A Lei Forte dos Pequenos Números-2

Continuando a entrada anterior, traio hoxe outra xeira de feitos matemáticos que só son certos cando ollamos os primeiros casos, onde o termo "primeiros" é tan difuso como queirades.

• Na liña¹ dos números de Fermat, que tiñan o aspecto $F_n=2^{2^n}+1$, temos os números de Mersenne, coa pinta $M_n=2^n-1$. Como o número $2^{ab}-1$ é divisible por $2^b-1$, un número de Mersenne só pode ser primo se n non ten divisores non triviais, é dicir, se n é primo. Se botamos unha ollada aos primeiros candidatos,$$2^2-1=3, 2^3-1=7, 2^5-1=31, 2^7-1=127$$

,vemos que todos son primos. Coa sorte de que non hai que andar moito para atopar un contraexemplo:

$$2^{11}-1=2048-1=2047=23 \cdot 89$$

• Outro feito abraiante: o número $\binom{2n-1}{n-1}-1$, onde n >1, é divisible entre $n^2$ se e só se n é un primo impar.

Observemos os primeiros casos:

n	$n^2$	$\binom{2n-1}{n-1}$	$\frac{\binom{2n-1}{n-1}}{n^2}$
1	1	1	0
2	4	3	0,50
3	9	10	1
4	16	35	2,13
5	25	126	5
6	36	462	12,81
7	49	1716	35
8	64	6435	100,53
9	81	24310	300,11
10	100	92378	923,77
11	121	352716	2915
12	144	1352078	9389,42
13	169	5200300	30771
14	196	20058300	102338,26
15	225	77558760	344705,60
16	256	300540195	1173985,13
17	289	1166803110	4037381
18	324	4537567650	14004838,42
19	361	17672631900	48954659
20	400	68923264410	172308161,02

Neste caso habería que ter moita paciencia ou habilidade cun ordenador para atopar un contraexemplo. Eu de vós non o tentaría a man: o primeiro número n que non é un primo impar que cumpre que $n^2|\binom{2n-1}{n-1}-1$ é $n=283686649=16843^2$. Neste casos os números pequenos non o parecen tanto.

• O último (por hoxe) trata sobre a sucesión dos números primos. Calculemos a diferenza entre cada dous primos consecutivos, obteremos así outra sucesión (de diferenzas de 1ª orde). Calculemos o valor absoluto da diferenza de cada dous termos consecutivos desta nova sucesión (dito doutro xeito: calculemos a diferenza entre o maior e o menor de cada dous termos consecutivos). Repitamos o proceso, obteremos infinitas sucesións, cunha propiedade inesperada, observade:

Para tolearmos un pouco

Vedes algo salientable?

Por unha banda é inevitable tolear coa morea de ceros e douses, mais tamén observaredes que despois da primeira ringleira sempre aparece o número 1 ao comezo. Antes de que tentedes comprender este feito, sería útil que souberades que hoxe aínda non se coñece contraexemplo. Este feito é coñecido como Conxectura de Gilbreath, e ademais de no artigo de Richard Guy tamén o atopei en The Math Book de Clifford Pickover. Nese libro Pickover comenta que Norman L. Gilbreath chegou a conxecturar esta persistencia do 1 despois de fedellar un chisco nun pano.Polo visto houbo varias tentativas serias de demostrar esta conxectura, porén permanece invulnerada. O último avance na verificación da conxectura para números pequenos data de 1993 e só chegou a $3\cdot10^{11}$. Ou ben a conxectura non resulta atractiva para os investigadores, ou ben resulta demasiado difícil.

John Cook, matemático ben coñecido polo seu blogue The Endeavour e as súas múltiples contas en twitter nas que colga feitos matemáticos interesantes, comenta no seu post sobre esta conxectura que o famoso Paul Erdös cría que quizais tivesen que pasar 200 anos para ver demostrada a observación de Gilbreath. Cook fai un afirmación ben peculiar ao recoñecer que lle interesa máis a afirmación de Erdös que a propia conxectura.

Xa está ben por hoxe. Estou certo que outro día hei compartir algún feito máis destes perversos números pequenos.

---

1 Supoño que haberá que explicar un pouco o paralelismo dos números de Fermat e Mersenne, alén da obviedade de que a potencia que aparece nos dous teña base 2. Para definir os números de Fermat de xeito paralelo aos de Mersenne o xeito inmediato sería $2^n+1$. Por que non o facemos así? Pois porque se o número n ten un factor impar o número $2^n+1$ é automaticamente divisible por 3 (en xeral,  $a+b | a^{2k+1}+b^{2k+1}$ ). De tal xeito que n non pode ter factores impares, i.e., ten que ser unha potencia de 2. ^↩