Verán 2014-Problema 4

Pero antes, a solución do problema 3:

   

, que pedía cara onde ía o punto X cando o radio da circunferencia azul tendía a 0, sendo a semicircunferencia verde fixa. Visualmente, unha vez feito o applet de geogebra, é ben claro(o que non quere dicir que entendamos nada soamente véndoo):


O applet serve para convencernos de que o punto X non tende a infinito, e tamén para amosarnos cara onde vai, demostrémolo rigorosamente:
Punto A: $(0,r)$
Ecuación da circunferencia azul: $x^2+y^2=r^2$
Ecuación da semicircunferencia: $(x-b)^2+y^2=b^2 \wedge y>0$

Intersección (punto B): $ \begin{cases} x^2+y^2=r^2 \\ (x-b)^2+y^2=b^2 \end{cases} \rightarrow (x-b)^2-x^2=b^2-r^2 \rightarrow -b(2x-b)=b^2-r^2 \rightarrow \cdots \\ x=\frac{r^2}{2b} \wedge y=\frac{r}{2b}\sqrt{4b^2-r^2} \rightarrow B=(\frac{r^2}{2b},\frac{r}{2b}\sqrt{4b^2-r^2})$

Recta por A e B:

$\frac{x-0}{\frac{r^2}{2b}-0}=\frac{y-r}{\frac{r}{2b}\sqrt{4b^2-r^2}-r} \rightarrow \frac{x}{\frac{r^2}{2b}}=\frac{y-r}{\frac{r}{2b}\sqrt{4b^2-r^2}-r} \\ \frac{x}{r}=\frac{y-r}{\sqrt{4b^2-r^2}-2b}$

Intersección co eixe de abscisas (punto X):

$ \begin{cases}  \frac{x}{r}=\frac{y-r}{\sqrt{4b^2-r^2}-2b} \\ y=0 \end{cases}\rightarrow x=\frac{-r^2}{\sqrt{4b^2-r^2}-2b}$
Vexamos que sucede con esta coordenada x do punto X cando r tende a cero (a outra non ten moito conto):

$\displaystyle{limit_{r \to 0} \frac{-r^2}{\sqrt{4b^2-r^2}-2b}=limit_{r \to 0} \frac{-r^2(\sqrt{4b^2-r^2}+2b)}{4b^2-r^2-(2b)^2}}= \\ limit_{r \to 0} \frac{-r^2(\sqrt{4b^2-r^2}+2b)} {-r^2}=limit_{r \to 0} \sqrt{4b^2-r^2}+2b=4b$

Onde utilicei o mecanismo habitual do conxugado da expresión radical.

Finalmente, o 4º problema do verán:

Un exército marcha en formación nunha liña recta que mide 1 quilómetro de lonxitude. O sarxento comeza a súa marcha na retagarda, vai avanzando pola formación ata chegar á cabeceira e, sen perder un segundo, dá a volta e volve á súa posición inicial (máis ben final) á mesma velocidade constante que avanzou previamente. Durante esta viaxe do sarxento, o exército, marchando a velocidade tamén constante, avanzou exactamente un quilómetro, é dicir, o último soldado marcha agora onde estaba o primeiro ao comezo do camiño.

Cal é a distancia que percorreu o sarxento?

Boa fin de semana e feliz día da patria.