Parametrización

parámetro
substantivo masculino1MatemáticasCantidade fixada libremente, que se mantén constante e que figura como variable nunha expresión ou ecuaciónO parámetro dunha parábola2MatemáticasVariable que, nun conxunto de elementos, permite coñecer cada un deles mediante o seu valor numéricoOs parámetros dunha serie estatística3figuradoAquilo que se toma como punto de referencia ou como elemento de xuízoFixo unha análise da situación cuns parámetros totalmente errados

(Entrada do dicionario on line da RAG)

Cando aparece nas aulas de Matemáticas o termo "parámetro"?

Seguramente todos os profesores que desen nalgunha ocasión bacharelato pensarán automaticamente nos sistemas de ecuacións segundo un parámetro (ou dous), exercicios aburridos e mecánicos que serven para comprobar que os alumnos son meticulosos e para avaliar dun xeito rápido todos os casos posibles de compatibilidade. Estes exercicios son recorrentes: na unidade seguinte, de Xeometría, pasa o mesmo, incluso na carreira hai exercicios de diagramas de fases de ecuacións diferenciais dependendo de parámetros.

Mais hai outro lugar no que aparecen os parámetros: as ecuacións paramétricas da recta no plano e no espazo. Lembremos, por exemplo, que se unha recta pasa polo punto do plano $\small{A(2,3)}$ e ten vector director $\small{\vec{v}=(-1,4)}$, as ecuacións paramétricas serán:

$$\begin{cases} x=2-\lambda \\ y=3+4\lambda  \end{cases}$$ ...onde vemos perfectamente o uso do parámetro $\small{\lambda}$

Aínda que en primeiro de bacharelato hai exercicios nos que explicitamente utilizamos as ecuacións paramétricas, sempre teño a sensación de que o esencial do concepto non chega aos alumnos. En que se diferencia unha ecuación calquera da recta das ecuacións paramétricas? Obviamente, se falamos do plano, en que as paramétricas son dúas... Pero ademais dese aspecto evidente (e importante), en que máis?

Unha ecuación é (perdoen os puristas) un xeito alxébrico de expresar unha restrición. Cando dicimos que unha recta ten ecuación xeral $\small{4x+y-11=0}$ estamos a dicir que as dúas coordenadas dos puntos que están nesa recta teñen que cumprir esa condición; e tamén, que se cumpren a condición, estarán na recta (hai unha bixección, vaia). Se falamos de rectas no plano, a ecuación xeral, a ecuación continua ($\small{\frac{x-2}{-1}=\frac{y-3}{4}}$)e a explícita ($\small{y=-4x+11}$) proporcionan exemplos desta definición informal de ecuación que acabo de dar.

As ecuacións paramétricas, como a ecuación vectorial ($\small{(x,y)=(2,3)+\lambda(-1,4)}$, o mesmo sen ir ás coordenadas), aínda que seguen a determinar restricións (o parámetro non ten restricións, fai o que lle peta; son x e y quen dependen del), determinan rapidamente que aspecto teñen os puntos da recta:$$\begin{cases} x=2-\lambda \\ y=3+4\lambda \end{cases}\rightarrow (x,y)=(2-\lambda,3+4\lambda)$$

En certo sentido, as parametrizacións danlle movemento ás rectas, é inevitable pensar no parámetro variando e facendo variar as coordenadas. É máis, na recta coa que levamos xogando todo o tempo, se consideramos outro parámetro distinto, $\small{\mu=2 \lambda}$, a recta quedará perfectamente determinada, mais ao dobre de "velocidade", o cal permite definir movementos distintos coa mesma traxectoria.

Por outra banda, vemos neste sinxelo exemplo que un parámetro serve para parametrizar unha recta, figura cunha única dimensión. Que pasaría se pasamos de liñas a superficies? Parece claro que teremos que usar dous parámetros, como se intúe na seguinte imaxe:

Ecuación do paraboloide: $z=x^2+y^2$

Incluso figuras "raras" como a faixa de Möbius teñen unha parametrización. Sendo unha superficie, contade con que aparecerán outra vez dous parámetros:

$$\begin{array}{ccc} x=1+\frac{v}{2} cos(\frac{u}{2})cosu \\ y=1+\frac{v}{2} cos(\frac{u}{2})senu \\ z=\frac{v}{2} sen(\frac{u}{2}) \end{array}$$

Da wikipedia

Este xeito de localizar e variar as posicións de puntos dentro de liñas ou dentro de superficies dá lugar a moitas aplicacións interesantes, unha obvia é a do movemento de obxectos en animacións e videoxogos. Déixovos con este vídeo, titulado con moito xeito "Parametric Expression", que polo menos a min, ademais de lembrarme todo o tempo ao Axente Smith, me pareceu terrorífico:

parametric expression from mike pelletier on Vimeo.