Loading [MathJax]/extensions/TeX/AMSsymbols.js

24.7.17

Problemas matemáticos da Lusofonía-3 RELOADED


Esta entrada é obrigada pois, para unha vez que comparto a solución dun problema, fun resolvelo mal. E non me decatei ata que Efe o apuntou nun comentario: x e y teñen que ser impares. Na miña solución non só non eran impares, senón que utilizaba potencias de dous(o colmo do non impar). Como a nobreza obriga, e tiven sorte axiña, veño escribir unha solución correcta(a saber).

Lembremos que o problema pedía demostrar que para calquera potencia de 2 con expoñente positivo, 2n, podíamos atopar x e y impares positivos tales que 2n=5xyx22y2

Que fixen para subsanar o erro cometido? Seguir fedellando, número 1 no meu decálogo, como xa comentara.

Desta volta tentei atopar números impares para os primeiros casos, e tampouco foi moi difícil:
21=f(1,1)
22=f(3,1)
23=f(13,3)
24=f(59,13)

Despois de rematar a solución, atopei moitas parellas que non cumpren o patrón que se albisca nestas, supoño que tiven sorte.

Que se ve nas que puxen?
Obviamente, que a abscisa do par ordenado que representa a 2n aparece como ordenada no par que representa a 2n+1. Para atopar a relación coa abscisa do par seguinte hai que ter algo de ollo, tampouco moito:
5121=3
5321=13
51323=59

Para quen non o vise a simple vista, o coeficiente 5 vén da expresión alxébrica da función.

Xa tiña unha hipótese para traballar, só faltaba comprobala:
Se (x,y) representa a 2n, entón (5x2y,x) representa a 2n+1

O difícil era chegar aí, o resto é Álxebra na peor das súas acepcións:

Demostración: Supoñamos que 2n=5xyx22y2, e vexamos que sucede con f(5x2y,x)

f(5x2y,x)=5(5x2y)x(5x2y)22x2=
25x210xy25x2+20xy4y22x2
=10xy2x24y2=2(5xyx22y2)=2f(x,y)=22n=2n+1
,q.e.d.

E só falta axustar o detalle técnico que podería ter esquecido perfectamente: eses valores de x e y son impares?
Pois si, pois partindo dun par (x,y) onde x e y sexan impares, a transformación 5x2y conserva a paridade. Como comezamos co par (1,1), todos os pares así obtidos cumprirán que as dúas coordenadas serán impares.


0 comentarios:

Publicar un comentario