Cousas curiosas dos números-3

Se levas anos abondo dando clase, saberás ben que o que fas na aula só o sabes ti e máis os teus alumnos, aínda que nalgúns días baixos pode dar a impresión de que algúns dos teus alumnos tampouco. Quizais tiveches algunha vez un alumno de prácticas do CAP/Máster de Profesorado de Secundaria, ou, coma min hai máis de 10 anos, tiveches un PT ¹dentro da túa aula con algún grupo. Ou, no peor dos casos e tamén o máis improbable, recibiches a visita dun inspector de educación.

Se ademais tes presenza en redes sociais, terás a sospeita de que o que fan(facemos) os profesores nas aulas non se corresponde demasiado ben co que amosan(amosamos) nas redes.

En conclusión, e como xa indiquei nesta entrada, é case imposible saber que fai un profesor dentro da súa clase.

Hoxe veño contar máis curiosidades numéricas que adoito contar nas miñas clases, de xeito improvisado pero consistente ao longo dos anos. Quizais algunha mostra deste folklore matemático non sexa coñecida por todos os lectores, e sirva para algo fóra da miña clase.

• Nalgún momento vai aparecer en clase algo do tipo $(x^2)^2$, momento que aproveito para comentar que nunca xamais poría nun exame algo así. Normalmente chegado ese punto, grazas ao teatro que lle boto, xa están maduros para que alguén conteste a pregunta conseguinte: Por que nunca poría algo así nun exame?Efectivamente, porque un alumno podería contestar ben aínda que estivese trabucado, o erro habitual neste contexto é confundir a potencia dunha potencia co produto de potencias da mesma base, e o número 2, o maldito, é a única solución positiva a $x^2=2x$, a outra obviamente é 0. E agora poño un caso máis xeral: Cando pode suceder que $$(x^a)^b=x^a \cdot x^b$$ Obviando que x sexa 1 (ou -1 nalgúns casos), ten que suceder que $$ab=a+b \rightarrow ab-a-b=0 \rightarrow ab-a-b+1=1 \rightarrow (a-1)(b-1)=1$$ De onde deducimos que só pode suceder cando a=2=b ou cando a=0=b, é dicir, non hai máis solucións que as xa comentadas.

• Nesta solución utilizamos tacitamente que os expoñentes son naturais. Habería máis solucións se os expoñentes fosen enteiros? E racionais? Dependendo do curso onde xurda esta cuestión, podemos ir ampliando o contexto.

• Relacionado co anterior, outra pregunta recorrente é se hai algunha parella de números distintos a e b que cumpran $$a^b=b^a$$ No feixe de anos que levo facendo a pregunta, sempre sucede que a primeira resposta do alumnado inclúe dous números iguais, supoño que son demasiadas condicións para xestionar simultaneamente. Unha vez aclarado que ese exemplo non serve, por trivial, normalmente alguén atopa o único exemplo natural: $$2^4=4^2$$ A ampliación posterior coido que a comentei só unha vez na miña carreira profesional: Se deixamos que $a, b \in \mathbb{Q}$, entón hai infinitas solucións á ecuación $a^b=b^a$, coa fermosa estrutura seguinte: $$a=\left( 1+ \frac{1}{n}\right)^n , b=\left( 1+ \frac{1}{n}\right)^{n+1} $$ que nos lembra automaticamente á sucesión que define o número e.
• O seguinte feito vouno poñer en forma de aritgrama. Xa sabedes, cada letra representa unha cifra distinta:

Pero non o comento deste xeito en clase, senón falando do único número con dúas cifras iguais que elevado ao cadrado dá un número de 4 cifras, iguais as dúas primeiras e iguais as dúas últimas.

• O único número natural que está entre un cadrado perfecto e un cubo perfecto é o 26, xusto entre 5² e 3³. Se sabedes un chisco de dominios de factorización única, na rede atopei este artigo cunha demostración intelixible.

• A coñecida como conxectura de Catalan, aínda que agora en realidade é o Teorema de Mihăilescu: as únicas potencias non triviais que son números naturais consecutivos son 2³ e 3². É dicir, a única solución non trivial da ecuación $x^a-y^b=1$ é x=3, a=2, y=2, b=3

• Se sumas dúas fraccións irredutibles positivas e con distinto denominador, nunca vas obter un número enteiro. Formalmente, se $\frac{a}{b}$ e $\frac{c}{d}$ cumpren que $b \neq d$ e $(a,b)=1=(c,d)$, entón $\frac{a}{b}+\frac{c}{d} \notin \mathbb{Z}$

• Todos os anos teñen polo menos un venres 13 pero nunca máis de 3. E se un ano ten ese máximo de 3 venres 13, podemos saber en que día da semana cae Aninovo: xoves nun ano normal, domingo nun bisesto.

• É imposible atopar tres números racionais cuxa suma e produto sexa 1. Se estades moi interesados, este problema foi publicado por Sierpinski, que o atribuíu a Werner Mnich, e na rede está a demostración de Sansone e Cassels. 

Haberá que ir parando, que non me van quedar cousas que contar nunha eventual 4ª entrada desta serie.

---

1 A mellor experiencia docente que tiven ocorreu o último ano en Oleiros, cando tiven dentro da aula a unha compañeira de Matemáticas facendo de PT^↩