Esqueza o lector matemático os coñecementos que aprendeu sobre a dualidade no plano proxectivo aló por segundo de carreira, e tente poñerse no lugar de quen non os teña. E verá, doutro xeito, mais verá...
No curriculum das Matemáticas de primeiro de bacharelato de ciencias hai unha pequena unidade, probablemente a máis breve do curso, dedicada aos lugares xeométricos e ás cónicas. Non se espera moito dos alumnos a ese nivel: un par de conceptos, recoñecemento das fórmulas reducidas, algún procedemento máis e abur.
Porén, esa unidade é un indicador de moitas cousas: non só da madurez na utilización dos algoritmos propios da Álxebra, senón tamén(por unha vez) da visión/intuición, aínda que restrinxida a dúas dimensións. E tamén serve como aperitivo para conceptos que chegarán despois, en tempo e madurez matemática. Hoxe quero amosar unha situación na que a Álxebra avanza detalles difíciles de intuir. Observade:
Cando traballamos con cónicas, o cálculo das tanxentes desde un punto exterior é típico de 1º de Bacharelato. Para tal fin hai varias estratexias, unha delas consistente en considerar o feixe de rectas que pasan por un punto, e determinar cales delas tocan á cónica, é dicir, cortan dúas veces no mesmo punto. Vexamos un exemplo concreto e sinxelo: consideramos a circunferencia de radio 1 centrada na orixe, e o punto exterior P(2,0). As ecuacións das rectas que pasan por P son:
y=m(x-2), onde o parámetro m é a pendente variable de tales rectas (para sermos precisos, non consideramos a recta vertical que pasa por P, mais vemos na figura que esa omisión non é relevante)
Establecemos o sistema que indica a intersección das rectas e a circunferencia,
\begin{cases} x^2+y^2=1 \\ y=m(x-2) \end{cases}
Que leva rapidamente á ecuación:
x^2+[m(x-2)]^2=1, na que impoñemos que o discriminante sexa nulo para asegurar que a recta corte nun único punto á circunferencia.
Chegamos dese xeito a que m=\pm \frac{\sqrt{3}}{3}, as dúas tanxentes son y=\frac{\pm \sqrt{3}}{3}(x-2) e os dous puntos de tanxencia (\frac{1}{2},\frac{\pm\sqrt{3}}{3}).
A recta que une eses dous puntos de tanxencia chámase a polar de P(concepto esencial na Xeometría Proxectiva), e neste caso é a recta vertical x=\frac{1}{2}
![]() |
Eu aquí vexo un globo ocular, claramente. |
Que sucede se collemos un punto calquera do plano P(a,b) no lugar do tan axeitado (2,0) anterior?
Aforrándovos as contas, as pendentes das tanxentes neste caso serían:
\frac{-ab\pm\sqrt{a^2+b^2-1}}{1-a^2}
Onde a Álxebra pensa por nós ao amosarnos nese radicando que as rectas tanxentes só existen cando a^2+b^2 \ge 1, é dicir, se o punto está sobre a circunferencia ou fóra dela.
Aínda así, tendo dúas expresións para as pendentes, podemos considerar o resultado de seguir o mesmo procedemento que antes para atopar a polar, a ver que sucede. Aforrando de novo os cálculos, obteremos a recta ax+by=1, que sorprendentemente sempre existe, dá igual que P estea fóra ou dentro da circunferencia. E que significa esa recta polar?
No caso no que estamos, co punto interior á circunferencia (no que non existen as tanxentes) a polar é exterior á circunferencia. Ollade o caso no que tomamos o punto interior P(\frac{1}{2},\frac{1}{2})
![]() |
Mira ti por que punto pasa esa polar... |
Axuda isto a entender que relación ten esa polar-sen-tanxentes co punto P? Quizais se collemos nesa recta o punto (2,0) do exemplo anterior teñamos unha pequena pista, lembrando a recta polar que nos deu no primeiro exemplo...
En efecto, a polar de (2,0), x=\frac{1}{2}, pasa polo punto P. E o mesmo vai suceder con calquera outro punto da polar de P. En conclusión: a polar dun punto P interior á circunferencia é unha recta formada por todos os puntos exteriores cuxa polar pasa polo punto P.
Abraiante, mentres non coñeces que está a suceder diante dos teus ollos.
Este é un exemplo dun problema no que deixaría que os alumnos fedellasen nas aulas se non houbese outras 14 unidades didácticas.
0 comentarios:
Publicar un comentario