Uns problemas interesantes

 

Este comezo de curso vou a razón de 2 fichas novas por día de clase en 2º de ESO, co cal non tiven tempo para compartir as cousas interesantes que lin ultimamente. Aproveito esta véspera da ponte*, que pasarei cubrindo burocracia docente, para ordenar estas cuestións e problemas.

Comecemos por un problema que se presta a varios ataques, que vin nun libro de Alfred Posamentier. Sen dicir nada, xa o ides entender:

   

O segundo problema vén do American Mathematical Monthly de 1950(vol. 57), confeso que me colleu de improviso:

Amosar que calquera triángulo pode ser diseccionado mediante 4 cortes rectos en 4 pezas que poden ser recompostas para formar dous triángulos semellantes ao triángulo dado.

Recoñezo que lin unha solución antes de pensar moito na cuestión, polo que a miña opinión xa ten un nesgo claro, mais coido que é aconsellable dar unha pista: SPOILER

unha das pezas xa é un triángulo semellante ao dado. Con esta pista, só tedes que argallar como facer as outras tres. De nada.

Xa está ben de xeometría, veña un de sucesións, tirado da Olimpíada Austríaca de 2013:

Se a e b son números reais non negativos, chamamos A(a,b) e X(a,b) ás súas medias aritmética e xeométrica, respectivamente. É dicir, $A(a,b)=\frac{a+b}{2}$ e $X(a,b)=\sqrt{ab}$-

Consideramos a sucesión $a_n$ definida por $a_0=0,a_1=1$ e $a_{n+1}=A(A(a_{n-1},a_n),X(a_{n-1},a_n))$ .

a) Amosar que $\mathrm{\forall }n,a_n=b_n^2$, sendo $b_n\in \mathbb{Q}$

b) Amosar que $\mathrm{\forall }n>0,|b_n-\frac{2}{3}|<\frac{1}{2^n}$

Agora un da sección de resposta múltiple da Olimpíada Chinesa de 1990/91:

Sexa $\alpha \in (\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2})$. Cal das seguintes afirmacións é certa?

a) $cos{\alpha }^{cos\alpha }<sen{\alpha }^{cos\alpha }<cos{\alpha }^{sen\alpha }$

b) $cos{\alpha }^{cos\alpha }<cos{\alpha }^{sen\alpha }<sen{\alpha }^{cos\alpha }$

c) $sen{\alpha }^{cos\alpha }<cos{\alpha }^{cos\alpha }<cos{\alpha }^{sen\alpha }$

d) $cos{\alpha }^{sen\alpha }<cos{\alpha }^{cos\alpha }<sen{\alpha }^{cos\alpha }$

Rematemos cun antigo da Olimpíada de Maio, de 2003:

Atopa todos os números naturais a e b que cumpren que $a$ é divisor de $8b+1$ e $b$ é divisor de $8a+1$ 

Xa tedes para pasar a ponte.

*Ao final levoume ata a mañá do festivo.