Analítica & sintética

 Debido á precaria ensinanza da Xeometría na época da EXB e a New Math, eu padecín dous fenómenos: por unha banda a xeometría sintética reduciuse a unha breve nomenclatura xunto a unha listaxe de fórmulas de áreas, esencialmente, e por outra a xeometría analítica aparecía no BUP totalmente desconectada da pouca sintética que se vira antes. Hai que recoñecer que, aínda que agora se dea algo mellor a xeometría sintética que daquela, o salto entre as dúas perspectivas no estudo dos obxectos xeométricos é ben amplo. Quizais, por buscar unha analoxía, suceda algo semellante no estudo a finais de bacharelato da xenética clásica e da xenética molecular en Bioloxía, cuxa conexión desde logo non aprendín facendo COU.

Se hai algún ámbito no que as dúas visións da xeometría teñen intersección, seguramente sexa a trigonometría, que comeza sendo puramente sintética, con triángulos flotando no limbo, e remata apoiándose nas coordenadas simplemente para ampliar o estudo dos ángulos agudos a ángulos calquera.

E se segue a haber un ámbito no que é difícil que o alumnado vexa a conexión coa xeometría sintética é, como apuntei arriba, o da xeometría analítica das rectas, que se comeza en 4º de ESO e continúa en Matemáticas I. Por iso eu levo uns anos introducindo exercicios nos que as cuestións elementais de xeometría sintética teñen consecuencias no contexto dos vectores no plano. Sinceramente non foi unha idea que xurdira da reflexión sobre a miña docencia, senón que xurdiu casualmente mirando uns libros do IGCSE de Cambridge, cando atopei uns exercicios deste estilo:

De paso aí vai o uso de 1:3 para indicar a razón, tan pouco visto en España

Nese momento descubrín que nos exames estandarizados dos países anglosaxóns é habitual atopar problemas nos que hai que dominar a maquinaria dos vectores pero simultaneamente hai que utilizar semellanza de triángulos, congruencia, paralelismo de rectas e segmentos alén do trivial, etc. Velaquí unha escolma de problemas inusuais para o que estamos acostumados nós(aquí falo como se soubese que fai cada profesor na súa aula, permitídeme a licenza).

Xa é raro ver un segmento bailando

GCSE(9-1) Paper 3(Calculator) 2017

OAN, OMB a APB son liñas rectas.

$AN=2=OA$

M é o punto medio de OB.

$\vec{OA}=a, \vec{OB}=b$

$\vec{AP}=k \vec{AB}$, onde k é unha cantidade escalar.

Dado que MPN é unha liña recta, atopar o valor de k 

GCSE(9-1) Paper 1(Non-Calculator) 2017

OABC é un paralelogramo

$\vec{OA}=\textbf{a}, \vec{OC}=\textbf{c}$

X é o punto medio da liña AC.

OCD é unha liña recta na que $OC:CD=k:1$

Dado que $\vec{XD}=3\textbf{c}-\frac{1}{2} \textbf{a}$, atopar o valor de k.

GCSE(9-1) Paper 1(Non-Calculator) 2018

OAB é un triángulo.

OPM e APN son liñas rectas.

M é o punto medio de AB

$\vec{OA}=\textbf{a}, \vec{OB}=\textbf{b}$

$OP:PM=3:2$

Calcula a razón $ON:NB$

GCSE Mathematics B Unit 3: Number, Algebra, Geometry 2(Calculator) 2014

OABC é un paralelogramo.

M é o punto medio de AC.

C é o punto medio do segmento BCX.

$\vec{OA}=\textbf{a}, \vec{OB}=\textbf{b}$

Demostrar que OMX é unha liña recta.

E aínda que non aparezan vectores, non podo deixar pasar a ocasión de compartir outro problema de xeometría no que interveñen feitos básicos e razoamento:

GCSE(9-1) Paper 3(Calculator) 2018

ABCD é un paralelogramo.

