Como non resolver un problema

 Esta mañá lendo cousas de Matemáticas e ensino tiña de fondo vídeos de youtube, e o algoritmo fixo que aparecese como recomendado un vídeo da canle Mind your Decisions, de Presh Talwalkar. Usualmente non vexo eses vídeos, pero teño entrado no blog cando vexo algún problema ou exercicio técnico prometedor, que foi xusto o que sucedeu hoxe. E que pode ocorrer cando vexo un exercicio técnico que me soa familiar? En efecto, cagala varias veces. Seguídeme neste percorrido repleto de fracasos parciais:

O problema era este(poño a imaxe enlazada e transcribo a LATEX por se acaso nun futuro a ligazón está rota):

Isto resólvoo eu en medio minuto...(spoiler: NON)

Se a e b cumpren que

$$\begin{cases} a \sqrt{a}+b\sqrt{b}=183 \\ b \sqrt{a}+a\sqrt{b}=182 \end{cases} $$

Encontrar o valor de $$\frac{9}{5}(a+b)$$

O primeiro que pensei foi "ha, a ver que sinxelo é para min". E procedín a facer desaparecer as raíces para evitar a molestia de escribilas, $x=\sqrt{a},y=\sqrt{b}$

$$\begin{cases} x^3+y^3=183 \\ y^2 x+x^2 y=182 \end{cases} $$ Restemos esas ecuacións...

$$x^3+y^3-y^2 x -x^2 y=1 \rightarrow x(x^2-y^2)+y(y^2-x^2)=1 \rightarrow$$

$$x(x^2-y^2)-y(x^2-y^2)=1 \rightarrow (x-y)(x^2-y^2)=1$$

E aquí, de memoria, intuín o que viña se sumaba as ecuacións, 

$$(x+y)(x^2+y^2)=365$$

E, confeso, que como non vin ningunha saída, pensei en desenvolver os produtos e quizais sumar ou restar os membros...

Experiencia abondo para non teimar 

Aí tiven unha crise de fe, e pensei en resolver o exercicio aínda que fose dun xeito feo, e xa volvería ao rematar ao comezo para resolvelo de xeito elegante. E comecei, avergoñado, como se fose un sistema das clases da ESO, despexando:

$$\begin{cases}  a^{\frac{3}{2}}+b^{\frac{3}{2}}=183 \\ b a^{\frac{1}{2}}+a b^{\frac{1}{2}}=182 \end{cases} $$

$$b^{\frac{3}{2}}=183-a^{\frac{3}{2}} \rightarrow b= \sqrt[3]{(183-a^\frac{3}{2}}$$

Chegado aquí, mirei para a outra ecuación, $b\sqrt{a}+a\sqrt{b}=182$ e pensei como despexar tamén b en función de a, co obxectivo de igualar as dúas expresións. Incrible ata onde cheguei:

$$b\sqrt{a}+a\sqrt{b}=182$$

Que pensei? Pois considerar a ecuación como cuadrática en $\sqrt{b}$ con coeficientes en a:

$$\sqrt{b}=\frac{-a \pm \sqrt{a^2+4\sqrt{a} \cdot 182 }}{2\sqrt{a}}$$

E vin que ía saír unha ecuación de 6º grao, e por aí xa non ía pasar...

E agora que? Pois de súpeto pensei... E funcionará dividir as ecuacións? Non sería moi elegante, pois vai aparecer unha fracción fea moi preto de 1, pero outra cousa...

$$\frac{a\sqrt{a}+b\sqrt{b}}{b\sqrt{a}+a\sqrt{b}}=\frac{183}{182}$$

O que vén xa o intuídes:

$$\frac{(a\sqrt{a}+b\sqrt{b})(b\sqrt{a}-a\sqrt{b})}{b^2a-a^2b}=\frac{183}{182}$$

$$\frac{a^2b-a^2\sqrt{ab}+b^2\sqrt{ab}-ab^2}{ab(b-a)}=\frac{183}{182}$$

$$\frac{ab(a-b)-\sqrt{ab}(a^2-b^2)}{ab(b-a)}=\frac{183}{182}$$

$$\frac{(a-b)\sqrt{ab}[\sqrt{ab}-(a+b)]}{ab(b-a)}=\frac{183}{182}$$

$$\frac{a+b-\sqrt{ab}}{\sqrt{ab}}=\frac{183}{182}$$

$$\frac{a+b}{\sqrt{ab}}-1=\frac{183}{182}$$

$$\frac{a+b}{\sqrt{ab}}=\frac{365}{182}$$

Outra encrucillada. E agora?

