Loading [MathJax]/extensions/TeX/AMSsymbols.js

25.7.14

Verán 2014-Problema 4

Pero antes, a solución do problema 3:

   
, que pedía cara onde ía o punto X cando o radio da circunferencia azul tendía a 0, sendo a semicircunferencia verde fixa. Visualmente, unha vez feito o applet de geogebra, é ben claro(o que non quere dicir que entendamos nada soamente véndoo):


O applet serve para convencernos de que o punto X non tende a infinito, e tamén para amosarnos cara onde vai, demostrémolo rigorosamente:
Punto A: (0,r)
Ecuación da circunferencia azul: x2+y2=r2
Ecuación da semicircunferencia: (xb)2+y2=b2y>0

Intersección (punto B): {x2+y2=r2(xb)2+y2=b2(xb)2x2=b2r2b(2xb)=b2r2x=r22by=r2b4b2r2B=(r22b,r2b4b2r2)

Recta por A e B:

x0r22b0=yrr2b4b2r2rxr22b=yrr2b4b2r2rxr=yr4b2r22b

Intersección co eixe de abscisas (punto X):

{xr=yr4b2r22by=0x=r24b2r22b
Vexamos que sucede con esta coordenada x do punto X cando r tende a cero (a outra non ten moito conto):

limitr0r24b2r22b=limitr0r2(4b2r2+2b)4b2r2(2b)2=limitr0r2(4b2r2+2b)r2=limitr04b2r2+2b=4b

Onde utilicei o mecanismo habitual do conxugado da expresión radical.


Finalmente, o 4º problema do verán:
Un exército marcha en formación nunha liña recta que mide 1 quilómetro de lonxitude. O sarxento comeza a súa marcha na retagarda, vai avanzando pola formación ata chegar á cabeceira e, sen perder un segundo, dá a volta e volve á súa posición inicial (máis ben final) á mesma velocidade constante que avanzou previamente. Durante esta viaxe do sarxento, o exército, marchando a velocidade tamén constante, avanzou exactamente un quilómetro, é dicir, o último soldado marcha agora onde estaba o primeiro ao comezo do camiño.

Cal é a distancia que percorreu o sarxento?
Boa fin de semana e feliz día da patria.

0 comentarios:

Publicar un comentario