Loading [MathJax]/extensions/TeX/AMSsymbols.js

10.4.14

Polares dunha cónica


Esqueza o lector matemático os coñecementos que aprendeu sobre a dualidade no plano proxectivo aló por segundo de carreira, e tente poñerse no lugar de quen non os teña. E verá, doutro xeito, mais verá...


No curriculum das Matemáticas de primeiro de bacharelato de ciencias hai unha pequena unidade, probablemente a máis breve do curso, dedicada aos lugares xeométricos e ás cónicas. Non se espera moito dos alumnos a ese nivel: un par de conceptos, recoñecemento das fórmulas reducidas, algún procedemento máis e abur.

Porén, esa unidade é un indicador de moitas cousas: non só da madurez na utilización dos algoritmos propios da Álxebra, senón tamén(por unha vez) da visión/intuición, aínda que restrinxida a dúas dimensións. E tamén serve como aperitivo para conceptos que chegarán despois, en tempo e madurez matemática. Hoxe quero amosar unha situación na que a Álxebra avanza detalles difíciles de intuir. Observade:

Cando traballamos con cónicas, o cálculo das tanxentes desde un punto exterior é típico de 1º de Bacharelato. Para tal fin hai varias estratexias, unha delas consistente en considerar o feixe de rectas que pasan por un punto, e determinar cales delas tocan á cónica, é dicir, cortan dúas veces no mesmo punto. Vexamos un exemplo concreto e sinxelo: consideramos a circunferencia de radio 1 centrada na orixe, e o punto exterior P(2,0). As ecuacións das rectas que pasan por P son:
y=m(x2), onde o parámetro m é a pendente variable de tales rectas (para sermos precisos, non consideramos a recta vertical que pasa por P, mais vemos na figura que esa omisión non é relevante)

Establecemos o sistema que indica a intersección das rectas e a circunferencia,

{x2+y2=1y=m(x2)
Que leva rapidamente á ecuación:
x2+[m(x2)]2=1, na que impoñemos que o discriminante sexa nulo para asegurar que a recta corte nun único punto á circunferencia.
Chegamos dese xeito a que m=±33, as dúas tanxentes son y=±33(x2) e os dous puntos de tanxencia (12,±33).
A recta que une eses dous puntos de tanxencia chámase a polar de P(concepto esencial na Xeometría Proxectiva), e neste caso é a recta vertical x=12

Eu aquí vexo un globo ocular, claramente.



Que sucede se collemos un punto calquera do plano P(a,b) no lugar do tan axeitado (2,0) anterior?

Aforrándovos as contas, as pendentes das tanxentes neste caso serían:

ab±a2+b211a2

Onde a Álxebra pensa por nós ao amosarnos nese radicando que as rectas tanxentes só existen cando a2+b21, é dicir, se o punto está sobre a circunferencia ou fóra dela.

Aínda así, tendo dúas expresións para as pendentes, podemos considerar o resultado de seguir o mesmo procedemento que antes para atopar a polar, a ver que sucede. Aforrando de novo os cálculos, obteremos a recta ax+by=1, que sorprendentemente sempre existe, dá igual que P estea fóra ou dentro da circunferencia. E que significa esa recta polar?
No caso no que estamos, co punto interior á circunferencia (no que non existen as tanxentes) a polar é exterior á circunferencia. Ollade o caso no que tomamos o punto interior P(12,12)

Mira ti por que punto pasa esa polar...


Axuda isto a entender que relación ten esa polar-sen-tanxentes co punto P? Quizais se collemos nesa recta o punto (2,0) do exemplo anterior teñamos unha pequena pista, lembrando a recta polar que nos deu no primeiro exemplo...

En efecto, a polar de (2,0), x=12, pasa polo punto P. E o mesmo vai suceder con calquera outro punto da polar de P. En conclusión: a polar dun punto P interior á circunferencia é unha recta formada por todos os puntos exteriores cuxa polar pasa polo punto P.

Abraiante, mentres non coñeces que está a suceder diante dos teus ollos.

Este é un exemplo dun problema no que deixaría que os alumnos fedellasen nas aulas se non houbese outras 14 unidades didácticas.



0 comentarios:

Publicar un comentario