Copiando rectángulos ata obter un cadrado

 

Non tiña pensado escribir outra entrada consecutiva practicamente idéntica, pero estou tan contento co que fixen, que me vin forzado, entendédeme.

Se na anterior entrada acometía o problema-tipo de 1º de ESO do rectángulo que se parte en anacos cadrados, hoxe toca o problema-tipo seguinte:

Dada unha peza rectangular de dimensións a e b, reproducimos ao ancho e ao alto a peza de tal modo que creamos unha cuadrícula rectangular. Cando a cuadrícula creada non só é un rectángulo, senón tamén un cadrado?

Deixei os rótulos ceibos, podedes facer zoom e mover o que queirades, queixa non teredes.

E pararei xa, que teño unha entrada a medio facer sobre outro tema completamente distinto.

P.S.: esquecín outra vez engadir a ligazón ao applet na miña conta de geogebra.

Dando clase en 1º de ESO outra vez

 

Non daba clase en 1º de ESO desde o curso 2022/23, e aínda así segue a gañar por 3 anos a 2º e 3º de ESO e Matemáticas I como o nivel que máis veces dei nos vinte e dous anos que levo no choio.

E que sucede cada vez que dou 1º de ESO?

Que, por algunha estraña razón, teño que reinventar a pólvora cada ano. O que inclúe revisar os applets e figuras construídas en geogebra nos anos precedentes. Por exemplo, hoxe á mañá deume por analizar as dificultades que atopan os cativos en 1º cando resolvemos problemas clásicos de máximo común divisor e mínimo común múltiplo, en concreto cando tentamos cortar unha táboa rectangular en cadrados co lado máximo. Esta situación é a típica na que hai alumnado que asimila rapidamente o esencial e alumnado que non o dá visto por moito que se escorne. E o certo é que resolvendo este tipo de problemas nunca prestara moita atención a un aspecto: que sucede cando tentamos cortar a táboa en cadrados que non serven, i.e., que non son divisores dalgunha das dimensións da táboa?

Velaquí o que argallei pola mañá na casa antes de ir ao instituto, recoñezo que quedei satisfeito co resultado. Podedes mover os obxectos da vista gráfica e facer zoom, unha vez activedes o applet, dado que en distintas configuracións vai verse distinto:

Que opinades, vese ben o que sucede? Gústame especialmente cando a lonxitude dos cadrados é divisor dunha das dimensións pero non da outra, e os cadrados enchen o alto ou o ancho pero deixan oco na outra.

P.S.: deixo por aquí a ligazón ao applet en geogebra, que a pantalla alí é máis ancha, Táboa en cadrados

Unha ficha de potencias

 

      

É cousa miña ou o de compartir recursos na rede está un chisco parado?

Ou será que o que vexo é que non hai recursos de calidade na rede?

Se o que sucede é isto último, non vou ser eu quen de solucionalo, obviamente, pero unha ficha barateira de potencias para 1º de ESO si que podo compartir.

Como sempre, usade o que queirades, non fai falta que mencionedes nin nada, que o que poida parecer xenuinamente orixinal meu non vai deixar de ser un refrito máis ou menos encuberto.

P.S.: non me decatei de avisar de que o triángulo de Sierpinski non o fixen eu, senón que o collín da miña principal referencia, Median, do finado Don Steward.

Un método curioso que funciona(ás veces)

 

Cando traballamos a divisibilidade nas aulas de 1º de ESO habitualmente aparecen dous xeitos de calcular o máximo común divisor e o mínimo común múltiplo: por inspección dos divisores ou múltiplos dos números, ou mediante a descomposición factorial. Vexamos un exemplo con números xeitosos, 63 e 105.

$$D(63)=\{1, 3, 7, 9, 21, 63 \}$$

$$D(105)=\{1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105 \}$$

Logo a simple vista o máximo común divisor é 21. Coa descomposición, $63=3^2 \cdot 7, 115=3 \cdot 5 \cdot 7$, xa sabedes o mantra, "os factores comúns elevados ao menor expoñente", $mcd(63,115)=3\cdot7=21$

Para o mínimo a inspección pode ser ben árida:

$$M(63)=\{63, 126, 189, 252, 315, 378, \dots \}$$

$$M(105)=\{105, 210, 315, 420, \dots \}$$

O exemplo está collido para non ter que avanzar moito na lista dos múltiplos, podía ser moito peor (no peor dos casos habería que poñer a·b múltiplos). Neste caso vemos que o mínimo común múltiplo é 315

E coa descomposición, o mantra neste caso era "os factores comúns elevados ao maior expoñente, os non comúns, todos", que se presta a malinterpretacións no caso de traballar con máis de dous números.