Pois como un xa ten uns anos, ve as funcións simétricas automaticamente, polo que fixen o cambio $s=a+b, p=\sqrt{ab}$

$$\frac{s}{\sqrt{p}}=\frac{365}{182}$$

Claro que cunha soa ecuación non fas nada, polo que había que fedellar para atopar outra, e con certa esperanza, sumei as dúas:

$$(a+b)(\sqrt{a}+\sqrt{b})=365$$

Se quería usar a estratexia previa, necesitaba escribir esa suma de radicais como función de s e p, o cal non é demasiado difícil:

$$(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2=a+2\sqrt{ab}+b=s+2\sqrt{p}$$

Polo que cheguei a:

$$s \sqrt{s+2\sqrt{p}}=365$$

Xa tiña dúas ecuacións en s e p:

$$\begin{cases} \frac{s}{\sqrt{p}}=\frac{365}{182} \\ s \sqrt{s+2\sqrt{p}}=365\end{cases}$$

Xa vai quedando pouco, despexei s na 1ª ecuación e utilicei a expresión na 2ª:

$$\frac{365\sqrt{p}}{182} \sqrt{\frac{365\sqrt{p}}{182}+2\sqrt{p}}=365$$

$$\sqrt{p} \sqrt{\frac{365\sqrt{p}}{182}+2\sqrt{p}}=182$$

$$\sqrt{p} \sqrt{\frac{729 \sqrt{p}}{182}}=182 \rightarrow p \cdot \frac{729\sqrt{p}}{182}=182^2$$

$$p \sqrt{p}=\frac{182^2}{729} \rightarrow p^\frac{3}{2}= \frac{182^3}{729}$$

$$p^3= \frac{182^6}{9^6} \rightarrow p=\frac{182^2}{9^2}$$

$$s=\sqrt{p} \frac{365}{182}=\frac{182}{9}\cdot \frac{365}{182}=\frac{365}{9}$$

Agora só quedaba atopar o valor de a e b utilizando a ecuación de 2º grao:

$$t^2-st+p=0\rightarrow t^2-\frac{365}{9}t +\frac{182}{9}=0$$ Este cálculo vóuvolo aforrar, e obter:

$$a=\left( \frac{14}{3}\right)^2, b=\left( \frac{13}{3}\right)^2$$

e a solución simétrica, claro.

E o resultado solicitado polo exercicio é $\frac{9}{5}(a+b)=73$

Pois vale.

Mirei a duración do vídeo, nin 6 minutos. Non pode ser. Que pasei por alto? Mirei outra vez

$$\begin{cases} a \sqrt{a}+b\sqrt{b}=183 \\ b \sqrt{a}+a\sqrt{b}=182 \end{cases} $$

Fixen outra vez o cambio $x=\sqrt{a}, y=\sqrt{b}$, agora que xa sabía que entón $x=\frac{14}{3}, y=\frac{13}{3}$

$$\begin{cases} x^3+y^3=183 \\ y^2 x+x^2 y=182 \end{cases} $$

E pensei "non pode ser, vai ser a idade, será que non vin veces a identidade":

$$(x+y)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3$$

Agora xa é unha trapallada, sumando a 1ª ecuación máis o triplo da 2ª:

$$(x+y)^3=729 \rightarrow x+y=9$$

$$xy(x+y)=182\rightarrow xy=\frac{182}{9}$$ 

E o que queda xa o faría utilizando as funcións simétricas. Nun minuto. Algún de vós viu esta solución cando pasei rozando ao comezo da entrada? Como cando o protagonista dunha película non dá atopado o quid nunha situación? Pensade que peor sería que me gravase para que me vísedes fracasar en tempo real, como fixo Timothy Gowers varias veces. 

Seguídeme para ver máis desastres como este.