Continuando a entrada anterior, traio hoxe outra xeira de feitos matemáticos que só son certos cando ollamos os primeiros casos, onde o termo "primeiros" é tan difuso como queirades.
- Na liña1 dos números de Fermat, que tiñan o aspecto
, temos os números de Mersenne, coa pinta . Como o número é divisible por , un número de Mersenne só pode ser primo se n non ten divisores non triviais, é dicir, se n é primo. Se botamos unha ollada aos primeiros candidatos,
,vemos que todos son primos. Coa sorte de que non hai que andar moito para atopar un contraexemplo:
- Outro feito abraiante: o número
, onde n >1, é divisible entre se e só se n é un primo impar.
Observemos os primeiros casos:
n | |||
---|---|---|---|
Neste caso habería que ter moita paciencia ou habilidade cun ordenador para atopar un contraexemplo. Eu de vós non o tentaría a man: o primeiro número n que non é un primo impar que cumpre que é . Neste casos os números pequenos non o parecen tanto.
- O último (por hoxe) trata sobre a sucesión dos números primos. Calculemos a diferenza entre cada dous primos consecutivos, obteremos así outra sucesión (de diferenzas de 1ª orde). Calculemos o valor absoluto da diferenza de cada dous termos consecutivos desta nova sucesión (dito doutro xeito: calculemos a diferenza entre o maior e o menor de cada dous termos consecutivos). Repitamos o proceso, obteremos infinitas sucesións, cunha propiedade inesperada, observade:
Para tolearmos un pouco |
Vedes algo salientable?
Por unha banda é inevitable tolear coa morea de ceros e douses, mais tamén observaredes que despois da primeira ringleira sempre aparece o número 1 ao comezo. Antes de que tentedes comprender este feito, sería útil que souberades que hoxe aínda non se coñece contraexemplo. Este feito é coñecido como Conxectura de Gilbreath, e ademais de no artigo de Richard Guy tamén o atopei en The Math Book de Clifford Pickover. Nese libro Pickover comenta que Norman L. Gilbreath chegou a conxecturar esta persistencia do 1 despois de fedellar un chisco nun pano.Polo visto houbo varias tentativas serias de demostrar esta conxectura, porén permanece invulnerada. O último avance na verificación da conxectura para números pequenos data de 1993 e só chegou a . Ou ben a conxectura non resulta atractiva para os investigadores, ou ben resulta demasiado difícil.
Por unha banda é inevitable tolear coa morea de ceros e douses, mais tamén observaredes que despois da primeira ringleira sempre aparece o número 1 ao comezo. Antes de que tentedes comprender este feito, sería útil que souberades que hoxe aínda non se coñece contraexemplo. Este feito é coñecido como Conxectura de Gilbreath, e ademais de no artigo de Richard Guy tamén o atopei en The Math Book de Clifford Pickover. Nese libro Pickover comenta que Norman L. Gilbreath chegou a conxecturar esta persistencia do 1 despois de fedellar un chisco nun pano.Polo visto houbo varias tentativas serias de demostrar esta conxectura, porén permanece invulnerada. O último avance na verificación da conxectura para números pequenos data de 1993 e só chegou a
John Cook, matemático ben coñecido polo seu blogue The Endeavour e as súas múltiples contas en twitter nas que colga feitos matemáticos interesantes, comenta no seu post sobre esta conxectura que o famoso Paul Erdös cría que quizais tivesen que pasar 200 anos para ver demostrada a observación de Gilbreath. Cook fai un afirmación ben peculiar ao recoñecer que lle interesa máis a afirmación de Erdös que a propia conxectura.
Xa está ben por hoxe. Estou certo que outro día hei compartir algún feito máis destes perversos números pequenos.
1 Supoño que haberá que explicar un pouco o paralelismo dos números de Fermat e Mersenne, alén da obviedade de que a potencia que aparece nos dous teña base 2. Para definir os números de Fermat de xeito paralelo aos de Mersenne o xeito inmediato sería
0 comentarios:
Publicar un comentario