11.12.15

Triángulos en rectángulos

Hai máis dun ano e medio que escribín unha entrada cun problema xeométrico de áreas, no que inscribíamos un triángulo equilátero nun cadrado:
    
 ...e nun rectángulo:

   

E víamos que se cumpría que as áreas contiguas ao vértice común ao triángulo e o rectángulo(azuis ou violetas) coincidían coa área oposta a ese vértice (vermella ou )verde.

Unha xeralización inmediata consiste en inscribir triángulos non equiláteros e observar que sucede. Como a resposta inclúe un chisco de trigonometría, é difícil de adiviñar, polo que xa a anticipo eu:

   
Nas condicións da figura, cúmprese sempre que:
$$A cot \alpha+B cot \beta=C cot \gamma$$

Podedes argallar vós mesmos unha demostración, ou podedes ir ao artigo de Tom Apostol e Mamikon Mnatsakanian onde descubrín eu o resultado:

0 comentarios:

Post a Comment