7.10.20

Unha curiosidade nas fraccións

 

Un dos contidos máis inaccesibles do curriculum de secundaria é o do número real. O positivo é que isto un só o detecta cando aprende máis adiante na súa formación, probablemente en 1º de carreira, que as cousas non son tan sinxelas como lle contaron no instituto. Un alumno con espírito crítico aceptará as propiedades dos números racionais, despois de todo a súa construción é máis ou menos transparente a partir dos números naturais, onde un observa as engrenaxes e por tanto, asimílaas aínda sen ter probas formais de que sexan certas. Pero os irracionais, ai os irracionais, é unha historia totalmente distinta. Xa teño comentado por aquí, seguindo a Hung-Hsi Wu, que facemos trampas ao introducirmos os reais, a súa estrutura e as súas propiedades, aínda as puramente aritméticas, non falemos xa das topolóxicas.

Cando traballamos a forma decimal de números racionais e irracionais, en 3º ou 4º, e falamos de como recoñecer un número irracional vendo o seu aspecto, adoito poñer uns exemplos racionais ben coñecidos:

  • $\frac{1}{7}=0,\overline{142857}=0,142857142857 \dots$, que no display da calculadora será 0,1428571429, que se pode deducir que é consecuencia da aproximación.
  • $\frac{1}{13}=0,\overline{076923}=0,076923076923 \dots$, na calculadora, 0,07692307692, máis evidente.
  • $\frac{1}{23}=0,\overline{0434782608695652173913}$, na calculadora o escuro 0,0437826087
Chegados a este punto, pregúntolles como saberían, só mirando a pantalla da calculadora, que tipo de números son eses 3 exemplos. E no último caso todos concordan en que estarían vendidos. Só poñendo a división en Wolfram Alpha poden ver claramente o período. Polo que se fai patente que necesitamos saber de que operación xorden os decimais para estarmos certos de que son decimais periódicos, e nestes casos ademais periódicos puros, pois xa vimos en cursos anteriores a relación entre os factores do denominador e a súa expresión decimal(sempre que a fracción sexa irredutible).

Pero o bo vén despois, cando me permito divagar un chisco.

Que sucede co caso $\frac{1}{81}=0,012345679012345679 \dots =0,\overline{012345679}$?

Na calculadora non chegan a velo, de novo utilizamos Wolfram Alpha para ver o período, e axiña agroma o abraio: ONDE VAI O 8?

En realidade adoito comezar non por este exemplo, senón por este posterior:

$\frac{1}{9801}=0,000102030405... =0,\overline{00010203 \dots 969799}$

Que hai que recoñecer que ten máis punch para abraiar aos cativos.

E aínda máis, amigos:

$\frac{1}{998001}=0,000001002003004005... =0,\overline{000001002003 \dots 996997999}$

O primeiro que ve un, xusto despois da ausencia do 8, do 98, do 998..., é que os denominadores das fraccións son 9², 99², 999²... É dicir, detectamos un posible patrón coas fraccións que teñen o aspecto $\frac{1}{9 \dots 9^2}=\frac{1}{(10^n-1)^2}$

E a que se debe este patrón? Como é habitual cando traballamos cun patrón aritmético, é mellor esquecermos o aspecto concreto de cada número e quedarmos co esencial. Neste caso, imos ver que 
estrutura teñen os períodos. Observemos polo miúdo que sucede en $\frac{1}{81}=0,\overline{012345679}$

Xoguemos por un momento cunha expresión semellante:

$$\frac{0}{10}+\frac{1}{10^2}+\frac{2}{10^3}+\frac{3}{10^4}+\dots=\sum_{n=1}^{\infty} n \left(\frac{1}{10} \right)^{n+1}$$
que, chamando $x=\frac{1}{10}$, se expresa como $\sum \limits_{n=1}^{\infty} n \cdot x^{n+1}$ 

Mais... esa expresión semellante serve para atopar o noso número periódico?

En efecto, e a resposta está no de "levar unha"; observade que ocorre cando sumamos os primeiros sumandos:

0,0
0,01
0,002
0,0003
0,00004
0,000005
0,0000006
0,00000007
0,000000008
0,0000000009
0,00000000010
...
Veredes como, no proceso de sumar os dous últimos sumandos indicados, "levamos unha" que se suma ao 8 para crear un 9. De aí desaparece o 8 no período. Se dubidades que isto vai suceder cada ciclo, avanzade un chisco e analizade como volve ocorrer cando sumemos ...18, ...19 e ...20,  e sucesivamente cada vez que apareza un 8, explicando así por que no período é omitido.

Agora que xa transformamos o noso misterioso decimal nunha suma xeitosa, como podemos ver que coincide con $\frac{1}{9^2}$?
O xeito estándar é análogo á suma da serie xeométrica, $\sum_{n=1}^{\infty} x^n$, pero podemos velo dun xeito menos elemental mais tamén elegante, e utilizando polo camiño a suma desa xeométrica:
 
$$\sum_{n=1}^{\infty} n \cdot x^{n+1}=x^2 \cdot \sum_{n=1}^{\infty} n \cdot x^{n-1}=x^2 \cdot f(x)$$
onde chamei f(x) á función definida pola serie para poder manipulala:
$$\int f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \int ({n\cdot x^{n-1})}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n}x^n=\sum_{n=1}^{\infty}x^n=\frac{x}{1-x}$$
Polo que
$$f(x)=\left(\frac{x}{1-x}\right)'=\frac{1(1-x)-x(-1)}{(1-x)^2}=\frac{1}{(1-x)^2}$$
Polo que a nosa suma valerá
$$x^2 \cdot f(x)=\frac{x^2}{(1-x)^2}$$ 
Finalmente, substituíndo x por $\frac{1}{10}$, obtemos que o número periódico aquel coincide con $$\frac{\left( \frac{1}{10}\right)^2}{\left( 1-\frac{1}{10}\right)^2}=\frac{\frac{1}{10^2}}{\frac{9^2}{10^2}}=\frac{1}{9^2}$$ q.e.d.

O argumento, no que omitín os detalles técnicos sobre a posibilidade de integrar cada sumando da serie, é exactamente igual se traballamos con $\frac{1}{99^2}, \frac{1}{999^2} \dots$

Para ir rematando... Cantas veces ocorre que presta máis a anécdota que contas en clase que as ideas máis académicas, que veñen no DOG e nas programacións? Este é un dos casos nos que recoñezo que me pasa.

Actualización o 7/10: James Grime sae nun vídeo de Numberphile explicando este feito mellor ca min

0 comentarios:

Post a Comment