A indución

Se ledes o Decreto 86/2015, veredes que na materia Matemáticas I do bacharelato, dentro do "Bloque 1: Procesos, métodos e actitudes en Matemáticas" incluíron os seguintes contidos:

B1.4. Iniciación á demostración en matemáticas: métodos, razoamentos, linguaxes,etc.

B1.5. Métodos de demostración: redución ao absurdo, método de indución, contraexemplos, razoamentos encadeados, etc.

B1.6. Razoamento dedutivo e indutivo.

B1.7. Linguaxe gráfica e alxébrica, e outras formas de representación de argumentos.

Co criterio de avaliación:

B1.3.Realizar demostracións sinxelas de propiedades ou teoremas relativos a contidos alxébricos, xeométricos, funcionais, estatísticos e probabilísticos.

E co estándar de aprendizaxe:

MA1B1.3.1 Utiliza diferentes métodos de demostración en función do contexto matemático e reflexiona sobre o proceso de demostración(estrutura, método, linguaxe e símbolos, pasos clave, etc.)

Pois ben, como este ano teño que dar esta materia/maratón, e como co cambio de curriculum eliminaron moitos procedementos da unidade de Sucesións, optei por introducir estes contidos sobre demostracións nesa unidade.

O exemplo obrigado de demostración por indución é a arquicoñecida suma dos primeiros n números naturais:

$$\sum_{k=1}^n{k}=\frac{n(n+1)}{2}$$

 O proceso forma parte xa do folklore matemático:

• Comprobamos que a propiedade é certa para n=1 (guindamos a primeira ficha do dominó)

O membro da esquerda vale 1, pois é a suma co único sumando 1. O membro da dereita tamén vale $\frac{1(1+1)}{2}=1$, polo que efectivamente se cumpre para n=1

• Supoñemos que a propiedade é certa para n e demostrámola para n+1 (cada ficha do dominó guinda a seguinte)

$$\sum_{k=1}^{n+1}{k}=\sum_{k=1}^{n}{k}+n+1=\frac{n(n+1)}{2}+n+1=(n+1) \cdot \Big(\frac{n}{2}+1 \Big)=\frac{(n+1)(n+2)}{2}$$

q.e.d. (mellor que c.q.d.)

Unha eiva que se adoita apuntar sobre o método de indución é que non explica a razón dos feitos matemáticos. Comparade a demostración anterior co razoamento do pequeno Gauss:

• Se escribimos a suma desde 1 ata n en orde crecente, repetímola embaixo en orde decrecente e sumamos en vertical:

    

Velaí a explicación do feito. (Nota: sempre propoño a suma desde 1 ata 100 cun par de pistas en 3º de ESO. Coido que é o momento para ter esa epifanía matemática)

Aínda podemos comparar coa demostración sen palabras que aparece en Art of Problem Solving:

   

Creo que queda claro que a indución é o método dos tres que dá menos intuición sobre a idea que queremos probar.

Como os alumnos de 1º de bacharelato non están maduros matematicamente falando, e moito menos con respecto ao tema das demostracións, hai que ter moito coidado con mecanizar o método de indución. Non estou certo sobre o traballo que fixen este trimestre, pois os teoremas accesibles a este nivel están relacionados case sempre con sumas de sucesións sinxelas ou propiedades elementais de sucesións como a de Fibonacci. Non ousei coller exemplos de desigualdades nin de propiedades aritméticas como a divisibilidade. O que si fixen foi propoñer unha demostración falsa que coñecín nos tempos da carreira no libro Basic Mathematics do prolífico Serge Lang. Lede con atención e pescudade o erro:

Todas as bólas de billar teñen a mesma cor

Indución no número de bólas:

• A propiedade é obviamente certa cando n=1, é dicir, cando só temos unha bóla.
• Supoñamos que a propiedade é certa para n bólas e demostrémola para n+1.

Se temos n+1 bólas, fixémonos nas primeiras n bólas. Pola hipótese de indución, as n bólas teñen a mesma cor. Agora fixémonos nas últimas n bólas(i.e., todas agás a primeira). Pola hipótese de indución, todas teñen a mesma cor. Polo tanto, como as primeiras n comparten cor, e as últimas n tamén, deducimos que as n+1 bólas teñen a mesma cor. Q.e.d.

Atopar erros matemáticos interesantes debería ser unha actividade común nas aulas. Xa está ben de que todo estea perfecto sempre.