desde os rudimentos ata a Derivada e as súas aplicacións. Os contidos que hai que tratar son ben coñecidos por calquera profesor que estea na aula(sobre a opinión dos lexisladores habería moito que roer), o tempo é limitado para o denso que é o que hai que asimilar, co cal hai certos procesos polos que hai que pasar en voo rasante. No mellor dos casos.

E dei en pensar que podería incluir o recoñecemento de funcións como bonus ou como exercicios algo fóra do habitual nun boletín ordinario, aínda non sei que farei. Déixovos por aquí varias ideas, todas no formato de "Atopa a expresión alxébrica das funcións que teñen estas gráficas":

Está claro por onde hai que mirar, pero hai que axustar ben a orde. 

E cando un ve esta outra, é máis sinxelo distinguir o que sucede na anterior

Pero vaia, que se as dúas primeiras quizais son demasiado enleadas para comezar, podemos introducir antes estas:

     

É interesante relacionar estas dúas coas dúas previas

A relación e diferenza entre esta e a seguinte encántanme

 Non diredes que non prestan, eh?   

E agora, cambiando a función que aparece nas anteriores todo o tempo,

    Como canas dobrando ao vento

Son o único que lle pon son aos anacos da gráfica, algo como "IIIIIEEEEEEHHH"?
(Si, seguramente é tara miña)

É ou non é a composición de funcións un rebumbio fenomenal?

Aínda que ningún exemplo dos anteriores vai substituír o exemplo da non conmutatividade ao poñer os calcetíns e os zapatos, ou os calzóns e os pantalóns, que nun caso define á xente normal, e no outro, aos superheroes.

Outro problema de álxebra sen ecuacións, o último

 

O bo de ter certa idade é que xa che deu tempo a ler os clásicos das matemáticas elementais e recreativas; o malo, que xa che deu tempo a esquecelos e/ou mesturalos na memoria.

Coa miña teima de propoñer problemas xenuínos no ámbito da álxebra elemental fun esquecer un dos máis clásicos, veño hoxe a emendar esta omisión. teño que recoñecer que non dei resolto no seu día, do que pasaron tantos anos que xa non sei se foi nun libro collido na biblioteca municipal de Ferrol ou onde. A estas alturas, o problema aparece centos de veces pola rede, mais non dou atopado nas fontes da matemática recreativa de David Singmaster cando xurdiu. É probable que non fose exhaustivo na miña pescuda, pois o traballo de Singmaster é formidable.

Imos ao problema, que, sen que sirva de precedente, resolverei ipso facto:

Nunha mesa hai 20 moedas, 13 amosando cara e 7 amosando cruz. Na penumbra non se ve que amosa cada moeda, pero podes coller as moedas sen problema. O teu choio consiste en separar as moedas en dúas moreas de tal xeito que haxa o mesmo número de cruces nas dúas moreas. O único permitido é mover as moedas e voltealas.

Antes da solución inclúo este lugar xeométrico rarecho que atopei sen querer. Deste xeito tedes outro problema, este de enxeñería inversa: como creei o lugar, dado que ocultei obxectos imprescindibles no gif?(Outros deixeinos, se non sería imposible de resolver)

    

A idea feliz da solución, que como adoita ocorrer, resulta natural cando un xa é familiar con ela, consiste en dividir ao chou as 20 moedas en dúas moreas de 13 e 7(non hai outro xeito, se non podes ver que amosan) e darlle a volta ás 7 moedas da morea pequena. Resolto.

Resolto?

Pois si. A álxebra axuda a iluminar o conto.

Imaxina que na morea aleatoria de 7 moedas hai x cruces. Isto implica necesariamente que nesa mesma morea hai 7-x caras, e na outra morea, tamén 7-x cruces. Ao voltear a morea pequena, quedas con x caras, 7-x cruces, e a morea grande non variou, polo que segue con 7-x cruces. Q.E.D.

Que sinxelo, non si? É o que sucede coas ideas felices, que son imposibles ata que se converten en necesarias(no sentido filosófico).

Observades como agroma o mesmo fenómeno que no problema das bolsas con bólas brancas e negras? Fenómeno semellante tamén ao do problema do baile e as parellas que se daban as mans.

Seica espetei cun patrón case unívoco de problemas de álxebra sen ecuacións. Coido que non seguirei con esta serie ata que atope un problema realmente distinto.