Un método curioso que funciona(ás veces)

 

Cando traballamos a divisibilidade nas aulas de 1º de ESO habitualmente aparecen dous xeitos de calcular o máximo común divisor e o mínimo común múltiplo: por inspección dos divisores ou múltiplos dos números, ou mediante a descomposición factorial. Vexamos un exemplo con números xeitosos, 63 e 105.

$$D(63)=\{1, 3, 7, 9, 21, 63 \}$$

$$D(105)=\{1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105 \}$$

Logo a simple vista o máximo común divisor é 21. Coa descomposición, $63=3^2 \cdot 7, 115=3 \cdot 5 \cdot 7$, xa sabedes o mantra, "os factores comúns elevados ao menor expoñente", $mcd(63,115)=3\cdot7=21$

Para o mínimo a inspección pode ser ben árida:

$$M(63)=\{63, 126, 189, 252, 315, 378, \dots \}$$

$$M(105)=\{105, 210, 315, 420, \dots \}$$

O exemplo está collido para non ter que avanzar moito na lista dos múltiplos, podía ser moito peor (no peor dos casos habería que poñer a·b múltiplos). Neste caso vemos que o mínimo común múltiplo é 315

E coa descomposición, o mantra neste caso era "os factores comúns elevados ao maior expoñente, os non comúns, todos", que se presta a malinterpretacións no caso de traballar con máis de dous números.

Polo que $mcm(63,105)=3^2 \cdot 5 \cdot 7=315$

Haberá uns anos que colleu pulo un vello método de cálculo do mcd e do mcm, non sei se pola difusión que lle deu Jo Morgan en Resourceaholic, que consiste en ir gastando os divisores comúns dos números ata que non quede ningún, e nese momento multiplicar todos para obter o mcd. A imaxe xa se autoexplica:

    

A aparición do máximo común divisor aí é consecuencia directa da definición, pero algo máis oculto está o mínimo común múltiplo, para o que hai que multiplicar os divisores da columna esquerda cos resultados finais da ringleira inferior, é dicir,

    

Pensando un chisco vese o que sucede: o 3 e o 5 da ringleira inferior é o que lles queda a 63 e 105 unha vez quitamos o máximo común divisor, son os factores imprescindibles que necesitamos incluír para que un número sexa múltiplo de 63 e de 105. De aí o mínimo.

Pero funciona o método este chulo con máis de 2 números? A primeira ollada parece dicir que si:

 

Pero imaxino que reparastes na trampullada que fixen.

Observando as descomposicións, $60=2^2\cdot3\cdot5, 54=2 \cdot 3^3 ,42=2 \cdot3 \cdot 7$

Modifquemos o exemplo anterior para que non funcione:

   

E resulta que $mcm(60, 54, 126)=2^2 \cdot 3^3 \cdot 5 \cdot 7=3780$

Co cal, hai que facer algún tipo de modificación ao método para que funcione nestes casos. Sinceramente, eu comento este método para dous números pero non para máis (ás veces si no caso do mcd). Imaxinades vós como arranxar o problema?

Para rematar, un bo exercicio teórico, que aproveita que as calculadoras científicas actuais calculan o mcd e o mcm mais só de dous números, é pedirlles aos alumnos como usando a calculadora poden aínda así calcular o mcd de tres ou máis números. A min encántanme estas cousiñas elementais, recoñezo.