Hai 9 anos escribín unha entrada, Quickies probabilísticos, onde compartía 3 problemas, 1 deles do libro Mathematical Quickies, de Charless W. Trigg, que no prefacio do libro indicaba que comezara a sección Quickies no Mathematics Magazine en 1950 con este obxectivo:
"From time to time this department will publish problems which may be solved by labourious methods, but which with proper insight may be disposed of with dispatch"
Como o feito de que unha solución sexa elegante é algo subxectivo, e depende fortemente do coñecemento das Matemáticas que teña quen avalíe esa elegancia, a estas alturas non sei se neste blog incluiría moitos problemas que poidan denominarse de tal xeito, particularmente na etiqueta Rápidos. En calquera caso, hoxe veño compartir uns cantos dos que souben recentemente, aínda que algún teña xa os seus anos.
- Amosar que $\lim \limits_{n \to \infty} \sum \limits_{k=pn}^{qn}{\frac{1}{k}}=log \left(\frac{q}{p}\right)$
- Se $k \in \mathbb{R}$, entón as liñas $x^4+kx^3y-6x^2y^2-kxy^3+y^4=0$ cortan a $x^2+y^2=1$ en 8 partes iguais
- Que fracción ten o menor denominador no intervalo $\left( \frac{19}{94}, \frac{17}{76}\right)$
- Amosar que $\binom{n}{1}-\frac{1}{2}\binom{n}{2}+\frac{1}{3}\binom{n}{3}- \dots \pm \frac{1}{n}\binom{n}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots+\frac{1}{n}$
- Cando dividimos os números 31767 e 34924 entre certo divisor de 3 cifras, obtemos o mesmo resto, tamén de 3 cifras. Atopa o resto.
No da fracción, despois de ver os decimais pensei que podía ser $\frac{2}{9}$
ResponderEliminarTamén me estiven entretendo co de dividir a circunferencia en 8 partes. Pasei a polares a expresión. Despois podía dividir polo módulo e elimininalo e quedábame unha expresión trigonométrica de grao 4. Simplifiqueina aplicando $1=\left ( sen^{2} \theta +cos^{2}\theta \right )\left ( sen^{2} \theta +cos^{2}\theta \right )$ e ao final, despois de aplicar o seno e o coseno do ángulo dobre e algunha simplificación máis obtiven que a $tan\left ( 4\theta \right )=\frac{-4}{k}$
No da fracción eu pensei o mesmo (isto de coñecer as primeiras fraccións do tipo $\frac{1}{m}$ sendo $m \in \mathbb{N}$ é o que ten), e logo estiven pelexando con inecuacións para demostrar desde 0 o asunto.
EliminarE no das 4 rectas, é curioso, eu fun directamente a intersecar coa circunferencia parametrizada de xeito trigonométrico, e sae o que pos ti, tendo esa tanxente período $\frac{\pi}{4}$. Eu intúo que o autor do problema fixo iso ao revés, a solución que vén na revista é que a figura formada polas 4 rectas é invariante baixo unha rotación de amplitude $\frac{\pi}{4}$, o que vén sendo o mesmo.