Mentres poño un exame...

Vou descansar un pouco de pensar no exame de mañá de fraccións (2º de E.S.O.), e vou aproveitar para comentar os problemas de PISA do último día.

En primeiro lugar, hai que salientar que o primeiro problema, Bookshelves, apareceu no cuestionario do 2003, mentres que o segundo, Student Heights, non foi incluído en ningún cuestionario senón que pertence ao estudo de campo.

Comecemos por Bookshelves:

A reflexión que leva á solución do problema forma parte dunha competencia non traballada explicitamente no ensino secundario: os profesores de Matemáticas esperamos dos nosos alumnos o nivel de sentido común necesario para resolver problemas deste estilo sen que nós mesmos teñamos que rilar os pasos. Podemos afirmar que os problemas que nós traballamos nas aulas son "de máis nivel". Aínda así, hai alumnos que poden fallar neste problema, e ata podo aventurar unha razón: o enunciado do problema lembra lixeiramente a aqueles "problemas tipo" de 1º de E.S.O. onde aparecían varios números e había que facer o mínimo común múltiplo (p.ex.: un barco sae do porto cada 12 días, outro cada 15 días...) ou o máximo común divisor (p.ex.: se Ana e Brais teñen 48 e 36 lambetadas , respectivamente, e queren facer bolsas con elas co maior número posible de lambetadas...)

En calquera caso, fallar este problema denota escasa comprensión ou demasiada présa ao lelo (ou as dúas cousas). Está claro que o que temos que pensar é en de que peza temos máis escaseza, ou dito doutro xeito, para cantos mobles chega cada peza, o que vén representado polas divisións: 26:4= 6'5, 33:6=5'5, 200:12=16'333..., 20:2=10, 510:14=36'42...

Estas contas amosan que só temos táboas pequenas abondo para facer 5 mobles.

Sorprendentemente, os alumnos españois só obtiveron un 57% de acerto neste problema, fronte a un tamén pobre 61 % da OCDE.

En canto ao segundo problema, Students Heights, o primeiro que teño que comentar é que cae fóra do estilo de problemas que habitualmente traballamos os profesores de España (sempre pola miña propia experiencia, tanto por compañeiros directos como pola rede). E por que? Pois porque normalmente os problemas propostos adoitan ser problemas máis "pechados", en canto a que hai que pensar brevemente sobre o enunciado e despois escoller a operación ou algoritmo que hai que aplicar para chegar á solución desexada (como nota curiosa, moitas veces despois da 1ª operación, ao chegaren a un número como resultado, os alumnos esquecen que hai que seguir...), e esta solución é única, e moitas veces só hai un xeito de chegar a ela.

O problema Student Heights propón varias afirmacións e manda decidir sobre a súa veracidade. Coa dificultade engadida de que tódalas sentenzas resultan ser falsas. Como chegar a esa conclusión?

Un profesor de Matemáticas, ante un problema como este, o que pensa é: para que nivel está pensado? E por que? Porque dependendo da resposta buscará un tipo de solución ou outra.

Hoxe en día, a solución á que máis inclinados somos os profesores, a puramente alxébrica, non a vexo factible para ningún curso do instituto, nin sequera para o bacharelato. A solución esperada consiste en que o alumno pense casos particulares dentro das condicións do problema e vexa que sucede, de tal xeito que deduza que ningunha das afirmacións ten por que ser certa(contraexemplo, na xerga matemática):

• Un dos alumnos pode ser un rapaz de 160cm. e o outro unha rapaza de 150 cm.
• Os dous alumnos poden ser dous rapaces, un de 165 cm. e o outro de 155 cm., por exemplo.
• As situacións anteriores serven como contraexemplos.
• Esta é a áfirmación que é menos obvia, pero tampouco é demasiado complicada: se entran dous mozos de 160 cm., é obvio que, sen trocar as medias por sexos, como a media anterior tiña que estar entre 150 e 160, estes dous mozos soben a media da clase.
• Se entran dous mozos de 191 e 129, Zdenek xa non é o máis baixo.

É tan difícil entón o problema? A resposta ten que ser afirmativa, pois non adoitamos preparar aos alumnos para reflexións desta índole. Vede o que pasou nun problema de 2º de E.S.O. da unidade de Números Enteiros:

Ante o problema: Se n é un enteiro negativo, cal dos seguintes números é maior?

• -3n
• 3n
• n-3
• 9n-3
• n-9

(Para os virtuais lectores compañeiros de profesión, este era o último exercicio do exame e só valía 0'5, a proba está aquí)

A solución formal é breve: o primeiro número, pois é o único número positivo entre os cinco.

Pero ninguén probou cun exemplo, é dicir, ninguén colleu un número enteiro negativo como o -5 e probou cos números: 15, -15, -8, -48, -14.

Así que é comprensible que os alumnos, ante un problema así, non teñan claro que método seguir.

Outro día collo outros problemas de PISA, tamén ao chou.