Polo que $mcm(63,105)=3^2 \cdot 5 \cdot 7=315$

Haberá uns anos que colleu pulo un vello método de cálculo do mcd e do mcm, non sei se pola difusión que lle deu Jo Morgan en Resourceaholic, que consiste en ir gastando os divisores comúns dos números ata que non quede ningún, e nese momento multiplicar todos para obter o mcd. A imaxe xa se autoexplica:

    

A aparición do máximo común divisor aí é consecuencia directa da definición, pero algo máis oculto está o mínimo común múltiplo, para o que hai que multiplicar os divisores da columna esquerda cos resultados finais da ringleira inferior, é dicir,

    

Pensando un chisco vese o que sucede: o 3 e o 5 da ringleira inferior é o que lles queda a 63 e 105 unha vez quitamos o máximo común divisor, son os factores imprescindibles que necesitamos incluír para que un número sexa múltiplo de 63 e de 105. De aí o mínimo.

Pero funciona o método este chulo con máis de 2 números? A primeira ollada parece dicir que si:

 

Pero imaxino que reparastes na trampullada que fixen.

Observando as descomposicións, $60=2^2\cdot3\cdot5, 54=2 \cdot 3^3 ,42=2 \cdot3 \cdot 7$

Modifquemos o exemplo anterior para que non funcione:

   

E resulta que $mcm(60, 54, 126)=2^2 \cdot 3^3 \cdot 5 \cdot 7=3780$

Co cal, hai que facer algún tipo de modificación ao método para que funcione nestes casos. Sinceramente, eu comento este método para dous números pero non para máis (ás veces si no caso do mcd). Imaxinades vós como arranxar o problema?

Para rematar, un bo exercicio teórico, que aproveita que as calculadoras científicas actuais calculan o mcd e o mcm mais só de dous números, é pedirlles aos alumnos como usando a calculadora poden aínda así calcular o mcd de tres ou máis números. A min encántanme estas cousiñas elementais, recoñezo.

Cazar ángulos

 

É proverbial o desleixo que hai no ensino das Matemáticas en España polas deduccións en Xeometría. A historia é ben coñecida: cando chegou a mal chamada Matemática Moderna (=New Math) e o exabrupto  de Dieudonné A bas Euclide!, aquí deixamos no curriculum de Primaria e Secundaria unha pequena parte de Xeometría. E aínda por riba, a parte que quedou só incluía cuestións como as fórmulas elementais de áreas e volumes (moitas das cales non se poden explicar de xeito cabal no instituto) e moito, moito, poñer nome a cousas.

O ano pasado decidín, tanto en 1º como en 2º de ESO, que ía tentar coar deduccións, na medida do posible. Desbotei a idea de que o alumnado deducise as fórmulas das áreas, iso fíxeno eu case exclusivamente, e optei por amosarlles os rudimentos da caza de ángulos (tradución do angle chasing anglosaxón) para que logo eles razoasen sobre outras figuras. A caza de ángulos é unha destreza básica en problemas de olimpíadas de todos os niveis, e pode resultar ata divertida se entras no xogo.

