Un patrón aritmético

 

Non sei como cheguei ao artigo de W.W. Sawyer(antes neste blog, aínda antes) A pattern in Arithmetic, publicado en abril de 1963 no xornal The Arithmetic Teacher, e sendo patrón ben coñecido, o xeito de presentalo é particularmente elegante. Observade:

Números e frechiñas, que máis podemos pedir?

Supoño que aínda que non coñecésedes previamente o patrón, xa intuídes por onde vai o conto.

Entrade no diagrama por calquera número, por exemplo polo 9, e multiplicádeo por 2, obtendo 18, e quedade só coa cifra das unidades, 8 (vaia, $18 \equiv 8 (mod 10)$; e repetide o proceso, $8\cdot 2= 16\equiv6(mod 10)$, etc. Se entrades por calquera número impar, na primeira quenda pasades ao par que ten ao lado, e de aí veña dar voltas no sentido das agullas do reloxo. O caso particular do 0 e 5 explícase por si mesmo.

Como Sawyer apunta no artigo, hai máis cousas curiosas que ver no diagrama. Por exemplo, se multiplicamos no círculo interior por 3, veremos que tamén damos voltas pero no sentido contrario ás agullas do reloxo. E xa non serve a conexión dos impares do círculo de fóra cos pares de dentro, pero entre eses impares tamén ten lugar a rotación no sentido contrario ás agullas do reloxo. Esta rotación tamén se produce se multiplicamos por 8, e poderíamos arranxar o diagrama intercambiando a posición de impares opostos(1 e 9, 7 e 3).

E se multiplicamos por 7? Nese caso obtemos rotación no sentido das agullas do reloxo, tanto dentro como fóra.

Sawyer déixao neste punto, recomendando levar este patrón á aula como xeito alternativo de practicar a multiplicación. Pero poderíamos ir un chisco máis alá, e preguntar que sucede se multiplicamos polos outros díxitos, e tentando ver relacións entre os que xeran o mesmo movemento, e tamén entre os que xeran o movemento oposto. E obviamente, facendo ver a razón de que o 5 sexa un número especial.

Nun contexto de olimpíadas ou como propostas para alumnado con talento, tamén poderíamos preguntar polos "ciclos" que xeran os produtos. Por que algúns teñen un ciclo de lonxitude 4 e outros 2? Como sempre, seguro que o amigo lector terá mellores ideas cás miñas.