Polares dunha cónica

Esqueza o lector matemático os coñecementos que aprendeu sobre a dualidade no plano proxectivo aló por segundo de carreira, e tente poñerse no lugar de quen non os teña. E verá, doutro xeito, mais verá...

No curriculum das Matemáticas de primeiro de bacharelato de ciencias hai unha pequena unidade, probablemente a máis breve do curso, dedicada aos lugares xeométricos e ás cónicas. Non se espera moito dos alumnos a ese nivel: un par de conceptos, recoñecemento das fórmulas reducidas, algún procedemento máis e abur.

Porén, esa unidade é un indicador de moitas cousas: non só da madurez na utilización dos algoritmos propios da Álxebra, senón tamén(por unha vez) da visión/intuición, aínda que restrinxida a dúas dimensións. E tamén serve como aperitivo para conceptos que chegarán despois, en tempo e madurez matemática. Hoxe quero amosar unha situación na que a Álxebra avanza detalles difíciles de intuir. Observade:

Cando traballamos con cónicas, o cálculo das tanxentes desde un punto exterior é típico de 1º de Bacharelato. Para tal fin hai varias estratexias, unha delas consistente en considerar o feixe de rectas que pasan por un punto, e determinar cales delas tocan á cónica, é dicir, cortan dúas veces no mesmo punto. Vexamos un exemplo concreto e sinxelo: consideramos a circunferencia de radio 1 centrada na orixe, e o punto exterior P(2,0). As ecuacións das rectas que pasan por P son:

$y=m(x-2)$, onde o parámetro m é a pendente variable de tales rectas (para sermos precisos, non consideramos a recta vertical que pasa por P, mais vemos na figura que esa omisión non é relevante)

Establecemos o sistema que indica a intersección das rectas e a circunferencia,

$\begin{cases} x^2+y^2=1 \\ y=m(x-2)  \end{cases}$

Que leva rapidamente á ecuación:

$x^2+[m(x-2)]^2=1$, na que impoñemos que o discriminante sexa nulo para asegurar que a recta corte nun único punto á circunferencia.

Chegamos dese xeito a que $m=\pm \frac{\sqrt{3}}{3}$, as dúas tanxentes son $y=\frac{\pm \sqrt{3}}{3}(x-2)$ e os dous puntos de tanxencia $(\frac{1}{2},\frac{\pm\sqrt{3}}{3})$.

A recta que une eses dous puntos de tanxencia chámase a polar de P(concepto esencial na Xeometría Proxectiva), e neste caso é a recta vertical $x=\frac{1}{2}$

Eu aquí vexo un globo ocular, claramente.

Que sucede se collemos un punto calquera do plano $P(a,b)$ no lugar do tan axeitado (2,0) anterior?

Aforrándovos as contas, as pendentes das tanxentes neste caso serían:

$$\frac{-ab\pm\sqrt{a^2+b^2-1}}{1-a^2}$$

Onde a Álxebra pensa por nós ao amosarnos nese radicando que as rectas tanxentes só existen cando $a^2+b^2 \ge 1$, é dicir, se o punto está sobre a circunferencia ou fóra dela.

Aínda así, tendo dúas expresións para as pendentes, podemos considerar o resultado de seguir o mesmo procedemento que antes para atopar a polar, a ver que sucede. Aforrando de novo os cálculos, obteremos a recta $ax+by=1$, que sorprendentemente sempre existe, dá igual que P estea fóra ou dentro da circunferencia. E que significa esa recta polar?

No caso no que estamos, co punto interior á circunferencia (no que non existen as tanxentes) a polar é exterior á circunferencia. Ollade o caso no que tomamos o punto interior $P(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$

Mira ti por que punto pasa esa polar...

Axuda isto a entender que relación ten esa polar-sen-tanxentes co punto P? Quizais se collemos nesa recta o punto (2,0) do exemplo anterior teñamos unha pequena pista, lembrando a recta polar que nos deu no primeiro exemplo...

En efecto, a polar de (2,0), $x=\frac{1}{2}$, pasa polo punto P. E o mesmo vai suceder con calquera outro punto da polar de P. En conclusión: a polar dun punto P interior á circunferencia é unha recta formada por todos os puntos exteriores cuxa polar pasa polo punto P.

Abraiante, mentres non coñeces que está a suceder diante dos teus ollos.

Este é un exemplo dun problema no que deixaría que os alumnos fedellasen nas aulas se non houbese outras 14 unidades didácticas.