2.9.15

Todo é linear


Non todo tempo pasado foi mellor, porén...

Tiña pensado volver ao blogue cunha entrada memorable coa miña opinión con respecto a un procedemento que vén no curriculum desde a LOXSE. Por sorte para vós, collín o último libro de problemas que merquei nunha feira do libro de ocasión, Desafíos Matemáticos de Angela Dunn, e atopei este problemiña:


Dous pilotos compiten nunha carreira de aceleración. Ambos os dous aceleran de xeito uniforme desde que arrancan no punto de partida. Alberto cobre o último cuarto da distancia en 3 segundos; Roberto cobre o último terzo en 4 segundos. Quen gaña?



O problema pareceume interesante porque ilustra perfectamente o que sucede acotío nas aulas: a suposición tácita de que todas as magnitudes que aparecen nos problemas son directamente proporcionais. Como neste caso os alumnos poden intuir que a solución linear é absurda, véxoo axeitado como starter. Tamén é susceptible dunha discusión das gráficas usuais no movemento acelerado.


Atopei a fermosa visualización da cabeceira en The most timeless songs of all-time. Na imaxe vemos as cancións dos 90 máis reproducidas en Spotify, mais na web recollen, alén dos datos globais, outras curiosidades: os datos referentes só a cancións de rap, os dos billboards dos últimos 50 anos, as gañadoras dos Grammy, ... Aínda por riba, a base permite pescudar por canción ou artista, o que pode destruír a vosa produtividade como fixo coa miña (claro que eu teño Procrastinating Level: God).

Aínda non argallei unha maneira, mais vexo factible e interesante traballar cos datos na unidade de Estatística. Veremos o xeito.

11.8.15

Sumar, multiplicar, tanto ten



Como un dragón da época dos 8 bits,
Twin Dragon Fractal, collido de The Math Kid

Visitando a web da clásica revista Crux Mathematicorum (que leva sen actualizarse desde o ano pasado), vin que os números anteriores a 2009 están dispoñibles en pdf, polo que consultei uns poucos ao chou. Atopei este problema aritmético, que aínda que ben coñecido, non deixa de ser interesante. Eu coñecía o problema con outros números, non sei se dalgún libro ou dunha competición matemática. O que viña na Crux de 1977 dicía:


Unha muller foi á tenda a mercar 4 cousas. Calculando o importe, o nervioso dependente multiplicou os 4 prezos e anunciou que o total era 6.75$ Como a muller xa sumara os prezos de memoria e obtivera a mesma cantidade, pagou a conta e liscou. Supoñendo que os 4 prezos eran distintos, es quen de atopalos?



O conto é axeitado para resolver na praia, só falta o bo tempo.


Agora agardemos que ningún lector espelido me avise de que xa compartira este problema...

5.8.15

Un xogo de seccións


Deixando a un lado as Matemáticas máis técnicas (non era sen tempo), veño compartir un xogo de dar cortes. O interesante é que os cortes hai que dárllelos a corpos tridimensionais, cando o habitual neste tipo de xogos vén sendo dar cortes a figuras planas. O xogo chámase Cut 3D, nome obrigado:


Un papaventos!

A mágoa é que os niveis sexan un pouco repetitivos e as figuras relativamente sinxelas. Con corpos non convexos a variedade podería ser moito maior. A ver se hai sorte e fan segunda parte máis movida.





28.7.15

Uns problemas axeitados...


Mentres agardaba a que publiquen os problemas da Olimpíada Matemática da Comunidade de Países de Lingua Portuguesa, estiven a fedellar pola rede na pescuda de pasatempos. Velaquí os tedes:


O primeiro, pura técnica alxébrica, é máis complicado do que parece. Atopeino na Olimpíada de Irlanda do ano pasado:
  • Se a, b, c son números distintos e non nulos que cumpren 
$$a+\frac{2}{b}=b+\frac{2}{c}=c+\frac{2}{a}=p$$
amosar que $$abc+2p=0$$

O segundo é de optimización, mais non o habitual. Vino nun libro do que non gardei a referencia:
  • Se $\theta$ é un ángulo menor que un recto, atopar o rectángulo inscrito nun sector da circunferencia de radio 1 que teña amplitude $\theta$ coa maior área posible

   
Se queredes unha pista, ese máximo é

$$\frac{1-cos\theta}{2sen\theta}$$



E para o último, observade a seguinte figura:

   
Neste taboleiro 7x7 vemos 7 fichas postas de tal xeito que as 21 distancias existentes entre elas son todas distintas. A colocación destas 7 fichas apareceu suxerida por Erdös e Guy no seu artigo "Different Distances between Lattice Points" na revista Elemente der Mathematik(que está na rede); aínda que eu souben dela nun primeiro momento no espléndido Famous Puzzles of Great Mathematicians de Miodrag Petkovic Pois o problema que vos propoño eu é:
  • Colocar en taboleiros nxn n fichas de tal xeito que as distancias entre eles sexan todas distintas, sendo n=4,5,6

Sorte cos problemas.

19.7.15

Maldita folla de cálculo


Estaba eu a fedellar nun inocente problema de Teoría de Números, a saber:

Atopar os números naturais a, b, c tales que $a^3-b^3=c^2$

Como a simple vista non daba feito descompoñendo o membro da esquerda e argallando arredor dos factores primos, pensei en observar as primeiras ternas-solución (que seguro que había alén das triviais) a ver se obtiña algunha intuición sobre a forma xeral da solución. A ollo non vía ningunha (despois atopei unha familia delas, $(2 \cdot 7^{2k+1},7^{2k+1},7^{3k+2})$), polo que collín a folla de cálculo para comprobar uns cantos centos de números, a ver se chegaba a inspiración.

Para iso fixen isto:

   

É dicir, para cada valor de a collía todos os valores de b desde 1 ata a-1, calculaba a diferenza dos seus cubos e miraba se a raíz cadrada daba un número natural. O inmediato.

Pero claro, ir poñendo os números na columna dos a resulta fatigoso, polo que, confiando no programa e a súa función de autocompletar, tentei que a folla escribise por min os seguintes 5 números, todos iguais a 6:

   

Obviamente non funcionou. Un problemiña lateral podería consistir en achar que demo fixo o programa para atopar eses números, mais non é este o que veño propoñer eu hoxe.

A miña cuestión principal é: xa que a folla de cálculo non autocompleta como esperaba eu, que fórmula haberá que implementar no campo de entrada para que saia a columna desexada, é dicir, unha columna na que o número 2 sae 1 vez, o 3, 2 veces, o 4, 3 veces,... e en xeral o número n aparece n-1 veces?