Darlle a volta a unha esfera

Tirado de The Optiverse

O ambiguo título do post non fai referencia a xirar arredor dunha esfera, senón ao coñecido actualmente como Paradoxo de Smale, en honor do grande matemático Stephen Smale, gañador da medalla Fields en 1966. Tal paradoxo consiste en que é posible darlle a volta, de dentro cara fóra, a unha esfera, o que se coñece como "evertir" a esfera. Nesta eversión é permisible que a esfera se autointerseque, mais non se permite que se corte (daquela sería sinxelo de máis) nin que se formen buratos ou pregamentos. Smale amosou que tal eversión existía de feito, mais, como adoita suceder en moitas demostracións matemáticas, non atopou de xeito explícito o camiño xeométrico para voltear a esfera. Para iso houbo que esperar a que avanzase o campo da animación dixital, e ao traballo de varios matemáticos, entre eles Bernard Morin, topólogo que quedou cego por causa dun glaucoma aos seis anos.

Por sorte temos dispoñible en youtube varios vídeos que mostran a eversión; o primeiro atopeino por casualidade revisando a listaxe de libros online dunha editorial (por se alguén estiver interesado, é esta). Non podería explicar que está a pasar exactamente no vídeo no momento de virar a esfera, pero évos igualmente hipnótico:

Se aínda tedes ganas de máis, aquí tedes o vídeo completo, Outside In, onde explican a eversión tendo en conta outras figuras que non poden ser evertidas e analizando polo miúdo o que sucede na viraxe:

E aínda máis!

The Optiverse amosa eversións que minimizan a enerxía de flexión elástica. Confeso que tiven que ler ben isto para entender de que vai. Como mostra mirade o que comentan na ligazón anterior:

"The elastic bending energy for a stiff wire is the integral of squared curvature. For a surface in space, at each point there are two principal curvatures, and their average, the mean curvature, shows how much the surface deviates from being minimal. The integral of squared mean curvature is thus a bending energy for surfaces, often called the Willmore energy"

Haivos todo un mundo de Matemáticas alucinantes aí fóra esperando por aqueles que busquen...