Bingo con dúas bólas

Nun bingo americano hai 75 bólas. Collemos unha bóla, e sen devolvela ao bombo, collemos unha segunda bóla. Se gañamos un premio igual ao número maior que collemos, cal é o noso premio esperado?

Vin este problema no moi recomendable blogue Data Genetics, e a solución alí presentada (que tardei un chisco en entender por completo) animoume a argallar eu unha menos sofisticada. Se non queredes que vos escaralle a diversión, ide por papel e lapis, que a miña solución vén xusto despois desta sorpresa nas táboas de multiplicar que nos amosa Mathologer:

Quizais non debería poñer vídeos máis interesantes cós meus posts...

Se lestes a solución de Data Genetics, veredes que comeza por analizar o bingo xeralizado, onde hai N bólas, e os casos que aparecen cando tiras a 1ª bóla, que ten un número f calquera. Claramente, a 2ª bóla terá un número menor en f-1 casos e un número maior en N-f casos. Ata aquí chega a parte sinxela, mais en diante comeza a utilizar propiedades da esperanza matemática, ben coñecidas para estudantes do primeiro ciclo do grao pero non para os de instituto. Por iso pensei eu no seguinte:

Se tiramos dúas bólas sucesivamente do bombo, o número de casos posibles coincide co de parellas, é dicir, $\binom{75}{2}$. Agora, en cantas desas parellas é o maior número o número f? Pois en f-1 parellas, i.e., en todas as parellas do tipo {1,f}, {2,f}, {3,f},...,{f-1,f}

Polo tanto, o número esperado vai ser $$\frac{2 \cdot 1+3 \cdot 2+4 \cdot 3+ \dots + 74 \cdot 73+75 \cdot 74 }{\binom{75}{2}}$$

ou utilizando o símbolo de sumatorio,

$$\frac{\sum_{n=2}^{75}{n(n-1)}}{\binom{75}{2}}=\frac{\sum_{n=1}^{74}{(n-1)n}}{\binom{75}{2}}$$

Só queda entón calcular a suma do numerador, que admite varias achegas:

• Podemos decatarnos de que está relacionada coa suma dos cadrados deste xeito:

$$2 \cdot 1+3 \cdot 2+4 \cdot 3+ \dots + 74 \cdot 73+75 \cdot 74+2 +3 +4+ \dots + 74+ 75=$$
$$2^2+3^2+4^2+\dots+74^2+75^2$$

Como a suma dos naturais e a suma dos cadrados son ítems recorrentes, podemos supoñer o seu coñecemento, e obter:

$$2 \cdot 1+3 \cdot 2+4 \cdot 3+ \dots + 74 \cdot 73+75 \cdot 74=$$
$$2^2+3^2+\dots75^2-(2+3+\dots+75)=$$

$$\frac{75 \cdot 76 \cdot151 }{6}-1-(\frac{75 \cdot76}{2}-1)=$$  

$$\frac{75 \cdot76}{6}[2\cdot 75+1-3]=\frac{75 \cdot 76 \cdot 148}{6}=25 \cdot 76 \cdot 74$$

Finalmente, a esperanza matemática é

$$\frac{25 \cdot 76 \cdot 74}{\binom{75}{2}}=\frac{25 \cdot 76 \cdot 74}{\frac{75 \cdot 74}{2}}=$$

$$\frac{152}{3}$$

• Tamén poderíamos observar os primeiros valores da sucesión: 2, 8, 20, 40, 70, 112, ...

Os valores das diferenzas sucesivas, 6, 12, 20, 30, 42, ...

Outra vez: 6, 8, 10, 12, ...

E finalmente: 2, 2, 2, 2, ...

Que as diferenzas de orde 3 sexan constantes amosa que a expresión orixinal é un polinomio cúbico. Coñecendo 4 valores da sucesión atopamos cun sistema 4x4 os seus coeficientes (por certo, este mecanismo aprendino en 2º de BUP)

• Sinceramente, eu non calculei esa suma con ningún dos dous métodos anteriores, polo menos a primeira vez. Que foi o que fixen? Observar e ter sorte, basicamente:

$$2=\frac{1 \cdot 2 \cdot 3 }{3}$$  

$$8=\frac{2 \cdot 3 \cdot 4 }{3}$$  

$$20=\frac{3 \cdot 4 \cdot 5 }{3}$$  

$$40=\frac{4 \cdot 5 \cdot 6 }{3}$$  

...

Para calcular a suma ata o final, atopamos a expresión análoga á anterior:

$$\frac{74 \cdot 75 \cdot 76 }{3}=74 \cdot25 \cdot 76$$   

Sabedes o mellor de todo? Que despois de moito cavilar, botar contas, argallar modelos,etc., ata que fun ao post orixinal e vin que tamén obtiña o valor $\frac{152}{3}=50+ \frac{2}{3}$ non estiven totalmente certo do meu...