Problemas matemáticos da Lusofonía-3 RELOADED

Esta entrada é obrigada pois, para unha vez que comparto a solución dun problema, fun resolvelo mal. E non me decatei ata que Efe o apuntou nun comentario: x e y teñen que ser impares. Na miña solución non só non eran impares, senón que utilizaba potencias de dous(o colmo do non impar). Como a nobreza obriga, e tiven sorte axiña, veño escribir unha solución correcta(a saber).

Lembremos que o problema pedía demostrar que para calquera potencia de 2 con expoñente positivo, $2^n$, podíamos atopar x e y impares positivos tales que $$2^n=5xy-x^2-2y^2$$

Que fixen para subsanar o erro cometido? Seguir fedellando, número 1 no meu decálogo, como xa comentara.

Desta volta tentei atopar números impares para os primeiros casos, e tampouco foi moi difícil:

$$2^1=f(1,1)$$

$$2^2=f(3,1)$$

$$2^3=f(13,3)$$

$$2^4=f(59,13)$$

Despois de rematar a solución, atopei moitas parellas que non cumpren o patrón que se albisca nestas, supoño que tiven sorte.

Que se ve nas que puxen?

Obviamente, que a abscisa do par ordenado que representa a $2^n$ aparece como ordenada no par que representa a $2^{n+1}$. Para atopar a relación coa abscisa do par seguinte hai que ter algo de ollo, tampouco moito:

$$5 \cdot 1-2 \cdot 1=3$$

$$5 \cdot 3-2 \cdot 1=13$$

$$5 \cdot 13-2 \cdot 3=59 \dots $$

Para quen non o vise a simple vista, o coeficiente 5 vén da expresión alxébrica da función.

Xa tiña unha hipótese para traballar, só faltaba comprobala:

Se $(x,y)$ representa a $2^n$, entón $(5x-2y,x)$ representa a $2^{n+1}$

O difícil era chegar aí, o resto é Álxebra na peor das súas acepcións:

Demostración: Supoñamos que $2^n=5xy-x^2-2y^2$, e vexamos que sucede con $f(5x-2y,x)$

$$f(5x-2y,x)=5 \cdot(5x-2y) \cdot x-(5x-2y)^2-2x^2=$$
$$25x^2-10xy-25x^2+20xy-4y^2-2x^2$$
$$=10xy-2x^2-4y^2=2(5xy-x^2-2y^2)=2f(x,y)=2\cdot 2^n=2^{n+1}$$
,q.e.d.

E só falta axustar o detalle técnico que podería ter esquecido perfectamente: eses valores de x e y son impares?

Pois si, pois partindo dun par (x,y) onde x e y sexan impares, a transformación $5x-2y$ conserva a paridade. Como comezamos co par (1,1), todos os pares así obtidos cumprirán que as dúas coordenadas serán impares.