Loading [MathJax]/extensions/TeX/AMSsymbols.js

24.11.13

Matrices e Pitágoras?-II


No anterior post levoume un anaco empezar a albiscar a relación das matrices coa Teoría de Números, a nivel elemental. Hoxe chegarei por fin ao obxectivo que me fixo comezar co título Matrices e Pitágoras despois de ler un artigo titulado "Modified Farey Trees and Pythagorean Triples" de Shin-Ichi Katayama (podedes atopalo nesta web). O artigo segue unha liña comezada hai 50 anos por F.J.M. Barning, quen conectou as distintas triplas pitagóricas mediante certo tipo de matrices. Pero primeiro haberá que lembrar certos conceptos:

A ecuación pitagórica, seguramente a máis coñecida das ecuacións diofánticas, xorde no estudo dos triángulos rectángulos con lonxitudes dos lados que sexan números naturais:
a2+b2=c2
As solucións constan de tres números, polo que se chaman ternas pitagóricas. A primeira terna, que todos os alumnos teñen visto á altura de 1º de E.S.O., é a famosa (a,b,c)=(3,4,5), e é a base das aplicacións para crear ángulos rectos en carpintería, por exemplo.

A corda  (3,4,5) cos seus 12 nós

Ademais a terna (3,4,5) ten unha peculiaridade, pois os tres números non posúen ningún factor primo común. A estas ternas pitagóricas coñecémolas como ternas primitivas.

É sinxelo atopar todas as ternas pitagóricas primitivas, se comparamos o procedemento coa sofisticación a onde ten chegado o estudo das ecuacións diofánticas. Vexámolo:

Se a terna (a,b,c) é primitiva, automaticamente chegamos a que o termo c ten que ser impar, e b e a de paridade oposta, é dicir, un par e o outro impar (breve explicación: se b e a fosen pares, c tamén o sería, e 2 sería un factor común; se b e a fosen impares, o seu cadrado deixaría resto 1 ao ser divido entre 4, co cal c² deixaría resto 2 ao ser dividido entre 4, polo que c² sería un cadrado perfecto par e non divisible entre 4, o que é absurdo). Supoñamos que a é impar e b par. Reescribimos a ecuación como b2=c2a2=(c+a)(ca)
Como b, c+a e c-a son pares, podemos dividir os dous membros entre 2 sen saír dos naturais:
(b2)2=c+a2ca2
Agora chega o paso crucial, que ao ser copiado tantos pseudo-descubrimentos provocou no estudo do Derradeiro Teorema de Fermat:

Como c+a2 e ca2 son números coprimos e o seu produto é un cadrado perfecto, cada un deles ten que ser un cadrado á súa vez. Chamémoslles u e v, de tal xeito que:

c+a2=u2,ca2=v2c=u2+v2,a=u2v2,b=2uv
Chegando á expresión xeral para as ternas primitivas (a,b,c)=(u2v2,2uv,u2+v2)
Onde hai que salientar que u e v son coprimos e teñen paridade oposta para sermos coherentes co carácter primitivo da terna (a,b,c).

Por exemplo, a terna (3,4,5) correspóndese nesta parametrización cos valores u=2, v=1; (5,12,13) con u=3,v=2; (21,20,29) con u=5, v=2; (33,56,65) con u=7, v=4...

Hai outra aproximación á solución que utiliza a parametrización de curvas, mais require algo máis de traballo. Así que vaiamos por fin á alucinante relación entre as matrices e as ternas pitagóricas:

No devandito artigo aparece un procedemento aparentemente standard que eu nunca vira. Como quedei pampo quería compartilo neste faiado que manteño na rede:

Se definimos as matrices M1=(122212223),M2=(122212223),M3=(122212223)
resulta que podemos obter todas as ternas primitivas a partir soamente da primeira, (3,4,5)! Este feito é o que me deixou abraiado. A técnica concreta é xa, na miña opinión, case menos importante:

Dada calquera terna primitiva (a,b,c) existe un número r natural tal que:
(abc)=Mσ(1)Mσ(2)Mσ(r)(345)
onde (σ(1),σ(2),σ(r)){1,2,3}r
Aínda máis: a representación da terna (a,b,c) é única, e calquera representación dá lugar a outra terna primitiva. En realidade as matrices poden ser utilizadas para conectar dúas ternas primitivas ao chou, sen pasarmos pola (3,4,5)
Para ver uns exemplos, a terna (5,12,13) que mencionei máis arriba aparece cando collemos só a matriz M1, a (21,20,29) collendo M2...
Como era de supoñer, a wikipedia ten un artigo no que podemos ler sobre esta representación matricial. Nel atoparemos a árbore das ternas pitagóricas primitivas. Unha estrutura ben elegante:

Se coñecesemos ben a relación entre as ternas primitivas e os números primos que forman
os parámetros u e v, quizais poderíamos coñecer algo máis dos fuxidíos primos.
Xa está ben de tantas Matemáticas por hoxe. Prometo que o vindeiro post será máis leve...





0 comentarios:

Publicar un comentario