Como facer as figuras axeitadas desde cero require un traballo que en maio xa non podía facer, busquei nas fontes habituais: Resourceaholic e Median, e collín algúns exemplos que non se pasasen de dificultade(si, amigos, o nivel existe), como os dous do final desta ficha de 1º de ESO:

Logo é certo que si fixen o traballo de crear eu algunha figura. Con menos calidade, claro, e despois de que me levasen tempo abondo, velaquí dous exemplos de 1º tamén:

E para que vexades o exame posterior(e seguir sendo un dos poucos profesores con twitter que non comparten só cousas para marabillar á audiencia):

Ao final dese exame podedes ver un Bonus que tirei de Median, e que vira hai anos nunha aula de Xapón que aparecera no TIMSS 1999 Study Video (se non vistes esa clase, paga moito a pena). Esta entrada foi motivada polo seguinte chío de Brian Marks, Yummymath:

Helping a colleague with this problem. Would anyone like to take a stab at this? I'd be interested in your method. Maybe something for your students? #mtbos #math #maths #mathchat #iteachmath #geometry pic.twitter.com/6Re9Drjr3c

— Brian Marks (@Yummymath) September 23, 2022

 Se queredes fedellar, fixen un applet fulero coa situación da imaxe:

A solución que dei eu está nas respostas ao chío de Brian Marks, por se tedes curiosidade.

Pode que este ano volva a facer algo así en Xeometría de 1º de ESO. Tendo en conta os metafísicos criterios de avaliación que hai no sentido espacial na LOMLOE, non creo que desentoe moito.

Unha actividade recorrente en 1º de ESO

Para practicar e reflexionar sobre a xerarquía de operacións en 1º de ESO adoito propoñer algún exercicio deste estilo:

Coloca parénteses(ou non) para obter o resultado indicado:

$$144-24:8-2= \hspace{1cm}140$$
$$144-24:8-2= \hspace{1cm} 139$$
$$144-24:8-2= \hspace{1cm} 20$$
$$144-24:8-2= \hspace{1cm} 143$$
$$144-24:8-2= \hspace{1cm} 13$$

É inevitable que algúen proteste porque as operacións son todas iguais, momento no que se explica o que significa o enunciado do exercicio, é dicir, por que ten sentido.

Aínda que en exemplos como o anterior, ao seren tan breves, os alumnos poden resolver o exercicio  por aburrimento, simplemente probando todas as opcións, elaborando un chisco máis a actividade sobe un chanzo a dificultade e o nivel de reflexión necesario para resolvela.

Pois ben, este ano por primeira vez pensei en improvisar unha actividade semellante a partir dos erros que van cometendo os meus alumnos. Por exemplo, ao comentarmos unha operación do libro de texto,

$$28-3 \cdot 2 \cdot 4=$$

ademais do resultado correcto, 4, escoitouse un 200. En troques de apuntar eu a evidente corrección, aproveitei para preguntar á clase que sucedera. Varias alumnas xa o sabían, polo que preguntei aos que non foran tan rápidos onde habería que colocar parénteses para obter 200.

Agora que o penso, non sei como non fixera isto antes, co natural que resulta.

Este exercicio ou algo semellante tamén ten o seu oco na unidade de Números Enteiros, onde resulta máis difícil:

$$-24:3+3= ~~~~~-4$$

$$2 \cdot 7-5-1= ~~~~~10$$

$$+7 \cdot (-5)+3= ~~~~~-14$$

$$-3+3 \cdot (-3)-(+3)= ~~~~~-21$$

$$-3-5-2= ~~~~~+7$$

Aviso: o último ten truco.

Outra actividade, que xa adoito propór na unidade de Números Enteiros, ás veces en 2º de ESO, supón un paso máis. Velaquí:

Coloca os números nos espazos para obter o maior número posible:

$$-5,+1,+3 \ en ~~~~ \square + \square-\square$$

$$-5,+1,+3 \ en ~~~~ \square - \left( \square+\square \right)$$

$$-2,0,+4 \ en ~~~~ \square \cdot \left( \square-\square \right)$$

$$-3,-2,+5 \ en ~~~~ \square \cdot \left( \square+\square \right)$$

P.D.: Non sei se estas actividades serven de algo, avaliar iso no contexto da aula resulta demasiado confuso. Na práctica diaria, o único no que se pode apoiar un profesor é na súa propia intuición, pois a administración non responde da docencia impartida baixo a súa responsabilidade, e as investigacións serias levadas a cabo nas universidades adoitan ter outros obxectivos e motivacións. Por non falar da xerga propia do gremio, que fai esotérica a maioría dos papers para os non iniciados. Pero vaia, estes exercicios son divertidos, que non é pouco no contexto das operacións combinadas.