Cousas curiosas dos números

Hai unha certa cantidade de feitos aritméticos elementais que un mesmo pode descubrir simplemente ollando con suficiente coidado para os números. Non é necesario un dominio das operacións aritméticas alén dos obxectivos da educación primaria para algunhas das propiedades, ou como moito da educación secundaria. Hoxe vou expoñer algúns dos máis inmediatos, en orde ascendente de dificultade. Os primeiros son inmediatos, xa veredes:

• A suma de dous números pares é par, a suma de dous números impares é par, a suma dun par e un impar é impar.
  

Parece obvio, non si? Alguén non se decatara? Quizais habería que empezar por pensar que significa que un número sexa par ou impar...

• A táboa do 9.

Hai varios xeitos de presentar a táboa do 9. Un deles podedes velo no seguinte vídeo, que aínda que está en inglés, e ben sinxelo de comprender:


Pero a devandita táboa é tan sinxela que ..., en fin, aquí está:

1 \times 9=9 \ \ \ \ 10 \times 9 = 90 \\
2 \times 9=18 \ \ \ \ 9 \times 9 = 81 \\
3 \times 9=27 \ \ \ \ 8 \times 9 = 72 \\
4 \times 9=36 \ \ \ \ 7 \times 9 = 63 \\
5 \times 9=45 \ \ \ \ 6 \times 9 = 54 \\

• Os cadrados dos números naturais rematan en 1, 4, 5, 6, 9 ou 0 (neste último caso, en dous ceros)

Este feito é utilizado nas clases de 1º de E.S.O., cando descompoñemos en factores primos números naturais. A razón é sinxela: para saber a última cifra do cadrado perfecto, só hai que ollar a última cifra do número. Observando os cadrados dos díxitos teremos rematado.

• Os cadrados dos números formados unicamente por uns.

Este propiedade adoita aparecer nalgunha clase durante 1º de E.S.O., aínda que hoxe en día non me gusta especialmente, seguramente debido a que só é certa para unha pequena cantidade de números:

1^2=1 \\
11^2=121 \\
111^2=12321 \\
1111^2=1234321 \\
11111^2=123454321 

E cando pasamos de 12345678987654321 morreu o conto.

• As potencias de expoñente negativo de 2 e as de expoñente positivo de 5 están relacionadas dun xeito curioso.

Xeito que, ademais, é difícil de avanzar sen descifrar o "misterio". Só hai que ollar:

2^{-1}=0,5 \\
2^{-2}=0,25=\frac{5^2}{10^2} \\
2^{-3}=0,125=\frac{5^3}{10^3}

• O truco para calcular os cadrados dos números que rematan en 5.

Que, por se alguén non o coñece, é este:

Supoñamos que queremos calcular o cadrado de 75. Comezamos por escribir 25 ao final, pois tódolos cadrados de números que rematan en 5, rematan en 25. En segundo e último lugar, collemos a outra cifra do número, neste caso 7, e multiplicámola polo número seguinte, 8. Poñemos o resultado, 56, ao lado do número 25 e xa rematamos, obtendo o cadrado de 75, 5625.
Este feito é o paradigma do enigmático que resulta calquera feito matemático que un observa pero non entende. Só hai que pensar que un número rematado en 5 pode expresarse como 10A+5, onde A é un número natural. E o demais é álxebra elemental:

(10A+5)^2=10^2A^2+2 \cdot 10A \cdot 5+5^2= 100A^2+100A+25= \\
100A(A+1)+25

• Tódolos números naturais teñen un número par de divisores positivos, agás os cadrados perfectos.

Os razoamentos que utilizan a paridade son unha marabilla: os divisores positivos dun número natural adoitan vir de dous en dous, como os donuts, pois dado un divisor k de N, obtemos automaticamente outro divisor de N, N/k, que é distinto de k sempre que k non sexa a raíz cadrada de N.

• As diferenzas entre cada dous cadrados perfectos consecutivos son os números impares.

Alxebricamente:

(n+1)^2 - n^2 = 2n +1 

Ben, creo que é suficiente por hoxe. Outro día sigo con propiedades menos evidentes e máis difíciles de atopar.