14.6.15

O Teorema de Stewart


Nos cálculos da anterior entrada utilicei o Teorema de Stewart, eu pensaba que xa aparecera por este blogue, mais como apuntou Cibrán (a.k.a. Carta Xeométrica) e confirmou o buscador do blogue, nunca usara o devandito teorema. É máis, poñendo Stewart na caixa de busca só devolve dúas entradas, a anterior e unha na que compartira un libro de Ian Stewart.

Pois xa vai sendo hora de facerlle unha entrada, pois o teorema é ben útil e simultaneamente descoñecido. Eu mesmo coñecín o teorema despois de rematar a carreira (o que non fai proba, case toda a xeometría sintética elemental que sei aprendina desde que son profesor) lendo un libro do grande xeómetra Harold Coxeter (e de Samuel Greitzer, que sempre queda sen mención), Geometry Revisited. O libro é unha auténtica fermosura, escrito dun xeito moi elegante e cunha elección de contidos moi coidada, e ademais presenta moitos problemas interesantes como exercicio para o lector. De feito o Teorema de Stewart aparece na páxina 6 como actividade proposta tras a demostración do Teorema de Ceva.

Cando vin este resultado, distinto do tipo de proposicións que coñecía ata o momento, foi inevitable demostralo utilizando trigonometría. Mais non é difícil esquivala, reproducindo en certa maneira a demostración do arquicoñecido Teorema do Coseno. Observade o enunciado do Teorema de Stewart e tentade demostralo vós antes de ver a miña proba, avisados estades:

Teorema de Stewart

Nun triángulo ABC, trazamos o segmento que parte de A e corta ao lado oposto BC nun punto D (este tipo de liñas chámanse cevianas polo matemático italiano do s.XVII Giovanni Ceva). Se os segmentos determinados no lado BC polo punto D miden m e n, e a ceviana AD mide p, temos que:

   


mb2+nc2=a(p2+mn)



Alá vai a miña demostración:

Chamando x á medida da proxección da ceviana sobre BD (no outro caso, totalmente análogo, a proxección sería sobre DC):

   

O que vén é a aplicación industrial do Teorema de Pitágoras:

No triángulo AED,

h2=p2x2
No ABE,
h2=c2(mx)2

Igualando,
p2x2=c2(mx)2p2x2=c2m2+2mxx2x=p2c2+m22m

Razoando de xeito semellante ao outro lado da ceviana,
h2=p2x2
h2=b2(nx)2

Igualando,
p2x2=b2(n+x)2p2x2=b2n22nxx2x=p2b2+n22n

Das dúas expresións para o valor de x:
p2c2+m22m=p2b2+n22n
n(p2c2+m2)=m(p2b2+n2np2+nc2nm2=mp2mb2+mn2
mb2+nc2=mp2+np2+mn2+nm2
mb2+nc2=(m+n)p2+mn(n+m)
mb2+nc2=(m+n)(p2+mn)=a(p2+mn)
q.e.d.

A demostración que fixera orixinalmente hai 15 anos utilizaba o Teorema do Coseno nos dous ángulos suplementarios que se forman no punto D. As expresións, loxicamente, son idénticas ás que acabades de ler.

Outro día pode que traia o Teorema de Ceva, que tamén é moi descoñecido e aínda máis útil para demostrar concorrencias de cevianas nunha liña.

2 comentarios:

  1. Interesante, coma todas as túas entradas aínda que ultimamente non che comente. Eu tamén tiña por aí a demostración feita co teorema do coseno:
    http://tube.geogebra.org/m/54652 (colgada en paulo.gal)

    ResponderEliminar
  2. Obrigado, cadoi ;) Lembro que de cativo non era consciente de varias cousas que agora son obvias: 1) que usar Trigonometría nos cálculos ou nas demostracións adoita non ser máis que atallar as semellanzas
    2) que usar Xeometría Analítica é como usar unha infinidade de veces o Teorema de Pitágoras
    Neste caso, a miña demostración non é máis que un intento de evitar o Teorema do Coseno, que na túa se ve moito máis rápido.
    E graciñas por pasarte a comentar :)

    ResponderEliminar