Unha familia de sucesións

Acompañádeme na construción dunha familia de sucesións. Axiña intuiredes onde imos chegar.

Partimos das potencias de 2, pero tomando cada potencia dúas veces (inciso: cal é o termo xeral desa sucesión? Podemos atopar varias expresións distintas para ese termo xeral?)

Poñendo os números deste xeito, imaxinades que imos facer? En efecto, sumar cada dous termos consecutivos, e iterar o proceso:

Aí só incluín a 1ª sucesión ata $2^6$, veredes que para o meu propósito abonda.

Agora imos calcular a razón entre os dous primeiros termos de cada sucesión (ringleira):

Salta á vista xa, non si? Esta sucesión de razóns tende á nosa amiga, $\sqrt{2}$

Sabido isto, de onde sae a sucesión primixenia, 1, 1, 2, 2, 4, 4, etc.? É dicir, que relación ten con $\sqrt{2}$? Pois se consideramos as potencias de expoñente natural de $\sqrt{2}$, obtemos:

$$1,\sqrt{2},2,2\sqrt{2},4,4\sqrt{2},8,8\sqrt{2},16,16\sqrt{2},\dots$$

Consideremos unha aproximación barateira da raíz, $\sqrt{2}\approx 1$; a nosa sucesión orixinal cobra significado agora. Funcionará con calquera outra aproximación da raíz?

E máis interesante, funcionará este procedemento con outras raíces? $\sqrt{3}$? Raíces doutros índices? $\sqrt[3]{2}$? ...?