Un triángulo dobrado

Xa teño falado do grande blogue Five Triangles, probablemente a miña referencia principal en feedly para atopar problemas interesantes para os cativos. O obxectivo do blogue é achegar problemas para a súa utilización nas aulas de secundaria, concretamente de 6º grao a 8º grao (6º de Primaria, 1º e 2º de ESO). Quizais sexa moi optimista pensar que eses problemas poden ser utilizados de xeito rutineiro nas aulas deses cursos, pero si é certo que poden ser traballados ou ben esporadicamente ou ben como actividades grupais guiadas. O problema que traio hoxe excede ao esixible nunha aula da ESO (4º incluído), o cal non quere dicir que non se poida utilizar como problema extracurricular, que non todo vai ser aplicar Ruffini e a fórmula da ecuación de 2º grao... 

O problema chámase Folded Triangle e é o número 252 de Five Triangles:

Do devandito blogue, Five Triangles

Na figura ABC é un triángulo rectángulo isóscele con catetos que miden 4 cm. O punto B é dobrado sobre PQ de tal xeito que cae enriba do punto D do lado AC que cumpre que AD=3 cm. Determina a lonxitude do segmento PQ.

O curioso deste problema é a variedade de camiños que hai para atopar a lonxitude de PQ. Vou amosar un xeito que atopei que non usa soamente o Teorema de Pitágoras. Se queredes achar vós a solución, non sigades lendo. Póñovos unha frase feita como obstáculo:

Parvada TOP, ben cho sei...

Imos ao choio. O esencial é comezar por debuxar o segmento BC, que completa o arquicoñecido triángulo 3-4-5, e atopar o valor da lonxitude de BC($\small{4\sqrt{2}}$). Completando un chisco o debuxo, teremos:

   

As lonxitudes de BP e PD coinciden polo movemento do punto B (o xiro é unha isometría), mesma razón para a coincidencia das lonxitudes de BQ e QD.

Os triángulos BMP e BAD son semellantes, pois son rectángulos e comparten o ángulo en B. De aí:

$$\frac{PM}{AD}=\frac{BM}{BA}=\frac{PB}{BD}$$

$$\frac{PM}{3}=\frac{\frac{5}{2}}{4}=\frac{y}{5}$$

De onde obtemos

$$PM=\frac{15}{8}, y=\frac{25}{8}$$

Para o cálculo de PQ vou atopar antes o valor de x, para o cal un xeito rápido fai uso do Teorema de Stewart no triángulo BPC, do que DQ é unha ceviana:

$$x\cdot1^2+(4\sqrt{2}-x)\cdot5^2=4\sqrt{2}\cdot[x^2+x(4\sqrt{2}-x)]$$

$$x+100\sqrt{2}-25x=32x \rightarrow x=\frac{25\sqrt{2}}{14}$$

Co valor de x calculamos o de MQ:

$$MQ^2=x^2-(\frac{5}{2})^2\rightarrow MQ=\frac{5}{14}$$

Finalmente,

$$PQ=PM+MQ=\frac{15}{8}+\frac{5}{14}=\frac{125}{56}$$

Se vedes un xeito máis rápido, máis elegante ou simplemente curioso de atopar o valor de PQ, anímovos a utilizar a caixa de comentarios.