Ramanujan, o mago

Se lestes a entrada Un par de citas quereredes coñecer un exemplo de xenio con poderes máxicos. Probablemente o último exemplo que entra nos terreos do mito sexa Srinivasa Ramanujan, o autodidacta matemático hindú que mandou unha famosa carta ao teórico de números de Cambridge G.H. Hardy hai 100 anos, presentándose dun xeito humilde como matemático amateur:

"Non tiven educación universitaria mais seguín os cursos ordinarios de secundaria. Despois de deixar o colexio empreguei o tempo libre do que dispuxen para estudar Matemáticas."

Un dos momentos importantes da miña educación matemática non académica seguramente estea no día que en COU o meu profesor, contestando a unha pregunta miña sobre π (que non lembro e que foi no cambio de clases, que daquela algo de vergonza tiña) me contestou que un tal Ramanujan atopara unha serie que converxía rapidamente a π. Daquela eu non sabía nin o que era unha serie, menos o que era unha serie converxente. Tería que esperar uns meses para entendelo... Agora que o penso, o outro fito non exactamente académico pode que sexa o descubrimento dos libros de Martin Gardner na biblioteca de Ferrol.

Na entrada da wikipedia sobre Ramanujan poderedes ler sobre as circunstancias (ben tráxicas) da súa vida e a súa orixinal obra matemática. O meu propósito é mencionar algún dos resultados obtidos por Ramanujan, un dos cales lembrou desde unha perspectiva computacional John Cook nun post recente (no momento de comezar este texto era o último; botádelle a culpa ao atribulado comezo do curso).

Observade esta expresión, composta por radicais dentro de radicais (radicais encaixados, en inglés "nested radical"), proposta para ser avaliada por Ramanujan ao Journal of the Indian Mathematical Society en 1911

$$\sqrt{1+2 \sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+5\sqrt{1+...}}}}}$$

Cando vin por primeira vez este monstro, coñecendo algo sobre fraccións continuas e incluso sobre expresións con radicais máis sinxelas¹, tentei buscar algún tipo de relación que me permitise relacionar os sucesivos termos da sucesión. Como era de esperar, fracasei. Acudín ao espléndido Collected Papers of Srinivasa Ramanujan (editado entre outros por Hardy) e achei unha marabilla de razoamento. Agarrádevos, que chega un pouco de maxia:

Ramanujan define $n(n+2)=f(n)$ e parte da obvia identidade:

$$n(n+2)=n\sqrt{1+(n+1)(n+3)}$$

Reescrita coa linguaxe funcional introducida:

$$f(n)=n\sqrt{1+f(n+1)}$$

Iterando esa igualdade...

$$f(n)=n\sqrt{1+f(n+1)}$$

$$=n\sqrt{1+(n+1)\sqrt{1+f(n+2)}}$$

$$=n\sqrt{1+(n+1)\sqrt{1+(n+2)\sqrt{1+f(n+3)}}}=\cdots;$$

Pasando ao límite, 

$$n(n+2)=n\sqrt{1+(n+1)\sqrt{1+(n+2)\sqrt{1+(n+3)\sqrt{1+\cdots}}}}$$

E avaliando os dous membros en n=1 obtemos o abraiante:

$$3=\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+\cdots}}}}$$

Se alguén ten problemas coa lixeireza coa que se pasa ao límite e se avalía nun punto, que saiba que non vai desencamiñado. Nos Collected Papers Vijayaraghavan amosa que unha condición necesaria e suficiente para que a expresión 

$$T_n=\sqrt{a_1+\sqrt{a_2+\sqrt{a_3+\cdots +\sqrt{a_n}}}}$$

sexa converxente é $$\limsup_{n\to\infty}\frac{log a_n}{2^n}< \infty$$

Claro que a expresión explícita para a sucesión no radical de Ramanujan dista de ser evidente

$$a_n=2^{2^{n-1}}\cdot3^{3^{n-2}}\cdot4^{4^{n-3}}\cdots (n-1)^{2^2}n^2$$

En calquera caso, a maxia está na deducción previa, que tanto recorda ao traballo doutro mago das Matemáticas, Leonhard Euler. E non é máis que unha pinga da produción máxico-científica de Ramanujan. Observade por exemplo a serie á que se refería o meu profesor de COU:

$$ \frac{1}{\pi} = \frac{2\sqrt{2}}{9801} \sum^\infty_{n=0} \frac{(4n)!(1103+26390n)}{(n!)^4 396^{4n}}$$

Esta fórmula non é só atractiva esteticamente, senón que ademais proporciona 8 novos decimais exactos de π con cada iteración e está detrás das aproximacións de π máis rápidas da actualidade.

Que opinades, hai ou non hai magos nas Matemáticas?

---

1 Entre elas, unha propia de primeiro de carreira: $$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...}}}}}=2$$ ou a máis interesante(se non a coñecedes esta é realmente alucinante): $$\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+...}}}}}=\phi$$ ^↩