Un problema do AMC

Collede un triángulo equilátero ABC, e un punto T variable na base AB. Trazade unha circunferencia tanxente a AB no punto T que teña radio igual á altura do triángulo ABC. Esa circunferencia corta aos lados CA e CB do triángulo nos puntos M e N, respectivamente. A medida que se move o punto T pola base AB, que lle pasa á medida do arco MN?

Xa vos fago eu o debuxo:

Hai algo aí inestable, non si?

Esta problema foi a cuestión número 36 do AMC 12 de 1964, unha das competicións de instituto das que adoito tirar cuestións técnicas interesantes, que nunca se me ocorrerían a min, como por exemplo:

24) Sexa $y=(x-a{)}^2+(x-b{)}^2$, onde a e b son constantes. En que valor de x alcanza y o seu mínimo?

a) $\frac{a+b}{2}$

b) $a+b$

c) $\sqrt{ab}$

d) $\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$

e)$\frac{a+b}{2ab}$

Ou

21) Se $lo{g}_{b^2}x+lo{g}_{x^2}b=1$, entón x é:

a) $\frac{1}{b^2}$

b) $\frac{1}{b}$

c) $b^2$

d) $b$

e)$\sqrt{b}$

Anímovos a que usedes ítems coma estes nas vosas clases se non o facedes xa. O formato do test provoca que os cativos eviten en moitos casos o razoamento e deduzan, por eliminación ou simple comprobación, cal é a resposta boa(previously, on Matemáticas na Rúa). Pero para iso estamos nós, para poñer o obstáculo axeitado, como fixen eu co problema do arco do comezo.