Verán 2014- Problema 5

Que tal foi o problema 4? Xa o coñecíades? Lembremos de que ía:

Un exército marcha en formación nunha liña recta que mide 1 quilómetro de lonxitude. O sarxento comeza a súa marcha na retagarda, vai avanzando pola formación ata chegar á cabeceira e, sen perder un segundo, dá a volta e volve á súa posición inicial (máis ben final) á mesma velocidade constante que avanzou previamente. Durante esta viaxe do sarxento, o exército, marchando a velocidade tamén constante, avanzou exactamente un quilómetro, é dicir, o último soldado marcha agora onde estaba o primeiro ao comezo do camiño.
Cal é a distancia que percorreu o sarxento?

A dificultade deste problema radica na cantidade de variables que interveñen: a velocidade do sarxento, a velocidade do exército e o tempo que lle leva facer ao sarxento o seu percorrido. Se tivesemos tamén varias condicións no problema, poderíamos acabar atopando os valores desas incógnitas; mais a simple vista semella que non temos condicións abondo para tanto dato descoñecido.

Se un, sen moita previsión, tenta resolvelo ao estilo dos exercicios académicos de móbiles (que na EXB eran machacados en 7º), sucede que primeiro hai que poñer moitos nomes:

$v_s=$ velocidade do sarxento
$v_e=$ velocidade do exército
$t_1=$ tempo que lle leva ao sarxento chegar á cabeceira
$t_2=$ tempo que lle leva ao sarxento volver á retagarda

A cerna do problema está en observar que a velocidade do sarxento relativa ao exército é $v_s-v_e$ cando avanza e $v_s+v_e$ cando retrocede. Con esta idea clara xunto ao feito de que o tempo total do sarxento é o tempo no que o exército avanza un quilómetro é suficiente para resolvelo:

$$t_1=\frac{1}{v_s-v_e}$$
$$t_2=\frac{1}{v_s+v_e}$$
$$t_1+t_2=\frac{1}{v_e}$$

Substituíndo:
$$\frac{1}{v_s-v_e}+\frac{1}{v_s+v_e}=\frac{1}{v_e}\to \frac{2v_s}{v_s^2-v_e^2}=\frac{1}{v_e}\to 2v_s{v}_e=v_s^2-v_e^2$$
$$(v_s-v_e{)}^2=2v_e^2\to v_s-v_e=\sqrt{2}{v}_e\to v_s=(1+\sqrt{2})v_e$$ (a outra solución é absurda)

En conclusión, a lonxitude percorrida polo sarxento é

$$(t_1+t_2)v_s=\frac{1}{v_e}\cdot (1+\sqrt{2})v_e=1+\sqrt{2}$$




E agora o problema 5:

Con 3 liñas da mesma lonxitude divide un círculo en 4 anacos coa mesma área.

Sinxelo, non si? Pois veña...