9.6.15

Un triángulo dobrado


Xa teño falado do grande blogue Five Triangles, probablemente a miña referencia principal en feedly para atopar problemas interesantes para os cativos. O obxectivo do blogue é achegar problemas para a súa utilización nas aulas de secundaria, concretamente de 6º grao a 8º grao (6º de Primaria, 1º e 2º de ESO). Quizais sexa moi optimista pensar que eses problemas poden ser utilizados de xeito rutineiro nas aulas deses cursos, pero si é certo que poden ser traballados ou ben esporadicamente ou ben como actividades grupais guiadas. O problema que traio hoxe excede ao esixible nunha aula da ESO (4º incluído), o cal non quere dicir que non se poida utilizar como problema extracurricular, que non todo vai ser aplicar Ruffini e a fórmula da ecuación de 2º grao... 

O problema chámase Folded Triangle e é o número 252 de Five Triangles:

Do devandito blogue, Five Triangles

Na figura ABC é un triángulo rectángulo isóscele con catetos que miden 4 cm. O punto B é dobrado sobre PQ de tal xeito que cae enriba do punto D do lado AC que cumpre que AD=3 cm. Determina a lonxitude do segmento PQ.

O curioso deste problema é a variedade de camiños que hai para atopar a lonxitude de PQ. Vou amosar un xeito que atopei que non usa soamente o Teorema de Pitágoras. Se queredes achar vós a solución, non sigades lendo. Póñovos unha frase feita como obstáculo:

Parvada TOP, ben cho sei...

Imos ao choio. O esencial é comezar por debuxar o segmento BC, que completa o arquicoñecido triángulo 3-4-5, e atopar o valor da lonxitude de BC($\small{4\sqrt{2}}$). Completando un chisco o debuxo, teremos:
   
As lonxitudes de BP e PD coinciden polo movemento do punto B (o xiro é unha isometría), mesma razón para a coincidencia das lonxitudes de BQ e QD.
Os triángulos BMP e BAD son semellantes, pois son rectángulos e comparten o ángulo en B. De aí:

$$\frac{PM}{AD}=\frac{BM}{BA}=\frac{PB}{BD}$$
$$\frac{PM}{3}=\frac{\frac{5}{2}}{4}=\frac{y}{5}$$
De onde obtemos
$$PM=\frac{15}{8}, y=\frac{25}{8}$$

Para o cálculo de PQ vou atopar antes o valor de x, para o cal un xeito rápido fai uso do Teorema de Stewart no triángulo BPC, do que DQ é unha ceviana:

$$x\cdot1^2+(4\sqrt{2}-x)\cdot5^2=4\sqrt{2}\cdot[x^2+x(4\sqrt{2}-x)]$$
$$x+100\sqrt{2}-25x=32x \rightarrow x=\frac{25\sqrt{2}}{14}$$
Co valor de x calculamos o de MQ:

$$MQ^2=x^2-(\frac{5}{2})^2\rightarrow MQ=\frac{5}{14}$$

Finalmente,

$$PQ=PM+MQ=\frac{15}{8}+\frac{5}{14}=\frac{125}{56}$$

Se vedes un xeito máis rápido, máis elegante ou simplemente curioso de atopar o valor de PQ, anímovos a utilizar a caixa de comentarios.

8 comentarios:

  1. Creo que nunca vira unha referencia ao teorema de Stewart. Así que me entretiven buscando outra solución. Como non vía a forma de metercha aquí, deixeina por acolá:
    http://retallosdematematicas.blogspot.com.es/2015/06/triangulo-redobrado.html

    ReplyDelete
  2. Obrigado, Cibrán. A esencia analítica da túa solución permite propoñer o problema en Matemáticas I. Estou pensando que podía facer unha entrada sobre o Teorema de Stewart que sexa axeitada para a situación actual da Xeometría no curriculum. A ver.

    ReplyDelete
  3. Unha desvantaxe de alumnos que dependen de fórmulas ou xeometría coordinada para resolver problemas desta natureza é que os profesores poden representar problemas máis difíciles para que tales enfoques fanse demasiado pesado, e quizais imposible. É sintomático da educación matemática occidental a concentrarse en solucións directas, pero en países do Extremo Oriente, os alumnos aprenden a mirar para algo que pode cambiar un problema en algo máis simple.

    Aquí está un diagrama que fai MQ máis fácil de atopar, e limita o problema coas competencias da 8º grao, tales como Pitágoras Teorema e triángulos semellantes.

    https://docs.google.com/document/d/1MHcPizlSD_PEJyrJVrit0tQLqIK9tWn2rsGtBJHb6AU/edit

    ReplyDelete
  4. Nice problem and nice way of finding MQ as well, though I think that 8 graders may lack the algebraic machinery (and, as you pointed, the persistence) necessary to solve the equations.
    Anyway, keep the flow of interesting problems going, you have fans around here ;)

    ReplyDelete
  5. I've never seen Stewart's Theorem before, that's something I'm going to have to look up.
    Our solution doesn't use any maths past Year 8, although they would probably need to use a calculator to compute the final step.
    I'm sorry for the handwriting, but I can't get the TeX markup to work in comments: http://imgur.com/0fSu4On

    ReplyDelete
  6. Nice aproach too, PBrohan! Regarding to Stewart's Theorem, you can add my next blog post to your references (esentially it's a bunch of Pythagoras' uses)
    On the other topic, I thought LATEX worked fine here... $e^{\pi \cdot i}+1=0$

    ReplyDelete
  7. Here is one possible solution we envisioned when posting this problem (and rating it 3 stars), optimistic that it falls within the capabilities of Yr8 students (some of whom admittedly may need encouragement):

    https://docs.google.com/document/d/1ZidEHSoCFWdSRnv2kDXTNRDF0GK-WKDu-YtZcQKmswI/edit

    Doubting the typical Yr8 student's ability is understandable, but raising the ante is the point of our blog, to which we add this note: problems that require multiple skills, such as drawing auxiliary lines, the recognition of similar triangles oriented obliquely, and extended arithmetic manipulation with proportions, square roots, etc., are commonly posed in certain "top-tier" mathematics nations' classrooms (which may explain why they are top-tier.)

    ReplyDelete
  8. Following the famous TIMSS Video study Japanese classroom we could enjoy (here), I believe this kind of problems is best-suited for collaborative work. Anyway, Spain has a tiny Geometry curriculum, because we are still in the aftermath of Bourbaki New Math. Thus, we spend most of the year doing Arithmetic and Algebra; in High School working in mostly-algebraic functions exercises . Take a look at Year 8 curriculum (full document):
    Bloque 4. Geometría.
    Figuras con la misma forma y distinto tamaño. La semejanza. Proporcionalidad de segmentos. Identificación de relaciones de semejanza.
    Ampliación y reducción de figuras. Obtención, cuando sea posible, del factor de escala utilizado. Razón entre las superficies de figuras semejantes.
    Utilización de los teoremas de Tales y Pitágoras para obtener medidas y comprobar relaciones entre figuras.
    Computing, computing, computing!

    ReplyDelete