ABP e QDC son liñas rectas.

$\angle{ADP}=\angle{CBQ}=90^{\circ}$

a) Demostrar que o triángulo ADP é congruente ao triángulo CBQ.

b) Explicar por que AQ é paralelo a PC

Remato poñendo a ligazón oficial de Pearson onde podedes descargar os exames e as rúbricas de corrección de calquera materia e exame estandarizado:

Past Papers

E unha ligazón que atopei pola rede onde tedes os pdfs á vista, e instalando unha extensión no navegador poderedes descargar dunha soa vez:

SaveMyExams- Edexcel GCSE Maths: Past Papers

Máis problemas doutros países

Non é a primeira vez que comento exames de acceso doutros países. Hai menos dun ano compartín parte do Bac francés no blog, e en twitter xa teño falado das probas portuguesas.

Pois evitando o abafante traballo que temos os profesores no confinamento, deume por revisar revistas pola rede, e dei cun artigo en Mathematics in School sobre probas da antiga URSS. Os lectores máis antigos xa saberán o medo cerval respecto que lles teño aos problemas que propoñían na época soviética, os máis recentes da miña lexión de seguidores poden comprobar do que falo en Primeiro Problema dun libro(case once anos van no lombo). Observade estes problemas de reválida e ás idades ás que ían dirixidos, e xulgade vós se non son para terlles un chisco de respecto:

Grao 8 (~2º de ESO):

• Resolve o sistema de ecuacións $\begin{cases} \frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\frac{5}{2} \\ x^7+y^7=x^3 y^4+1 \end{cases}$
• En 99 cartas están escritos os números 1, 2, 3, ..., 99. Barallamos e espallamos as cartas, deixando o dorso, en branco, á vista. Escribimos os números 1,2,3, .., 99 nos dorsos. Para cada carta, sumamos os dous números que ten escritos, e multiplicamos as 99 sumas obtidas. Demostra que o resultado final deste procedemento ten que ser un número par.

Grao 9(~3º de ESO):

• Debuxamos 3 circunferencias, cada unha delas pasa por 2 vértices duhn triángulo acutángulo e polo ortocentro do triángulo. Amosar que as tres circunferencias teñen o mesmo diámetro.
• Atopar todos os números primos p e q que cumpren a ecuación $p^2-2q^2=1$
• Unha táboa rectangular contén un número diferente en cada cela, e ten a propiedade de que cada cela que non está no bordo da táboa contén un número que é a media aritmética dos seus 4 veciños(en horizontal e vertical). Demostrar que a cela que contén o máximo dos números da táboa ten que estar no bordo da táboa.

E o meu preferido, tamén para grao 9, pero como problema avanzado, non de reválida:

• Atopar todos os números naturais (x, y, u, v) que cumpren $\begin{cases} x+y=uv \\ u+v=xy \end{cases}$

 

Deixando a un lado a discusión sobre o apropiados que (non) son para esas idades estes problemas, non son unha marabilla?

Un ítem famoso

O mundo dos exames estandarizados ten o seu propio folklore. Nos países anglosaxóns, que levan décadas publicando as cuestións das probas, é habitual atopar novas sobre exames máis difíciles do esperado/esperable, probas con erros, etc. Neste blog xa compartín algunha vez ítems que se fixeron famosos nos últimos anos, ou ben no SAT americano, ou ben no GCSE británico, ou ben nos semellantes que hai en Australia, Nova Zelandia, etc.

Como mostras: 1, 2, 3, 4

En troques, os exemplos de probas externas de España que compartín nesta entrada daban máis risa ou vergonza allea que outra cousa.

Outro mundo totalmente distinto é o das competicións e olimpíadas matemáticas, nos que o feito de que apareza un problema especialmente difícil ou que requira unha dose inusual de creatividade é visto como algo positivo. É ben coñecida a lenda da imposible cuestión número 6 dunha olimpíada matemática internacional, e é moi instrutivo o vídeo que lle dedicaron en Numberphile.

