Loading [MathJax]/extensions/TeX/AMSsymbols.js

20.5.14

Un exercicio de selectividade


Remexer nos exames de selectividade doutras comunidades é unha tarefa habitual para os profesores de bacharelato. O segundo curso, e antes o COU, está tan mediatizado pola proba final que a materia de Matemáticas (e tamén as outras) acaba sendo unha carreira co único obxectivo de aprender o tipo de exercicios que poden caer nela. Axiña isto vai suceder tamén (senón está a pasar xa) coas probas de avaliación diagnóstico doutras comunidades e coas reválidas, das que aínda non sabemos que aspecto van ter, mais os indicios que saen dos despachos de economistas que manexan o noso sistema educativo apuntan a PISA (brace yourselves...)

Todo isto vén a que estaba eu a remexer na web da selectividade de Madrid cando dei co exame de Matemáticas II de setembro de 2013, e en concreto con este inocente exercicio:


Dada a función f(x)=4x4+272x+2, pídese:


  1. Atopar as asíntotas da función.
  2. Determinar os intervalos de crecemento e decrecemento e calcular os seus puntos de inflexión.
  3. Esbozar a gráfica da función

Poñédevos no lugar dun alumno de 2º de bacharelato diante da folla do exame en setembro. Ve este primeiro exercicio e pensa para si: "Ben, un de facer derivadas, este fágoo seguro"

Para que vos dea tempo para pensar o exercicio simulando que sodes un alumno de 2º de bacharelato nese contexto, chanto aquí no medio unha xoia de gráfica deseñada polos nosos amigos de Fox News para apoiar a súa tese de que Obama é, basicamente, o maligno:


Humpty Dumpty took the book, and looked it carefully.
"That seems to be done right" he began...

Como quedou o corpo? Veña, volvamos á función do exame e ao pelexo do noso estudante.

Para un alumno que acaba de ver hipérboles (4º de ESO e 1º de Bacharelato), a función f automaticamente lembraríalle a unha suma de hipérboles. O noso alumno de 2º de Bacharelato que ve esta función é pouco probable que teña en mente as hipérboles; porén identificará rapidamente as asíntotas verticais, pois as raíces dos denominadores son evidentes (x=4 e x=–1). Tampouco presenta complicación a asíntota horizontal. O problema verdadeiro comeza no apartado b: os alumnos de 2º están fartos de facer exercicios mecánicos de análise do crecemento e a concavidade dunha función. Como facelo neste caso? Pois obviamente, como están afeitos, arranxando en forma de función racional e derivando unha vez para o crecemento e dúas para a concavidade e o punto de inflexión.

f(x)=4x4+272x+2f(x)=35x1002x26x8
f(x)=35x2+200x4402(x23x4)2
O crecemento non ten máis conto, pois o signo da derivada só depende do numerador, que é un polinomio cuadrático que non corta ao eixe OX. Mais a segunda derivada...

f(x)=35x3300x2+1320x1720(x23x4)3

Sei que moitos estades a pensar que os coeficientes do numerador teñen como factor o 5; estou a evitalo para seguir imitando a un alumno. Aínda así, o cálculo do punto de inflexión obrigaría a atopar as raíces dun polinomio cúbico con coeficientes 7, -60, 264 e -344. 
Marabillosamente, ese polinomio cúbico só ten como raíz real x=2 (e dúas complexas conxugadas, of course).
7x360x2+264x344=(x2)(7x246x+172)

Eu espero que os que escribiron este exame pensasen nesta outra solución, moito máis enxeñosa, e por tanto menos obvia (mais atopei solucións pseudo-oficiais que utilizan o método anterior)

f(x)=4x4+272x+2f(x)=4(x4)2272(x+1)2
e a segunda derivada:
f(x)=8(x4)3+27(x+1)3
moito máis acaída para atopar  a súa raíz:
8(x4)3+27(x+1)3=0827=(x4x+1)3

E de aquí chegamos, en virtude da inxectividade da función elevar ao cubo:
x4x+1=23x=2

Parécevos razoable esperar isto dun alumno no contexto da selectividade? Na miña opinión, o tipo de mecanismo que resolve o exercicio está máis preto das ideas das olimpíadas matemáticas que dunha proba xeralista para todo o alumnado de ciencias. E por riba, poñer este cálculo no primeiro exercicio da opción A pode perturbar o desempeño dos estudantes.


Que ben que existe o Geogebra

Non é a primeira vez que sucede algo así na selectividade. Nin é a máis grave, no 2006 xa houbera o caso dunha primitiva que resultaba imposible para os estudantes, e simplemente por omitir un expoñente 2 no denominador:

xsenxdx

Imaxinade o incauto estudante que, ao ver esta integral, pensa que por partes é un choio. Probade vós mesmos...

0 comentarios:

Publicar un comentario