O Teorema de Stewart

Nos cálculos da anterior entrada utilicei o Teorema de Stewart, eu pensaba que xa aparecera por este blogue, mais como apuntou Cibrán (a.k.a. Carta Xeométrica) e confirmou o buscador do blogue, nunca usara o devandito teorema. É máis, poñendo Stewart na caixa de busca só devolve dúas entradas, a anterior e unha na que compartira un libro de Ian Stewart.

Pois xa vai sendo hora de facerlle unha entrada, pois o teorema é ben útil e simultaneamente descoñecido. Eu mesmo coñecín o teorema despois de rematar a carreira (o que non fai proba, case toda a xeometría sintética elemental que sei aprendina desde que son profesor) lendo un libro do grande xeómetra Harold Coxeter (e de Samuel Greitzer, que sempre queda sen mención), Geometry Revisited. O libro é unha auténtica fermosura, escrito dun xeito moi elegante e cunha elección de contidos moi coidada, e ademais presenta moitos problemas interesantes como exercicio para o lector. De feito o Teorema de Stewart aparece na páxina 6 como actividade proposta tras a demostración do Teorema de Ceva.

Cando vin este resultado, distinto do tipo de proposicións que coñecía ata o momento, foi inevitable demostralo utilizando trigonometría. Mais non é difícil esquivala, reproducindo en certa maneira a demostración do arquicoñecido Teorema do Coseno. Observade o enunciado do Teorema de Stewart e tentade demostralo vós antes de ver a miña proba, avisados estades:

Teorema de Stewart

Nun triángulo ABC, trazamos o segmento que parte de A e corta ao lado oposto BC nun punto D (este tipo de liñas chámanse cevianas polo matemático italiano do s.XVII Giovanni Ceva). Se os segmentos determinados no lado BC polo punto D miden m e n, e a ceviana AD mide p, temos que:

   

$$mb^2+nc^2=a(p^2+mn)$$



Alá vai a miña demostración:

Chamando x á medida da proxección da ceviana sobre BD (no outro caso, totalmente análogo, a proxección sería sobre DC):

   

O que vén é a aplicación industrial do Teorema de Pitágoras:

No triángulo AED,

$$h^2=p^2-x^2$$

No ABE,

$$h^2=c^2-(m-x)^2$$

Igualando,
$$p^2-x^2=c^2-(m-x)^2 \rightarrow p^2-x^2=c^2-m^2+2mx-x^2 \rightarrow x= \frac{p^2-c^2+m^2}{2m}$$

Razoando de xeito semellante ao outro lado da ceviana,
$$h^2=p^2-x^2$$
$$h^2=b^2-(n-x)^2$$

Igualando,
$$p^2-x^2=b^2-(n+x)^2 \rightarrow p^2-x^2=b^2-n^2-2nx-x^2 \rightarrow x= \frac{p^2-b^2+n^2}{-2n}$$

Das dúas expresións para o valor de x:
$$\frac{p^2-c^2+m^2}{2m}=\frac{p^2-b^2+n^2}{-2n}$$
$$-n(p^2-c^2+m^2)=m(p^2-b^2+n^2 \rightarrow -np^2+nc^2-nm^2=mp^2-mb^2+mn^2$$
$$mb^2+nc^2=mp^2+np^2+mn^2+nm^2$$
$$mb^2+nc^2=(m+n)p^2+mn(n+m)$$
$$mb^2+nc^2=(m+n)(p^2+mn)=a(p^2+mn)$$
q.e.d.

A demostración que fixera orixinalmente hai 15 anos utilizaba o Teorema do Coseno nos dous ángulos suplementarios que se forman no punto D. As expresións, loxicamente, son idénticas ás que acabades de ler.

Outro día pode que traia o Teorema de Ceva, que tamén é moi descoñecido e aínda máis útil para demostrar concorrencias de cevianas nunha liña.