Outro problema de triángulos equiláteros e cadrados

Inscribamos un triángulo equilátero nun cadrado, de tal xeito que un dos vértices do triángulo coincida cun dos do cadrado. Sinxelo, non si?

Deste xeito fórmanse tres áreas triangulares máis entre o triángulo equilátero e o cadrado.

Idea de logo minimalista para bebida carbonatada

Sucede que a área do triángulo vermello coincide coa suma das áreas dos triángulos azuis.

Este feito non é especialmente difícil de probar, e hai varios camiños, desde a trigonometría á xeometría analítica.

Máis interesante resulta que non sexa necesario que a figura grande sexa un cadrado, abonda con que sexa un rectángulo. Observade un rectángulo (que parece un cadrado, pero non é) no que inscribimos tamén o triángulo equilátero:

A medida que o rectángulo é "menos cadrado"
os triángulos lilas son máis distintos

A demostración para o caso do cadrado pode ser modificada lixeiramente para probar este enunciado máis xeral. Na miña opinión o máis formativo é tentar atopar que dimensións do rectángulo serven para inscribir deste xeito un triángulo equilátero. Boa actividade especial para quen teña tempo en primeiro de bacharelato, ou aínda en 4º, se alguén dá feito con esas tres horas semanais para a mesma densidade de curriculum que hai en 3º con catro horas. E iso que non chegou a tolemia de preparar as reválidas, que xa veremos como cambia o conto...