Problemas de Álxebra sen ecuacións

Esta semana, mentres argallaba uns exercicios de Álxebra de 1º de Bacharelato, parei a pensar no obxectivo tácito que ten a Álxebra da ESO: todos os contidos e procedementos deste bloque de contidos están encamiñados á resolución de ecuacións. Non podemos incluír o bacharelato porque alí por fin atopamos que as ecuacións son unha ferramenta para estudar, p.ex., figuras xeométricas (aínda que non queda moi claro se é o obxectivo ou é unha aplicación casual)

Quizais isto proceda de que é complicado atopar cuestións alxébricas que non sexan nin evidentes nin sofisticadas; ou quizais sexa culpa, como en tantas outras ocasións, dos libros de texto. Nestes é raro atopar actividades alxébricas interesantes. Como moito poderemos achar algún tipo de actividade xeométrica na que hai que identificar as áreas ou perímetros de figuras en función dun parámetro (x habitualmente, claro). Á memoria vén unha actividade na que se requería do alumno calcular as áreas das pezas do Tangram se a dos dous triángulos pequenos é x. Algo así:

   

Por que creo que esta actividade non é axeitada na unidade de Álxebra? Basicamente porque o feito de introducir letras non achega nada novo ao problema: se definimos como unidade de medida a área dos triángulos pequenos, chamándolle "1" por exemplo, temos a mesma solución (e veremos os coeficientes dos monomios da figura). E tamén porque a solución do exercicio non require razoamento alxébrico senón xeométrico, esencialmente cortar figuras e colocalas xuntas para formar outras figuras coa mesma área.

Teño que recoñecer que eu, como profesor da ESO, tampouco fixen moito ata o momento por non caer nesta visión unidimensional da Álxebra. Durante anos os exemplos que acheguei nas aulas reducíronse aos típicos relacionados cos números (se sumas dous impares obtés un impar), os de magos adiviñando números (que adoitan rematar cunha ecuación, aínda que non é necesario) e algúns xeométricos similares ao do Tangram mencionado. 

Mais algún exemplo interesante si que coñezo. O primeiro é un "paradoxo" que non o é, ben coñecido polos amantes das Matemáticas Recreativas. Paso a explicalo:

Imaxina que tes dúas bolsas, a 1ª con 100 bólas negras e a 2ª con 100 bólas brancas. Extraes 10 bólas da 1ª bolsa e mételas na 2ª. Remexes nesta 2ª bolsa e colles 10 bólas e lévalas para a 1ª bolsa, de tal xeito que tes 100 bólas en cada bolsa, só que agora estarán mesturadas (seguramente, pois a probabilidade de que non o estean é 2 en 100 billóns, aínda que tanto ten que non o estean para este problema)

A cuestión é: que hai máis, bólas brancas na 1ª bolsa ou bólas negras na 2ª bolsa?

Sei que este problema é susceptible de ser resolto con razoamentos aritméticos, mais tamén teño comprobado que non todos os alumnos ven con claridade esa solución.

A segunda actividade alxébrica que quero compartir atopeina nun concurso de Matemáticas, o Michigan Autumn do 2000. Tamén é factible resolvela aritmeticamente, mais é interesante fedellar co ferramenta alxébrica:

Un grupo de 200 persoas, 105 mulleres e 95 homes, é dividido ao chou en dúas ringleiras de 100 persoas. Cada persoa dunha ringleira está xusto diante dunha persoa da outra ringleira, de xeito que cada parella se dá a man. Demostrar que o número de apretóns de mans "muller-muller" sempre é 5 máis có de apretóns "home-home", independentemente da colocación da xente nas ringleiras.

Agradecería moito que os amables lectores compartisen outros problemas alxébricos sen ecuacións, para ir xuntando unha colección deles para usar nas aulas.

Grazas por ler/compartir.