Processing math: 100%

11.2.21

Unha familia de sucesións

Acompañádeme na construción dunha familia de sucesións. Axiña intuiredes onde imos chegar.

Partimos das potencias de 2, pero tomando cada potencia dúas veces (inciso: cal é o termo xeral desa sucesión? Podemos atopar varias expresións distintas para ese termo xeral?)



Poñendo os números deste xeito, imaxinades que imos facer? En efecto, sumar cada dous termos consecutivos, e iterar o proceso:


Aí só incluín a 1ª sucesión ata 2^6, veredes que para o meu propósito abonda.

Agora imos calcular a razón entre os dous primeiros termos de cada sucesión (ringleira):



Salta á vista xa, non si? Esta sucesión de razóns tende á nosa amiga, \sqrt{2}

Sabido isto, de onde sae a sucesión primixenia, 1, 1, 2, 2, 4, 4, etc.? É dicir, que relación ten con \sqrt{2}? Pois se consideramos as potencias de expoñente natural de \sqrt{2}, obtemos:

1, \sqrt{2}, 2, 2\sqrt{2}, 4, 4\sqrt{2}, 8, 8\sqrt{2}, 16, 16\sqrt{2}, \dots

Consideremos unha aproximación barateira da raíz, \sqrt{2} \approx 1; a nosa sucesión orixinal cobra significado agora. Funcionará con calquera outra aproximación da raíz?

E máis interesante, funcionará este procedemento con outras raíces? \sqrt{3}? Raíces doutros índices? \sqrt[3]{2}? ...?


0 comentarios:

Publicar un comentario