Un exercicio de selectividade

Remexer nos exames de selectividade doutras comunidades é unha tarefa habitual para os profesores de bacharelato. O segundo curso, e antes o COU, está tan mediatizado pola proba final que a materia de Matemáticas (e tamén as outras) acaba sendo unha carreira co único obxectivo de aprender o tipo de exercicios que poden caer nela. Axiña isto vai suceder tamén (senón está a pasar xa) coas probas de avaliación diagnóstico doutras comunidades e coas reválidas, das que aínda non sabemos que aspecto van ter, mais os indicios que saen dos despachos de economistas que manexan o noso sistema educativo apuntan a PISA (brace yourselves...)

Todo isto vén a que estaba eu a remexer na web da selectividade de Madrid cando dei co exame de Matemáticas II de setembro de 2013, e en concreto con este inocente exercicio:

Dada a función $\small{f(x)=\frac{4}{x-4}+\frac{27}{2x+2}}$, pídese:

1. Atopar as asíntotas da función.
2. Determinar os intervalos de crecemento e decrecemento e calcular os seus puntos de inflexión.
3. Esbozar a gráfica da función

Poñédevos no lugar dun alumno de 2º de bacharelato diante da folla do exame en setembro. Ve este primeiro exercicio e pensa para si: "Ben, un de facer derivadas, este fágoo seguro"

Para que vos dea tempo para pensar o exercicio simulando que sodes un alumno de 2º de bacharelato nese contexto, chanto aquí no medio unha xoia de gráfica deseñada polos nosos amigos de Fox News para apoiar a súa tese de que Obama é, basicamente, o maligno:

Humpty Dumpty took the book, and looked it carefully.
"That seems to be done right" he began...

Como quedou o corpo? Veña, volvamos á función do exame e ao pelexo do noso estudante.

Para un alumno que acaba de ver hipérboles (4º de ESO e 1º de Bacharelato), a función f automaticamente lembraríalle a unha suma de hipérboles. O noso alumno de 2º de Bacharelato que ve esta función é pouco probable que teña en mente as hipérboles; porén identificará rapidamente as asíntotas verticais, pois as raíces dos denominadores son evidentes (x=4 e x=–1). Tampouco presenta complicación a asíntota horizontal. O problema verdadeiro comeza no apartado b: os alumnos de 2º están fartos de facer exercicios mecánicos de análise do crecemento e a concavidade dunha función. Como facelo neste caso? Pois obviamente, como están afeitos, arranxando en forma de función racional e derivando unha vez para o crecemento e dúas para a concavidade e o punto de inflexión.

$$f(x)=\frac{4}{x-4}+\frac{27}{2x+2} \rightarrow f(x)=\frac{35x-100}{2x^2-6x-8}$$

$$f'(x)=\frac{-35x^2+200x-440}{2(x^2-3x-4)^2}$$

O crecemento non ten máis conto, pois o signo da derivada só depende do numerador, que é un polinomio cuadrático que non corta ao eixe OX. Mais a segunda derivada...

$$f''(x)=\frac{35x^3-300x^2+1320x-1720}{(x^2-3x-4)^3}$$

Sei que moitos estades a pensar que os coeficientes do numerador teñen como factor o 5; estou a evitalo para seguir imitando a un alumno. Aínda así, o cálculo do punto de inflexión obrigaría a atopar as raíces dun polinomio cúbico con coeficientes 7, -60, 264 e -344. 

Marabillosamente, ese polinomio cúbico só ten como raíz real x=2 (e dúas complexas conxugadas, of course).

$$7x^3-60x^2+264x-344=(x-2)(7x^2-46x+172)$$

Eu espero que os que escribiron este exame pensasen nesta outra solución, moito máis enxeñosa, e por tanto menos obvia (mais atopei solucións pseudo-oficiais que utilizan o método anterior)

$$f(x)=\frac{4}{x-4}+\frac{27}{2x+2}\rightarrow f'(x)=- \frac{4}{(x-4)^2}-\frac{27}{2(x+1)^2}$$

e a segunda derivada:

$$f''(x)=\frac{8}{(x-4)^3}+\frac{27}{(x+1)^3}$$

moito máis acaída para atopar  a súa raíz:

$$\frac{8}{(x-4)^3}+\frac{27}{(x+1)^3}=0 \rightarrow  \frac{-8}{27}=(\frac{x-4}{x+1})^3$$

E de aquí chegamos, en virtude da inxectividade da función elevar ao cubo:

$$\frac{x-4}{x+1}=\frac{-2}{3}\rightarrow x=2$$

Parécevos razoable esperar isto dun alumno no contexto da selectividade? Na miña opinión, o tipo de mecanismo que resolve o exercicio está máis preto das ideas das olimpíadas matemáticas que dunha proba xeralista para todo o alumnado de ciencias. E por riba, poñer este cálculo no primeiro exercicio da opción A pode perturbar o desempeño dos estudantes.

Que ben que existe o Geogebra

Non é a primeira vez que sucede algo así na selectividade. Nin é a máis grave, no 2006 xa houbera o caso dunha primitiva que resultaba imposible para os estudantes, e simplemente por omitir un expoñente 2 no denominador:

$$\int{\frac{x}{senx}dx}$$

Imaxinade o incauto estudante que, ao ver esta integral, pensa que por partes é un choio. Probade vós mesmos...