Pois ben, probablemente o ítem máis coñecido dun exame estandarizado é o que apareceu no PSAT(Preliminary Scholar Aptitude Test) de 1980, que dicía o seguinte:

Nas pirámides ABCD e EFGHI que se amosan na figura, todas as caras agás FGHI son triángulos equiláteros co mesmo lado. Se a cara ABC é colocada sobre a cara EFG de tal xeito que os vértices dos triángulos coinciden, cantas caras á vista tería o sólido resultante?

a) 5                 b) 6                 c) 7                 d) 8                 e) 9

Por que é tan famoso este ítem? 

Porque, como conta Howard Eves no seu libro Return to Mathematical Circles, o comité que creara o ítem deu por boa unha resposta incorrecta. E isto non se soubo ata que un rapaz de 17 anos, Daniel Lowen, atopou a resposta correcta e foi teimudo abondo para non admitir que lle desen por mal a súa resposta. Ata que o seu pai se puxo en contacto co Educational Testing Service

O voso choio consiste en dúas tarefas: 1º) atopar a resposta correcta e 2º) adiviñar cal era a resposta incorrecta que o comité dera por válida, e por que.

   

Facer tests

Construír probas tipo test é unha arte que require diferentes destrezas. Se queremos que a puntuación plasme con certa fiabilidade os coñecementos do examinado, temos que evitar que se poida pasar a proba recorrendo ao mero azar. Do xeito de evitar esta eiva falou Gaussianos neste artigo no País, onde deduce canto ten que restar cada fallo para que a nota esperada contestando ao chou sexa un 0. Claro que non todos os que elaboran os tests, sobre todo na universidade, teñen como obxectivo o de seren xustos. No único exame que fixen na carreira onde había un test, Métodos Numéricos I, cada fallo baixaba como un acerto, por sorte a materia era sinxela...

Confeso que eu fixen poucos tests como profesor, e os que fixen sempre funcionaron como avaliación formativa. Non estou certo de se esta escaseza provén dunha desconfianza nos tests como método avaliador ou da dificultade para elaboralos(a correción estaremos todos de acordo que é un punto a favor). Ademais da problemática analizada no devandito artigo, elaborar ben un test require preocuparnos non só de escoller ben os ítems, senón tamén de escoller ben as respostas incorrectas. Se cada ítem ten 4 opcións de resposta, as tres incorrectas deben ter un significado, unha intencionalidade. Deixando a un lado que ás veces podo querer facilitar a resposta correcta, por variadas razóns, usualmente inclúo unha resposta suficientemente absurda para que só a escolla quen non teña nin idea ou non estea prestando atención. Para introducir as outras dúas respostas hai que ter máis coidado. Normalmente asigno un erro común a cada unha, aínda que tamén teño encadeado dous, dependendo de se o procedemento examinado é o suficientemente longo.

Poñamos un exemplo trivial de posible ítem:

Cal é a solución da ecuación $6x=3$?

a) $2$	b) $\frac{1}{2}$	c) $9$	d) $-3$

Neste exemplo a opción absurda é 9, pois habería que sumar os coeficientes para obtela. Das dúas opcións incorrectas pero con xeito, a) corresponde a dividir 6 entre 3 en troques de 3 entre 6, e d) corresponde a restar 3-6. Tamén hai que ser consciente de que nun ítem así, pode haber alumnos con picardía que intúan que a resposta correcta será probablemente a que teña o aspecto máis raro.

Comparto un test deste mesmo ano, proposto na miña titoría.

Unha consecuencia de elaborar os tests deste xeito é que, cando os corriximos en clase, dan lugar a unha actividade posterior: adiviñar a intencionalidade de cada resposta incorrecta, como seguramente estaredes a facer vós.


Curiosamente comecei esta entrada pensando en falar dun ítem famoso dun test, tema que agora queda para a vindeira entrada.