De sexto aniversario

Outro ano máis, e xa van seis que escribo neste blogue. Como hai só uns días que fixen repaso do 2014, non vou abafar aos lectores con máis cifras, só salientar que esta vai ser a entrada número 532.

Recoñezo que estou ledo de non ter pechado o blogue cando lisquei da Rúa e de seguir escribindo por aquí, aínda que paseniño. A miña intención é continuar facendo máis ou menos o mesmo que durante o ano 2014, xa sabedes, Matemáticas dun nivel preto da terra, Educación/Ensino e cousas varias en menor medida.

Como agasallo para os meus sufridos compañeiros de oficio, e tamén para todos aqueles con gusto polas curiosidades numéricas, hoxe quería compartir un feito ben fermoso. Observade:

Se collemos o número primo 7, e calculamos o seu inverso, $\frac{1}{7}$,

$$\frac{1}{7}=0.142857142857\cdots =0.\overline{142857}$$

Agora, se dividimos o período á metade, é dicir, en 142 e 857, e sumamos:

$$142+857=999$$

Ben. Ata aquí un par de contas casuais. Sucederá algo semellante noutros casos? Vexamos:

Collamos o 17:

$$\frac{1}{17}=0.05882352941176470588235294117647\cdots =0.\overline{0588235294117647}$$

$$05882352+94117647=99999999$$

Vaia. Aquí hai algo. Agora co 19:

$$\begin{gathered} \frac{1}{19}=0.052631578947368421052631578947368421\cdots = \\ 0.\overline{052631578947368421} \end{gathered}$$

$$052631578+947368421=999999999$$

Ben, chegados a este punto teño que avisar de que fixen unha trampullada: se probades cos primos que evitei, 2, 3, 5, 11 e 13, veredes que non funciona este procedemento. O do 2 e o 5 non é sorpresa ningunha, pois a notación decimal xa sabedes que só se comporta ben con eles; o período do inverso do 3 só ten unha cifra, o de 11 só dúas e o do 13 só seis... Así que se queredes facer este algoritmo e chegar a unha unidade menos ca unha potencia de 10, como enriba, teredes que partir dun certo tipo de números primos, os primos que dan números cíclicos no seu período. Estes primos p cumpren que cando lles facemos o inverso multiplicativo, $\frac{1}{p}$, obtemos un período de p-1 cifras. A razón técnica de que suceda isto nuns casos é que os primos cíclicos cumpren que o número 10 é raíz primitiva módulo p, explicación na que non me vou enlear. 

Se queredes saber con que números primos podedes efectuar o proceso, estades de sorte, pois nesta entrada da Enciclopedia de Sucesións de Números Enteiros aparece xunto cunha boa bibliografía:

Full reptend primes

Coido que, modificando axeitadamente este algoritmo, pode ser proposto como actividade de exploración cos alumnos. Outra pregunta que pode xurdir, observando os períodos desas fraccións é:

Cando o período non é máximo (p-1), cantas cifras pode ter? 

Hai outra sucesión na Enciclopedia que vos pode axudar a analizar estes feitos:

Period of decimal expansion of 1/(n-th prime)