Unha desigualdade non tan coñecida

 Volvamos sobre unha idea que xa pasou tanxencialmente por este blog:

Coñecemos as medidas de dúas alturas dun triángulo, 2 e 3 cm. Cales son as posibles medidas da terceira altura?

Uns apuntamentos rápidos sobre a construción de triángulos dadas as alturas:

Como o produto de lado por altura correspondente é constante, os lados e as alturas son inversamente proporcionais, en nomenclatura pouco usada en España, 

$$a:b:c=h_A:h_B:h_C$$

Polo que, se construímos un triángulo que teña por lonxitudes dos lados $h_A,h_B,h_C$, as alturas deste novo triángulo van ser inversamente proporcionais a $h_A,h_B,h_C$, e por tanto, directamente proporcionais aos lados do triángulo orixinal, a, b e c. Polo que podemos construír un triángulo semellante ao triángulo de lados a, b e c simplemente debuxando un con lados as alturas do triángulo de lados $h_A,h_B,h_C$. E para construír o triángulo de lados a, b e c, impoñer que estea entre dúas rectas paralelas a distancia a altura que queiramos.

Ou tamén podemos notar que os lados a, b e c son directamente proporcionais ás cantidades $h_B\cdot h_C,h_A\cdot h_C,h_A\cdot h_A$, e facer primeiro un triángulo con estas cantidades, que será semellante ao buscado, etc.

E sempre temos a opción de fedellar nun mar de igualdades e atopar o valor explícito dos lados en función das alturas, claro. Pero bonito, bonito, non é. Déixovos a expresión da altura relativa ao lado a para que busquedes como darlle vós a volta:

$${h_A}^2=\frac{[(a+b{)}^2-c^2][c^2-(a-b{)}^2]}{4a^2}$$

Aínda que é certo que é sinxelo chegar a esta expresión, se sabes por onde tirar.

Máis aritgramas

 Estaba eu argallando un problema métrico cunha idea que xa apareceu algunha vez no blog cando, de súpeto, veume unha estrutura numérica á mente e xa non puiden evitar darlle voltas ata construír uns novos aritgramas. Permitíndome ser ácido por unha vez a conto da lei educativa que tanto choio nos está a dar aos profesores de secundaria, velaquí:

$$LOMLOE=NO{N}^2$$

$$LOMLOE=FU{L}^2$$

$$LOMLOE=EG{O}^2$$