Máis problemas de Álxebra sen ecuacións

Hai dúas semanas o fabuloso blogue Futility Closet compartiu un fermoso problema:

John e Mary viaxan de Westville a Eastville. John conduce as primeiras 40 millas, e Mary conduce o resto do camiño. Pola tarde volven pola mesma ruta, John conduce o primeiro tramo e Mary conduce as últimas 50 millas. Quen conduciu máis distancia, e por canto?

Automaticamente o lector identifica os elementos comúns a este tipo de problemas de traxectos de ida e volta. Mais a pouco que un cavile, achará algo en falta: non hai mención a velocidades nin tempos... quizais falte algo?

Déixovos esta envolvente para que pensedes...

En realidade non falta nada no problema, o que sucede é que a distancia total entre Westville e Eastville é irrelevante. A solución que achega Futility Closet fai uso deste feito, mais o meu obxectivo na aula era ben outro: propuxen este problema como starter da unidade de Álxebra en 2º de ESO para que fose patente que, ás veces, hai problemas que teñen unha solución difícil de atopar de xeito non alxébrico. E que a solución alxébrica resulta máis "natural".

Observade a solución xeométrica vs. a solución alxébrica:

Simple transcripción dos datos

Para axudar á visualización, é útil debuxar un par de segmentos:

Por se alguén non o vía xa

Cal é o problema desta solución?

...Que non queda claro que se facemos o debuxo distinto (por exemplo con máis distancia entre as dúas cidades) sirva o razoamento. Por isto é interesante debuxalo polo menos outra vez, para convencer aos escépticos. Na miña aula, na que algún alumno atopou solucións puramente aritméticas(onde se vía con palabras este razoamento xeométrico), houbo quen preguntou que pasaría se a distancia entre as cidades, Lugo e Ourense alí, fose xusto de 50 millas, curiosamente a base da solución de Futility Closet.

A solución alxébrica, como é habitual, dá máis do que agardamos:

Se a distancia entre as cidades é L, á ida John fai 40 millas e Mary L-40; á volta Mary fai 50 e John L-50. En total John fai:

$40+L-50=L-10$

e Mary

$L-40+50=L+10$

E a diferenza entre os dous condutores é

$L+10-(L-10)=20$

Que nos di a Álxebra? Que L é unha variable totalmente "xorda": non inflúe o seu valor na diferenza entre as distancias que conduciron Mary e John. En consecuencia tampouco se pode calcular.

Unha pregunta interesante que xurdiu ao ver isto foi: Profe, hai algún método que non saibamos nós que nos diga canto vale L? Como analoxía o primeiro que se me ocorreu (pensade que tiña dentro da aula a un técnico fedellando nos enchufes do armario Abalar) foi pedirlles a todos que collesen un número x calquera (pero manexable, p.ex. 7) e efectuasen os seguintes pasos:

• Eleva ao cadrado o teu número: x² -  49
• Colle os dous números contiguos a x, x+1 e x-1: Multiplícaos: (x+1)·(x-1) - 6·8 = 48
• Resta os dous resultados anteriores: x²-(x+1)·(x-1) - 49-48 = 1

Non fixen os cálculos alxébricos no encerado, só co 7, e cada alumno fixo as súas contas, e todos viron que chegaban a 1. A pregunta conseguinte ao alumno que preguntou estaba cantada: "Se me dis que che deu 1, podo adiviñar dalgún xeito que número escolliches ao comezo?"

A eventual vindeira entrada sobre starters de Álxebra vai alén desta: haberá un problema que non se dea resolto sen Álxebra?