20.3.16

Bingo con dúas bólas


Nun bingo americano hai 75 bólas. Collemos unha bóla, e sen devolvela ao bombo, collemos unha segunda bóla. Se gañamos un premio igual ao número maior que collemos, cal é o noso premio esperado?


Vin este problema no moi recomendable blogue Data Genetics, e a solución alí presentada (que tardei un chisco en entender por completo) animoume a argallar eu unha menos sofisticada. Se non queredes que vos escaralle a diversión, ide por papel e lapis, que a miña solución vén xusto despois desta sorpresa nas táboas de multiplicar que nos amosa Mathologer:



Quizais non debería poñer vídeos máis interesantes cós meus posts...


Se lestes a solución de Data Genetics, veredes que comeza por analizar o bingo xeralizado, onde hai N bólas, e os casos que aparecen cando tiras a 1ª bóla, que ten un número f calquera. Claramente, a 2ª bóla terá un número menor en f-1 casos e un número maior en N-f casos. Ata aquí chega a parte sinxela, mais en diante comeza a utilizar propiedades da esperanza matemática, ben coñecidas para estudantes do primeiro ciclo do grao pero non para os de instituto. Por iso pensei eu no seguinte:

Se tiramos dúas bólas sucesivamente do bombo, o número de casos posibles coincide co de parellas, é dicir, (752). Agora, en cantas desas parellas é o maior número o número f? Pois en f-1 parellas, i.e., en todas as parellas do tipo {1,f}, {2,f}, {3,f},...,{f-1,f}

Polo tanto, o número esperado vai ser 21+32+43++7473+7574(752)
ou utilizando o símbolo de sumatorio,
n=275n(n1)(752)=n=174(n1)n(752)
Só queda entón calcular a suma do numerador, que admite varias achegas:
  • Podemos decatarnos de que está relacionada coa suma dos cadrados deste xeito:
21+32+43++7473+7574+2+3+4++74+75=
22+32+42++742+752

Como a suma dos naturais e a suma dos cadrados son ítems recorrentes, podemos supoñer o seu coñecemento, e obter:
21+32+43++7473+7574=
22+32+752(2+3++75)=
757615161(757621)= 
75766[275+13]=75761486=257674
Finalmente, a esperanza matemática é
257674(752)=25767475742=
1523

  • Tamén poderíamos observar os primeiros valores da sucesión: 2, 8, 20, 40, 70, 112, ...
Os valores das diferenzas sucesivas, 6, 12, 20, 30, 42, ...
Outra vez: 6, 8, 10, 12, ...
E finalmente: 2, 2, 2, 2, ...
Que as diferenzas de orde 3 sexan constantes amosa que a expresión orixinal é un polinomio cúbico. Coñecendo 4 valores da sucesión atopamos cun sistema 4x4 os seus coeficientes (por certo, este mecanismo aprendino en 2º de BUP)

  • Sinceramente, eu non calculei esa suma con ningún dos dous métodos anteriores, polo menos a primeira vez. Que foi o que fixen? Observar e ter sorte, basicamente:
2=1233 
8=2343 
20=3453 
40=4563 
...
Para calcular a suma ata o final, atopamos a expresión análoga á anterior:
7475763=742576  


Sabedes o mellor de todo? Que despois de moito cavilar, botar contas, argallar modelos,etc., ata que fun ao post orixinal e vin que tamén obtiña o valor 1523=50+23 non estiven totalmente certo do meu...


0 comentarios:

Publicar un comentario