Matrices e Pitágoras?-II

No anterior post levoume un anaco empezar a albiscar a relación das matrices coa Teoría de Números, a nivel elemental. Hoxe chegarei por fin ao obxectivo que me fixo comezar co título Matrices e Pitágoras despois de ler un artigo titulado "Modified Farey Trees and Pythagorean Triples" de Shin-Ichi Katayama (podedes atopalo nesta web). O artigo segue unha liña comezada hai 50 anos por F.J.M. Barning, quen conectou as distintas triplas pitagóricas mediante certo tipo de matrices. Pero primeiro haberá que lembrar certos conceptos:

A ecuación pitagórica, seguramente a máis coñecida das ecuacións diofánticas, xorde no estudo dos triángulos rectángulos con lonxitudes dos lados que sexan números naturais:

$$\small{a^2+b^2=c^2}$$

As solucións constan de tres números, polo que se chaman ternas pitagóricas. A primeira terna, que todos os alumnos teñen visto á altura de 1º de E.S.O., é a famosa $\small{(a,b,c)=(3,4,5)}$, e é a base das aplicacións para crear ángulos rectos en carpintería, por exemplo.

A corda  (3,4,5) cos seus 12 nós

Ademais a terna (3,4,5) ten unha peculiaridade, pois os tres números non posúen ningún factor primo común. A estas ternas pitagóricas coñecémolas como ternas primitivas.

É sinxelo atopar todas as ternas pitagóricas primitivas, se comparamos o procedemento coa sofisticación a onde ten chegado o estudo das ecuacións diofánticas. Vexámolo:

Se a terna (a,b,c) é primitiva, automaticamente chegamos a que o termo c ten que ser impar, e b e a de paridade oposta, é dicir, un par e o outro impar (breve explicación: se b e a fosen pares, c tamén o sería, e 2 sería un factor común; se b e a fosen impares, o seu cadrado deixaría resto 1 ao ser divido entre 4, co cal c² deixaría resto 2 ao ser dividido entre 4, polo que c² sería un cadrado perfecto par e non divisible entre 4, o que é absurdo). Supoñamos que a é impar e b par. Reescribimos a ecuación como $\small{b^2=c^2-a^2=(c+a)(c-a)}$

Como b, c+a e c-a son pares, podemos dividir os dous membros entre 2 sen saír dos naturais:

$$\small{\left(\frac{b}{2}\right)^2=\frac{c+a}{2} \cdot \frac{c-a}{2} }$$

Agora chega o paso crucial, que ao ser copiado tantos pseudo-descubrimentos provocou no estudo do Derradeiro Teorema de Fermat:

Como $\small{\frac{c+a}{2}}$ e $\small{\frac{c-a}{2}}$ son números coprimos e o seu produto é un cadrado perfecto, cada un deles ten que ser un cadrado á súa vez. Chamémoslles u e v, de tal xeito que:

$$\small{\frac{c+a}{2}=u^2, \frac{c-a}{2}=v^2}\Longrightarrow c=u^2+v^2, a=u^2-v^2, b=2uv$$

Chegando á expresión xeral para as ternas primitivas $(a,b,c)=(u^2-v^2, 2uv, u^2+v^2)$

Onde hai que salientar que u e v son coprimos e teñen paridade oposta para sermos coherentes co carácter primitivo da terna (a,b,c).

Por exemplo, a terna (3,4,5) correspóndese nesta parametrización cos valores u=2, v=1; (5,12,13) con u=3,v=2; (21,20,29) con u=5, v=2; (33,56,65) con u=7, v=4...

Hai outra aproximación á solución que utiliza a parametrización de curvas, mais require algo máis de traballo. Así que vaiamos por fin á alucinante relación entre as matrices e as ternas pitagóricas:

No devandito artigo aparece un procedemento aparentemente standard que eu nunca vira. Como quedei pampo quería compartilo neste faiado que manteño na rede:

Se definimos as matrices $$\small{M_1=\left( \begin{array}{ccc}1&-2&2\\ 2&-1&2\\2&-2&3 \end{array}\right),M_2=\left( \begin{array}{ccc}1&2&2\\ 2&1&2\\ 2&2&3 \end{array}\right),M_3=\left( \begin{array}{ccc} -1&2&2\\ -2&1&2\\ -2&2&3 \end{array}\right)}$$

resulta que podemos obter todas as ternas primitivas a partir soamente da primeira, (3,4,5)! Este feito é o que me deixou abraiado. A técnica concreta é xa, na miña opinión, case menos importante:

Dada calquera terna primitiva (a,b,c) existe un número r natural tal que:

$$ \left( \begin{array}{ccc} a \\ b \\ c \\ \end{array}\right)=M_{\sigma(1)}M_{\sigma(2)} \dots M_{\sigma(r)}\left( \begin{array}{ccc} 3 \\ 4 \\ 5 \\ \end{array}\right)$$

onde $\small{(\sigma(1),\sigma(2),\dots \sigma(r))\in\{1,2,3\}^r}$

Aínda máis: a representación da terna (a,b,c) é única, e calquera representación dá lugar a outra terna primitiva. En realidade as matrices poden ser utilizadas para conectar dúas ternas primitivas ao chou, sen pasarmos pola (3,4,5)

Para ver uns exemplos, a terna (5,12,13) que mencionei máis arriba aparece cando collemos só a matriz $\small{M_1} $, a (21,20,29) collendo $\small{M_2 }$...
Como era de supoñer, a wikipedia ten un artigo no que podemos ler sobre esta representación matricial. Nel atoparemos a árbore das ternas pitagóricas primitivas. Unha estrutura ben elegante:

Se coñecesemos ben a relación entre as ternas primitivas e os números primos que forman
os parámetros u e v, quizais poderíamos coñecer algo máis dos fuxidíos primos.

Xa está ben de tantas Matemáticas por hoxe. Prometo que o vindeiro post será máis leve...